《电路与线性系统分析》课件第8章

8.1拉普拉斯变换

8.2拉氏变换的性质与定理8.3拉普拉斯反变换8.4系统s域等效模型——运算电路法

8.5系统函数与复频域分析法

8.6连续时间系统的模拟

8.7

LTI连续系统的稳定性习题以傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转变为频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号谐波分量、系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实际问题时有其独到之处。不过对一些不满足绝对可积条件的常用信号如ε(t)等，虽然其傅氏变换存在，但因带有冲激项而处理不方便；尤其用傅氏变换分析系统响应时，系统初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响应；另外，其反变换的积分计算也不易。而拉普拉斯变换的优点之一是对信号要求不高，一般指数阶信号的变换存在且简单；之二是不但能将时域的卷积运算转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能求系统的零输入响应(初始条件“自动”引入)；之三是有相对简单的反变换方法。所以拉普拉斯变换也是分析连续LTI系统的重要数学工具。拉普拉斯变换也简称为拉氏变换(英文缩写为LT或)。8.1拉普拉斯变换考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，我们先讨论因果信号的拉氏变换。因果信号的拉氏变换也称单边拉氏变换。8.1.1单边拉氏变换因果信号的傅氏正、反变换为式中，F(ω)为频谱函数，f(t)为原函数。一些指数阶函数用傅氏变换处理不方便，主要原因是这类函数不收敛，例如阶跃函数ε(t)。为了使函数收敛，在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt，使得f(t)e-σt是一个衰减足够快的函数。即有f1(t)=f(t)e-σt

式中，e-σt为衰减因子，且f1(t)满足绝对可积条件。则(8.1-1)令s=jω+σ，式(8.1-1)可表示为

F1(ω)的傅氏反变换为(8.1-3)式(8.1-3)两边同乘eσt，eσt不是ω的函数，可放入积分号里，由此得到(8.1-4)已知s=jω+σ，ds=d(jω+σ)，选定σ为常量，ds=jdω，代入式(8.1-4)且积分上、下限也做相应改变，式(8.1-4)可写作(8.1-5)因为e-σt的作用，式(8.1-2)与(8.1-5)是适合指数阶函数的变换。又由于式(8.1-2)中的f(t)是t<0时为零的因果信号，故称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换定义为(8.1-6)式中,称s=jω+σ为复频率，F(s)为象函数，f(t)为原函数，象函数与原函数的关系还可以表示为

f(t)

F(s)

或(8.1-7)s=jω+σ可以用直角坐标的复平面(s平面)表示，σ是实轴，jω是虚轴，如图8.1-1所示。图8.1-1复平面由以上分析，并比较式(8.1-6)与式(7.2-4)，以及式(8.1-2)的推导，可知傅氏变换的基本信号元是ejωt，拉氏变换的基本信号元是est。不难表明傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上(σ=0)的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。8.1.2单边拉氏变换收敛区收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围，或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。由式(8.1-3)的推导可见，因为e-σt的作用，使得f(t)e-σt

在一定条件下收敛，即有(8.1-8)式中σ0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦σ0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。满足式(8.1-8)的函数称为指数阶函数。这类函数若发散，借助指数函数衰减就可以被压下去。指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标σ0确定。σ0的取值与f(t)有关，具体数值由式(8.1-8)计算。根据f(t)随时间变化的趋势，可以给出收敛区的大致范围：(1)f(t)是有限时宽的，σ0<-∞，如单脉冲信号；(2)f(t)是随时间衰减的，σ0<0，例如单边指数信号e-atε(t)(a>0)的σ0=-a，其拉氏变换的收敛区如图8.1-2(a)所示；(3)f(t)是随时间不变的，σ0=0，例如ε(t)、sin(ω0t)ε(t)，其拉氏变换的收敛区如图8.1-2(b)所示；(4)f(t)是随时间增长的，σ0>0，例如eatε(t)(a>0)的σ0=a，其拉氏变换的收敛区如图8.1-2(c)所示。

图8.1-2收敛区示意图当σ0<0时，收敛区包含虚轴jω，函数的傅氏变换存在；当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω，函数的傅氏变换不存在；当σ0=0时，收敛区不包含虚轴jω，函数的傅氏变换存在，但有冲激项。因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以不标明收敛区。8.1.3常用函数的单边拉氏变换我们通过求常用函数的象函数，掌握单边拉氏变换的基本方法。

1.F(s)=F(ω)|jω=s的函数

当拉氏变换的收敛区包括jω轴时，F(s)可由F(ω)直接得到，仅将F(ω)式中的jω换为s，即

F(s)=F(ω)|jω=s(8.1-9)

例8.1-1已知f(t)=e-atε(t)(a>0)以及，求f(t)的拉氏变换。解:f(t)的收敛域如图8.1-2(a)所示，包括jω轴，所以

2.t的指数函数eatε(t)(a为任意常数)(8.1-10)利用式(8.1-10)，可以推出以下常用信号的拉氏变换。

3.t的正幂函数

即依次类推：特别地：n=1时，表8.1-1列出了常用函数的拉氏变换。表8.1-1常用函数单边拉氏变换8.2拉氏变换的性质与定理

本节讨论单边拉氏变换的性质与定理。

1.线性若f1(t)

F1(s)f2(t)

F2(s)则af1(t)+b

f2(t)

aF1(s)+bF2(s)式中a、b为任意常数。(8.2-1)证线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一，例如

2.时延(移位)特性若f(t)

(t)

F(s)则(8.2-2)证

令t-t0=x，即t=x+t0，代入上式得时延(移位)特性表明，波形在时间轴上向右平移t0，其拉氏变换应乘以移位因子。适用时延特性的函数是f(t-t0)ε(t-t0)，而不是f(t-t0)ε(t)。要注意区分f(t)ε(t)、f(t-t0)ε(t)、f(t)ε(t-t0)、f(t-t0)ε(t-t0)的不同。

3.频率平移(s域)若f(t)

F(s)则式中s0为复常数

证(8.2-3)例8.2-1

已知f(t)=e

atcos(

t0)

(t)，求象函数F(s)。解：方法一方法二

4.尺度变换

若f(t)

F(s)则其中a>0。

例8.2-2已知f(t)

F(s)，求f1(t)=e-t/af(t/a)的象函数F1(s)。解：先频移

fa(t)=e

tf(t)

Fa(s)=F(s+1)后尺度f1(t)=fa(t/a)

F1(s)=aFa(as)=aF(as+1)

例8.2-3求δ(at)、ε(at)的象函数。解：

(t)

1

5.时域微分若f(t)

F(s)，则(8.2-5)式中,f(0)是f(t)在t=0时的值。可以将式(8.2-5)推广到二阶导数(8.2-6)式中,f(0)以及f′(0)分别为t=0时f(t)以及时的值。特别地，当f(0)=f′(0)=0时，式(8.2-5)、(8.2-6)可分别化简为(8.2-7a)(8.2-7b)式中，s为微分因子。

6.时域积分若f(t)u(t)

F(s)则式中f

(-1)(t)表示积分运算，特别地，如果f(t)为因果信号，则,式(8.2-8)为(8.2-9)式中,1/s为积分因子。

7.时域卷积定理

若则

8.复频域卷积定理若则

f1(t)

F1(s)f2(t)F2(s)(8.2-10)f1(t)

f2(t)F1(s)F2(s)f1(t)

F1(s)f2(t)F2(s)(8.2-11)表8.2-1列出了拉氏变换的性质与定理。表8.2-1拉氏变换性质(定理)

8.3拉普拉斯反变换

拉普拉斯反(逆)变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。式(8.1-6)给出为这个公式的被积函数是一个复变函数，而积分沿着收敛区内的直线σ-j∞→σ+j∞进行。这个积分可以用一般的复变积分计算。但一般情况下,计算函数比计算积分更容易，因此可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换。但当象函数为有理函数时，有更简便的是代数方法，这种方法称为“部分分式法”。本书只讨论部分分式法。当F(s)为s的有理函数时，一般形式可表示为(8.3-1)式中，ai(i=0，1，…，n-1)，bi(i=0，1，…，m)为实常数，m，n为正整数。部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干如表3-1所示的简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。将分母多项式表示为便于分解的形式

A(s)=(s-p1)(s-p2)…(s-pn)

(8.3-2)式中，p1，p2，…，pn是A(s)=0方程式的根，也称F(s)的极点。同样分子多项式也可以表示为

B(s)=(s-z1)(s-z2)…(s-zm)

(8.3-3)式中，z1，z2，…，zm是B(s)=0方程式的根，也称F(s)的零点。

p1，p2，…，pn既可以是各不相同的单极点，也可以出现有相同的极点(即有重极点)；分母多项式的阶次一般高于分子多项式(m<n)，但也有可能m≥n。下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。

1.m<n，F(s)均为单极点

(8.3-4)式中，p1，p2，…，pn为不同数值的单极点，F(s)可分解为(8.3-5)则(8.3-6)式(8.3-6)正是F(s)的原函数，现在的任务就是要快速、准确地确定系数k1，k2，…，kn。我们在式(8.3-5)两边同乘以(s-p1)，得(8.3-7)再令s=p1，则式(8.3-7)右边除k1外，其余各项均为零，由此得到第一个系数k1

(8.3-8)同样，在式(8.3-5)两边同乘(s-p2)，然后令s=p2，可得第二个系数

以此类推，任一极点pi对应的系数ki为(8.3-9)(8.3-10)

例8.3-1已知象函数，求原函数f(t)。解：

2.m≥n，F(s)均为单极点

当m≥n时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的m′<n部分处理同上。对提取的sr部分(0≤r≤m-m′)，利用微分性质：1

(t)；s

(t)；(8.3-11)s2

(t)；…例8.3-2

已知象函数，求原函数f(t)。解：

例8.3-3已知象函数，求原函数f(t)。解：一般共轭复根可将分母配成二次项的平方，作为整体考虑。

3.m<n，F(s)有二重极点设：(8.3-12)其中，s=p1是F(s)的二阶极点，F(s)可展开为(8.3-13)式中是展开式中与极点p1无关的部分。面对式(8.3-13)，现在的任务是如何确定系数k11，k12。与前面求系数的方法相同，先在F(s)等式两边同乘(s-p1)2，有(8.3-14)当s=p1时，右边只剩k11项，其余各项为零。所以(8.3-15)求k12系数时是否还能如法炮制？在等式两边同乘(s-p1)，有当s

p1时，等式右边第一项，所以k12不能再用此法，为了求解k12，引入函数(8.3-16)对式(8.3-16)两边求导(8.3-17)令式(8.3-17)的s=p1，则等式右边除了第一项k12外，第二项为0，所以，(8.3-18)剩下的E(s)/D(s)中若均为单极点，则用前面单极点的处理方法展开，如还有二重极点可用上面的方法处理。二重极点反变换式中一般项为(8.3-19)所以最后8.4系统s域等效模型——运算电路法

根据元件上的电压、电流关系列写电路系统的微分方程，然后对方程取拉氏变换。这种方法在分析电路响应时有许多优点，但是对比较复杂的网络(多网孔、节点)，以及对初始条件的处理(需要标准化或等效)还有许多不便之处，我们可以用类似频域电路的方法，简化获得系统拉氏变换方程的过程，并且可以将系统的初始状态{xk(0-)}直接引入，充分体现了拉氏变换优越性，这种方法称为s域等效模型法或运算电路法。8.4.1元件的s域模型

首先讨论无初始条件时电阻、电感、电容的s域模型。此时R、L、C元件的时域电压电流关系为(8.4-1)分别对上式进行拉氏变换，得到(8.4-2)由上式可见，如果认为R、Ls、是复频域阻抗，则s域的电压电流关系满足复频域(广义)的欧姆定律。这样就可以将原来的微、积分运算关系变为代数运算关系。式(8.4-2)所表示的电压电流关系，可以用如图8.4-1所示的s域网络模型表示。图8.4-1无初始条件元件的s域网络模型再考虑电感、电容具有初始条件的s域模型，此时L、C时域模型如图8.4-2所示，其电压电流关系为(8.4-3)图8.4-2有初始条件元件的时域模型分别对式(8.4-3)进行拉氏变换，得到(8.4-4)式(8.4-4)所表示的电压电流关系，可以用如图8.4-3所示的s域网络模型表示。图8.4-3有初始条件元件的s域网络模型8.4.2系统s域等效模型及其响应求解

将电路中激励、响应以及所有元件分别用s域等效模型表示后，得到系统s域等效模型(运算电路)。利用系统的s域等效模型，可以用类似求解直流电路的方法在s域求解响应，最后再经反变换得到所需的时域结果。以下举例说明用s域等效模型求解系统响应的方法。

例8.4-1电路如图8.4-4所示，激励为e(t)，响应为i(t)，求其s域等效模型及响应的s域方程。图8.4-5例8.4-1电路的s域网络模型解：s域等效模型(运算等效电路)如图8.4-5所示，列网孔的KVL方程:图8.4-5例8.4-1电路的s域网络模型由上例可见，应用广义电路定律，列s域电路方程求解响应象函数与直流电路求解方法类似，计算简便。尤其是与用微分方程求解相比，初始状态可以等效为电源直接引入s域电路，不再需要将初始条件标准化。

例8.4-2电路如图8.4-6所示，激励为e(t)=ε(t)，iL(0-)=2A，求电感电压uL(t)。解：s域等效模型如图8.4-7所示。由图8.4-7列KVL方程uL(t)=δ(t)-3e-2tε(t)8.5系统函数与复频域分析法

输入、输出关系是系统分析的重要组成部分，系统函数体现的正是这种关系。在s域分析中，系统函数H(s)的作用举足轻重，由它确定的零、极点集中地反映了系统的时域与频域特性；它除了可以分析系统的时域特性外，还可以分析系统的频率响应特性、系统稳定等实际问题和系统模拟（仿真)。8.5.1.系统函数H(s)系统函数在零状态下定义为系统函数也称转移函数、传输函数、传递函数。由式(8.5-1)可得系统零状态响应象函数为Yzs(s)=F(s)H(s)(8.5-2)得到系统的零状态响应(8.5-1)特别的，激励为δ(t)时，系统零状态响应是单位冲激响应f(t)=

(t)

F(s)=1

H(s)

h(t)

(8.5-4)上式表明系统函数与单位冲激响应h(t)是一对拉氏变换对。8.5.2系统函数的零、极点分解二阶系统函数的分子分母为两个多项式，可得式(8.5-5)二阶系统函数中H(s)的分母多项式D(s)的根p

i(i=1，2)是H(s)的极点，有两个；H(s)的分子多项式N(s)的根zj(j=1，2)是H(s)的零点，最多有两个。若H(s)是实系数的有理函数，其零、极点一定是实数或共轭成对的复数。

(8.5-5)

例8.5-1

已知某系统的系统函数如下，求系统的零、极点。解：极点为p1=-1,

p2=-3

零点为z1=-2

将系统函数的零、极点准确地标在s平面上，这样的图称零、极点图或零、极图，其中“”表示零点，“×”表示极点。如例8.5-1的零、极点如图8.5-1所示。图8.5-1例8.5-1的零、极点8.5.3零、极点分布与时域特性

H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，所以只要知道H(s)在s平面上的零、极点分布情况，就可以知道系统冲激响应h(t)的变化规律。假设式(8.5-5)的两个极点均为单极点且m<n，利用部分分式展开(8.5-6)式中,pi=σi+jωi(i=1，2)。式(8.5-6)对应的单位冲激响应为以j

虚轴为界，我们将s平面分为左半平面与右半平面。由极点在s平面的位置可知hi(t)与h(t)的变化规律。(8.5-7)

(1)pi=σi+jωi为一阶极点。①σi>0，极点在s平面的右半平面，hi(t)随时间增长；②σi<0，极点在s平面的左半平面，hi(t)随时间衰减；③σi=0，极点在s平面的原点(ωi=0)或虚轴上，hi(t)对应于阶跃或等幅振荡。

(2)pi=σi+jωi为二阶或二阶以上极点。①σi>0或σi<0时，hi(t)随时间变化的趋势同一阶情况；②σi=0时，对应于t的正幂函数或增幅振荡。

(3)极点在s平面的位置与h(t)的变化规律。①系统函数H(s)的全部极点在左半平面，h(t)随时间衰减趋于零；②系统函数H(s)有极点在虚轴或右半平面，h(t)不随时间消失。从以上分析可知，由系统函数H(s)极点在s平面上的位置，便可确定h(t)的模式，判断单位冲激响应是随时间增长或衰减的信号，还是一个等幅(振荡或不变)的信号，如图8.5-2所示。图8.5-2零、极点与单位冲激响应模式8.5.4零、极点分布与系统频域特性由系统的零、极点分布不但可知系统时域响应的模式，也可以定性了解系统的频域(响)特性。因为由稳定系统的H(s)在s平面上零、极点图，可以大致地描绘出系统的频响特性|H(ω)|和j(ω)。一般二阶系统可表示为(8.5-8)取s=jω，即在s复平面中令s沿虚轴移动，得到对于任意零点zj(j=1，2)和极点pi(i=1，2)，相应的复数因子(矢量)如图8.5-3所示，都可以表示为零点与极点矢量，即(8.5-9)其中，Nj、Mi分别是零、极点矢量的模；ψj、θi分别是零、极点矢量与正实轴的夹角,则其中，由图8.5-3可见，随着ω变化，N、M长短会变化，ψ、θ也会变化。当ω在0~∞范围变化时，由矢量图可以得到相应的|H(ω)|和j(ω)曲线，再由对称性可得到-∞~0的幅频及相频特性。当系统函数零、极点数目不是很多时，利用零、极点矢量作定性的频谱分析还是有其方便之处的。

例8.5-2用矢量作图法求如图8.5-4所示高通滤波器的幅频、相频特性。图8.5-4例8.5-2高通滤波器解：式中，，零点z1=0，极点，零点与极点矢量如图8.5-5所示图8.5-5例8.5-2的零点与极点矢量图

(1)幅频特性。当ω=0时，N1=0，所以|H(ω)|=0；随着ω增大，N1、M1增大，且使|H(ω)|增大；当ω趋于∞时，，使得|H(ω)|1。

(2)相频特性j(ω)=j1-θ1。其中,j1=π/2，所以j(ω)=π/2-θ1。当ω=0时，θ1=0，j(ω)=π/2；随着ω增大，θ1增大，且使得j

(ω)减小；当ω趋于∞时，θ1趋于π/2，j(ω)趋于0。

(3)由3分贝截止频率ωC定义

20lg|H(ωC)|=-3dB或得解出

c=

幅频、相频特性如图8.5-6所示。图8.5-6例8.5-2的频响特性为给出由零、极点定性绘出系统幅频特性及相频特性曲线的一般方法，先讨论零、极点在虚轴上对幅频、相频特性的影响。虚轴上零、极点对幅频、相频特性的影响表现为：当频率变化至零点时有|H(ω)||ω=zj=0；当频率变化至极点时有|H(ω)||ω=pi=∞(非稳定)。其相频特性当频率ω通过虚轴上的零、极点时相位会发生±180°突跳。这种在虚轴上的零、极点情况是特例，具有一般意义的零、极点通常表示为zj=aj+jωj

，pi=aj+jωi。其中aj、aj为实部，当aj、ai很小时，零、极点靠近虚轴，此时由零、极点定性绘出的系统幅频特性及相频特性曲线一般有以下特点。

(1)幅频特性：在ω=ωi点，Mi=|pi|=|ai+jωi|最小，出现峰值；在ω=ωj点，Nj=|zj|=|aj+jωj|最小，出现谷值。

(2)相频特性：在ω=ωi

，ω=ωj附近相位变化均加快。零、极点靠近虚轴时系统幅频特性及相频特性曲线如图8.5-7所示。图8.5-7靠近虚轴的零、极点频响特性8.6连续时间系统的模拟

系统模拟是将描述系统的微分方程、系统函数转变为实际工程应用系统的桥梁——将系统的数学表示转变为实际系统的中间环节，即将数学公式转变为实际应用器件。8.6.1连续时间系统的模拟(仿真)

用系统的观点来分析问题时，可以把系统看做一个“黑盒子”，不管其内部的具体结构、参数如何，所关心的只是输入、输出之间的转换关系，如图8.6-1所示。图8.6-1系统的输入、输出表示通过实例可以证明，不同的结构和参数的系统可以具有相同的输入、输出关系。例8.6-1分别求如图8.6-2所示RL、RC电路的系统函数。图8.6-2例8.6-1RL、RC电路解：这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们的传输函数相同，因此它们的输入、输出关系完全相同，数学模型都是一阶微分方程y

(t)+y(t)=f(t)二阶LTI系统微分方程的一般形式为二阶LTI系统微分方程的一般形式为(8.6-1)其系统函数为(8.6-2)要对连续LTI系统进行模拟，就要对它的系统传输函数或微、积分方程进行模拟。从上面的例子知道具有相同输入、输出关系的系统，系统实现的结构、参数不是唯一的，为此可以选择容易实现的结构进行模拟。用三种基本运算，就可对式(8.6-1)的运算关系作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法器、积分器。描述系统的输入、输出关系既可用数学方程描述，亦可由基本运算器组成的模拟图描述。下面先介绍基本运算的模拟。

1.加法运算关系

(8.6-3)加法器如图8.6-3所示。图8.6-3加法器

2.标量乘法运算关系

(8.6-4)标量乘法器如图8.6-4所示。图8.6-4标量乘法器

3.积分运算关系积分器如图8.6-5所示。图8.6-5积分器基本运算模拟的加法器、标量乘法器、积分器有时域、复频域两种表示方法，所以一般模拟图既可用时域也可用复频域表示。因为复频域的系统函数是有理式，并且运算简单，因此实际系统模拟更常用复频域表示。8.6.2系统模拟的直接(卡尔曼)形式

1.全极点系统模拟的直接形式一阶系统的微分方程及系统函数表示为(8.6-6)

将一阶线性系统的微分方程改写为

y′(t)=f(t)-a0y(t)

(8.6-7)

将y′(t)做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域与复频域模拟图，如图8.6-6所示。图8.6-6一阶系统模拟一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟，其微分方程及系统函数为改写微分方程

y″(t)=f(t)-a1y′(t)-a0y(t)

积分器的输入为y″(t)，经两次积分得到y(t)，其模拟图如图8.6-7所示。(8.6-8)图8.6-7无零点二阶系统模拟2.二阶系统模拟的直接(卡尔曼)形式

以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为(8.6-9)将上式改写为(8.6-10)式(8.6-10)的模拟图如图8.6-8所示。图8.6-8一般二阶系统的模拟在系统模拟图中，系数ai=bj=0时为开路；ai=bj=1时为短路。8.6.3其他形式的模拟复杂系统往往由多个子系统组成，常见的组合形式有子系统的级联、并联等。由于用方框图可以简化复杂系统的表示，突出系统的输入、输出关系，因此通常用方框图表示子系统与系统的关系。

1.级(串)联形式级(串)联模拟实现方法是将H(s)分解为基本(一阶)节相乘。(8.6-11)式中，H1(s)、H2(s)是H(s)的子系统。也有将级联形式称为串联形式。式(8.6-11)表明级联的系统函数是各子系统函数的乘积，子系统的级联图如图8.6-9所示。图8.6-9系统的级(串)联方框图

例8.6-2已知某系统函数为画出由一阶系统级联的模拟图。解：

一阶系统级联的模拟图如图8.6-10所示。图8.6-10例8.6-2系统的级联模拟图

2.并联模拟并联模拟实现方法是对H(s)部分分式展开(8.6-12)式中，H1(s)、H2(s)是H(s)的子系统。

Hi(s)子系统模拟的基本形式同级联模拟。整个系统可以看成是两个子系统的叠加(并联)，其中每个子系统可按上面的子系统模拟，这种形式称为并联形式。子系统的并联图如图8.6-11所示。图8.6-11系统的并联方框图

例8.6-3已知某系统函数为画出其并联模拟图。解：一阶系统并联的模拟图如图8.6-12所示。图8.6-12例8.6-3系统的并联模拟图以上是系统的基本模拟方法，模拟方法的实现不同，调整的参数也有所不同。例如，直接形式(卡尔曼)可调整的是微分方程的系数ai、bj；级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系统的极点。通常可根据各种因素，选择适当的模拟方式达到好的系统设计效果。8.7

LTI连续系统的稳定性

稳定性是系统本身的性质之一，激励信号无关。稳定系统也是一般系统设计的目标之一。稳定性的概念有几种不同的提法，但是没有实质性的差别。这里给出普遍采用的稳定系统定义：有界输入产生有界输出（简称BIBO）的系统。如果对有界激励，系统的响应无界，系统就是不稳定的。LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积：

式中M为一有界的实数。满足式(8.7-1)的h(t)，一定是随时间衰减的函数，即。LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性，稳定性也必在其中。所以既可由的不同情况，也可由H(s)的极点分布对系统稳定性进行分类。(8.7-1)

1.稳定由8.5节零、极点分析可知，若H(s)的全部极点在s的左半平面(不含jω轴)，单位冲激响应满足

(8.7-2)系统稳定。

2.不稳定若H(s)有极点落在右半平面或者jω轴、原点处(有二阶以上重极点)，则单位冲激响应

(8.7-3)系统不稳定。

3.边(临)界稳定若H(s)在原点或jω轴上有一阶极点，则虽然单位冲激响应，但|h(t)|<M，0<t<

(8.7-4)例如纯LC网络，其单位冲激响应为无阻尼(等幅)的正弦振荡。因