《电路分析》课件第5章

第5章动态电路的时域分析

5.1换路定律

5.2一阶电路的零输入响应5.3一阶电路的零状态响应5.4一阶电路的全响应

5.5一阶电路的阶跃响应

5.6一阶电路的冲激响应

5.7二阶电路的分析

习题5【本章要点】

本章主要讨论一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应等概念及经典求法。5.1换路定律动态电路的结构或元件的参数发生变化称为换路。动态电路换路时，电路将从原来的稳定工作状态转变到另一种稳定工作状态，这期间需经历一个电磁过程，称为过渡过程(瞬态过程)。这种变化一般是由电路条件的变化引起的，如电路的接通、断开、接线的改变、激励或参数的骤然改变等。为研究方便起见，把换路前的瞬间作为过渡过程的起始时刻，记为t=0－；换路后的最初时刻记为t=0＋，换路(t=0)即发生在0－到0＋之间。分析动态电路过渡过程的方法之一是根据KCL、KVL和元件的VCR建立描述电路方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解微分方程，从而得到电路所求变量(电压或电流)。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定未知的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶。所谓初始条件,就是指电路中所求变量(电压或电流)及其n－1阶导数在t=0＋时的值，也称初始值。其中电容电压uC和电感电流iL的初始值，即uC(0＋)和iL(0＋)称为独立的初始值，其余的称为非独立的初始值。对于线性电容，在任一时刻，它的电荷、电压与电流的关系为式中，q、uC和iC分别为电容的电荷、电压和电流。令t0=0－，t=0+，得由以上两式可以看出，如果在换路前后，即0－到0＋的瞬间，电流iC(t)为有限值，则上面两式中等号右边的积分项为零，此时电容上的电荷和电压不发生跃变，即

q(0+)=q(0－)

(5－1a)

uC(0+)=uC(0－)

(5－1b)对于一个在t=0－时储存电荷为q(0－)、电压为uC(0－)=U0的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有uC(0＋)=uC(0－)=U0，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为U0的电压源。同理，对于一个在t=0-时不带电荷的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有uC(0＋)=uC(0－)=0，在换路瞬间电容相当于短路。对于线性电感，在任一时刻，它的磁链、电流与电压的关系为令t0=0－，t=0＋，有如果从0－到0＋瞬间，电压uL(t)为有限值，则上面两式中等号右边的积分项将为零，此时电感中的磁链和电流不发生跃变，即

ΨL(0+)=ΨL(0_)

(5－2a)

iL(0+)=iL(0－)

(5－2b)对于一个在t0=0－时电流为I0的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有iL(0+)=iL(0－)=I0，此电感在换路瞬间可视为一个电流为I0的电流源。同理，对于一个在t0=0－时电流为零的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有iL(0＋)=iL(0－)=0，此电感在换路瞬间相当于开路。式(5－1a)、(5－1b)和式(5－2a)、(5－2b)分别说明，在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变，这就是换路定律。即uC(0－)=uC(0+)iL(0－)=iL(0+)对于动态电路中除uC和iL以外的其他变量的初始值可以按以下步骤确定：

(1)先求换路前瞬间t0=0－时刻的uC(0－)或iL(0－)；

(2)根据换路定律确定uC(0+)或iL(0+)；

(3)以uC(0+)或iL(0+)为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律和直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值。例5－1如图5－1(a)所示为直流电源激励下的含有电感元件的动态电路，已知Us=20V，R1=10Ω，R2=30Ω，R3=20Ω，开关S打开时，电路处于稳态。t=0时S闭合，求S闭合瞬间各电压、电流的初始值。图5－1例5－1用图解选定各电压、电流参考方向，如图5－1(a)所示。

S打开时，电路处于直流稳态，此时电感相当于短路，有t=0时S闭合，根据换路定律，有

S闭合时，电感相当于一个电流源，作t=0+时的等效电路,如图5－1(b)所示。可求得由KVL得i1(0+)R1+uL(0+)+i2(0+)R2=Us

所以uL(0+)=Us－i2(0+)R2－i1(0+)R1=20－0.2×30－0.5×10=9V5.2一阶电路的零输入响应在实际应用电路中，我们常遇到含有一个或几个可等效为一个储能元件的线性非时变电路，这种电路常用一阶线性常微分方程描述，称为一阶电路。根据一阶电路所含储能元件的不同可分为RC电路和RL电路。通常将一阶电路分为零输入响应、零状态响应和全响应三种情况作分析。电路在外加输入（激励）为零时，由电路初始状态uC(0+)或iL(0+)产生的响应称为零输入响应。5.2.1

RC电路的零输入响应

RC零输入响应电路如图5－2(a)所示。图5－2

RC零输入响应电路开关原来与a点接通已处于稳态，电容上的电压uC(0－)=U0，t=0时，开关由a点接向b点，电容储存的能量将通过电阻以热能的形式释放出来(t≥0+)。这时电路如图5－2(b)所示。根据KVL有RiC+uC=0将电容的VAR关系，代入上式得到RC电路零输入响应的一阶微分方程为 （5-3）式（5-3）的通解为 （5-4）式中，p为微分算子；A为积分常数。将式(5-4)代入式(5-3)，得对应齐次微分方程的特征方程为

其特征根为

因为

具有时间单位秒的量纲，故称为时间常数，用τ表示，即由换路定律，得uC(0+)=uC(0－)=U0,将其代入式（5－4）中得A=uC(0+)=U0所以通解为（5－6）这就是电容放电过程中电压uC(t)的表达式。式（5－6）是一个随时间衰减的指数函数，uC随时间变化的曲线如图5－3所示。电容上的电流为 （5-7）图5－3

RC电路放电时的uC曲线式（5－7）也是一个随时间衰减的指数函数，实际方向与参考方向相反，放电曲线如图5－4实线所示。图5－4

RC电路放电时的iC曲线如设iC(t)和uC(t)为非关联参考方向，则电阻上的电压这种情况的放电电流变化曲线如图5－4虚线所示。从以上表达式可以看出，电压uC、uR和电流iC都是按照同样的指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中的大小。前面已提到RC称为电路的时间常数，用τ表示。引入τ后，电容电压uC和电流iC可以分别表示为的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特性的一个重要的量。当等于不同的值时，计算结果见表5-1。表5-1等于不同的值时计算结果严格地讲，当t→∞时，电压才会下降至零，但是实际上经过3τ~5τ的时间，可以认为过渡过程结束。从表5－1中可以看出，τ越大，过渡过程越长，反之则短，即τ决定了零输入响应衰减的快慢。在实测时间常数τ时，可通过测量输出衰减0.368U0

来决定时间常数；或在电路过渡过程响应曲线uC和iC上作切线得到，即τ为曲线上任意点的次切矩的长度，如图5－5所示。图5－5

uC、iC变化曲线

例5－2如图5－6(a)所示的电路已处于稳态。t=0时，开关由1拨向2，求t≥0时的uC(t)和iC(t)。图5－6例5－2用图

解开关由1拨向2瞬间电容电压不跃变，得

uC(0+)=uC(0－)=6V

当t≥0时,连接于电容两端的等效电阻为等效电路如图5－6(b)所示有τ=RC=10×103×10×10－6=0.1s由RC电路零输入响应表达式，得5.2.2

RL电路的零输入响应电路如图5－7所示，

t<0时处于直流稳态，所以iL(0－)=I0。t=0瞬间，因为电流不会发生跃变，所以iL(0+)=iL(0－)=I0。当t>0时，随着电阻不断消耗能量，电感电流不断下降，直至过渡过程结束。图5－7

RL电路零输入响应当t=0换路后，由KCL得iR=－iL

由KVL得uL－uR=0

由元件的VCR得将以上关系代入KVL方程得上式的通解为i=Aept，对应的特征方程为Lp+R=0其特征根为故电流为（5－8）

根据换路定律iL(0+)=iL(0－)=I0，代入式（5－8）确定系数A,得i(0+)=A=I0

所以电流的通解为电阻和电感上的电压分别为iL、uL和uR随时间变化的曲线如图5－8所示。图5－8

RL电路零输入响应iL、uR和uL的波形与RC电路相类似，具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。τ的大小反应了RL电路响应的快慢程度。L越大，在同样大的初始电流下，电感储存的磁场能量越多，通过电阻释放的能量需要的时间越长，暂态过程就越长；而当电阻越小，在同样大的初始电流下，电阻消耗的功率越小，暂态过程也就越长。式(5－9)可以写成的形式。

例5－3电路如图5－9所示，Us=35V，R1=5Ω，电压表的内阻R2=5kΩ，L=0.4H。t<0时电路处于直流稳态，t=0时开关断开。求t>0时的电流iL(t)及电压表两端的电压u2(t)。图5－9例5－3用图解t<0时电路处于直流稳态，L相当于短路，所以

时间常数由式（5－9）得

由电路的VAR得5.3一阶电路的零状态响应电路的状态初始储能为零即零状态，仅由外施激励引起的响应称为零状态响应。5.3.1

RC电路的零状态响应如图5－10所示，开关S闭合前电路处于零初始状态，即uC(0－)=0，t=0时刻，开关S闭合，电路接入直流电压源Us，根据KVL有图5－10

RC电路的零状态响应uR+uC=Us

把uR=Ri，代入上式，得电路的微分方程为此方程为一阶线性非齐次方程。方程的解由两个分量组成，即非齐次方程的特解和对应的齐次方程的通解，亦即不难求得特解为而齐次方程的通解为其中τ=RC。因此代入初值，可求得A=－Us

将上式代入中，得RC电路零状态响应表达式为

（5－10）

所以（5－11）当换路后电路达到新稳态时,uC(∞)=Us，于是式(5－10)可以改写为

uC和i的波形如图5－11所示。

RC电路的零状态响应过程即电源通过电阻对电容充电的过程。图5－11

uC和i的波形5.3.2

RL电路的零状态响应电路如图5－12所示，t<0时，电路处于稳态，即电感的初始状态iL(0－)=0。当t=0时，开关S打开，根据换路定律，iL(0+)=iL(0－)=0。当t≥0时，由KCL得图5－12

RL零状态响应电路iR+iL=Is把，代入上式，得一阶线性非齐次微分方程为

iL(0+)＝0与RC电路零状态响应求解过程类似，特解为齐次方程的通解为故方程的完全解为将初始条件t=0+代入上式，得解得于是得电感电流的零状态响应为即RL电路的零状态响应表达式为（5－12）其中:，为电路的时间常数;iL(∞)为电路终值。只要确定电路终值iL(∞)和时间常数τ，就可以直接写出电感电流的零状态响应表达式。电感两端的电压为

iL(t)、uL(t)波形如图5－13(a)、(b)所示。（5－13）图5－13

RL零状态响应电路的iL(t)和uL(t)的波形

例5－4如图5－14所示电路中，已知Us=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S闭合前电容未充过电，t=0时，开关闭合。求时间常数τ以及当t≥0时的uC(t)和iC(t)。图5－14例5－4用图

解当t≥0时,连接电容的等效电阻为

τ=RC=4×103×5×10－6=2×10－2

s当t≥0时，达到新稳态，电容两端电压为

所以

例5-5电路如图5-15所示，已知电感电流iL(0－)＝0，t＝0时闭合开关，求当t≥0时的电感电流和电感电压。图5-15例5-5用图解开关闭合前，电感电流iL(0－)＝0，内部无储能，开关闭合后，电感与电源相连，电感储存能量，直至最终储能完毕，电路进入新的直流稳态，电感相当于短路，此时电感电流

电路的时间常数根据RL电路零状态响应表达式可得(t≥0)(t≥0)5.4一阶电路的全响应一阶电路在输入和初始状态共同作用时所产生的响应称为全响应，电路如图5-16所示。图5-16一阶电路的全响应在图5-16中，已知uC(0－)=U0，t=0时开关闭合，求t≥0时的uC(t)和iC(t)。方程的完全解为换路后达到稳定状态电容电压的特解为通解为所以完全解为根据初始条件uC(0－)=uC(0＋)=U0得A=U0－Us

根据初始条件uC(0－)=uC(0＋)=U0得

A=U0－Us

把A=U0－Us代入得（5-14）这就是电容电压在t≥0时的全响应。将式（5-14）整理后得（5-15）从式（5-15）可以看出，若把电压源Us置零，电路恰好是零输入响应。根据uC(0－)=uC(0＋)=U0，以及当U0=0时，电路的响应恰好是零状态响应,说明一阶电路中全响应=（零输入响应）+（零状态响应）在式（5-14）中，

Us是电压源，t=0时，响应仍然存在，称为稳态分量；是按指数规律随时间的增长而逐渐衰减为零的，所以称为瞬态分量。全响应又可以表示为全响应=（稳态分量）+（暂态分量）在直流激励下，若设响应初始值为f(0+)，特解为稳态解f(∞)，时间常数为τ，则全响应f(t)可写为在直流激励下的一阶电路中，只要知道f(∞)、f(0+)和τ这三个要素，就可以直接写出一阶电路的全响应，这种方法就称为三要素法。如果用三要素法求得某个电压或电流响应后，可以应用替代定理得到一个电阻电路，由此电阻电路可求得其他电压和电流的响应。

例5-6电路如图5-17所示，电路处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t≥0时的uC(t)和i(t)。图5-17例5-6用图解（1）计算初始值uC(0＋)。当t<0时，如图5-17所示电路已经稳定，电容相当于开路，电容电压与电阻电压相同，即uC(0－)=8×2=16V故uC(0＋)=uC(0－)=16V

(2)计算稳态值uC(∞)。当t≥0时，电路重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠加定理求得

(3)计算时间常数τ。与电容相连接的输出总电阻为所以时间常数τ为τ=R0C=2×0.1=0.2s(4)将各变量代入全响应表达式，得5.5一阶电路的阶跃响应在动态电路中，为了方便描述电路的激励和响应，常应用阶跃函数来表示换路与阶跃响应。单位阶跃函数输入的零状态响应称为单位阶跃响应，记做s(t)。单位阶跃函数表达式为其波形如图5-18（a）所示。常用这个函数来描述零状态响应电路的开关动作，它表示在t=0时把电路接到单位直流电压。定义任一时刻t0起始的阶跃函数为其波形如图5-18（b）所示。ε(t－t0)可以看做是把ε(t)在时间轴上移动t0后的结果，所以又叫延迟单位阶跃函数。单位阶跃函数还可以用来“起始”一个f(t)(如图5-18(c)所示)，设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，则其波形如图5-18(c)所示。图5-18单位阶跃函数、延迟阶跃函数及阶跃函数的起始性如图5-19（a）所示，一个幅度为1的矩形脉冲，可以把它看做由两个阶跃函数组成，如图5-19（b）所示，即f(t)=ε(t)－ε(t－t0)当电路的激励为单位阶跃ε(t)V或ε(t)A时，相当于将电路在t=0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。阶跃响应的求法与恒定直流作用下的零状态响应的求法在本质上是相同的。已知电路的s(t)，如果该电路的恒定激励为us(t)=U0ε(t)或is(t)=I0ε(t)，则电路零状态响应为U0s(t)或I0s(t)。图5-19矩形脉冲的组成

例5-7如图5-20（a）所示电路中，开关S合在1时，电路已达到稳态。当t=0时，开关由1合向2；当t=RC时，开关又由2合向1。求当t≥0时的uC(t)。图5-20例5-7用图解电源的激励可表示为us(t)=Usε(t)－Usε(t－τ)，波形如图5－20(b)所示。

RC电路的单位阶跃响应为所以5.6一阶电路的冲激响应一阶电路在单位冲激函数激励下的零状态响应称为一阶冲激响应。其中，单位冲激函数用δ(t)表示，冲激响应用h(t)表示。单位冲激函数定义为延时单位冲激函数定义为单位冲激函数的波形和延时单位冲激函数的波形如图5－21所示。箭头旁边注明“1”，称为冲激强度，冲激强度为K的冲激函数，箭头旁边应注明K。图5－21单位冲激函数和延时单位冲激函数(a)单位冲激函数；(b)延时单位冲激函数冲激函数具有如下性质：

(1)单位冲激函数δ(t)对时间的换元移动积分等于单位阶跃函数ε(t)，即

阶跃函数ε(t)对时间的一阶导数等于冲激函数δ(t)，即

(2)单位冲激函数的筛选性质。由于t≠0时，δ(t)=0，因此，对任意在t=0时连续的函数f(t)，有f(t)δ(t)=f(0)δ(t)同理，对任意一个在t=τ时连续的函数f(t)，有

也就是说，冲激函数具有把一个函数在某一时刻的值筛选出来的本领，所以称为筛选性质。一阶电路冲激响应的求解过程如下：

(1)列出t≥0+时电路的微分方程，设x(t)为uC(t)或iL(t)，则方程的形式为(5-16)

(2)求x(0+)。其方法是对式(5-16)取积分，即其中x(t)是不含δ(t)的函数，否则式(5-16)不成立。因此，，则得(5-17)

(3)当t≥0+时，式（5－16）变成

(4)求解以上两微分方程。例5－8求如图5－22所示电路的i(t)，已知i(0-)=0。图5－22例5－8用图解电路方程及初始值为对第一式两边积分得上式中的i(t)为有限值，不能为δ(t)函数，否则不能成立，所以有5.7二阶电路的分析在前面所讲的一阶电路分析中，三要素法是一个有效的方法，但在二阶电路的分析中，三要素法已经不适用。本节对于二阶电路的分析仍然采用经典法，即首先建立二阶微分方程，然后根据两个储能元件的初始条件，求解电路的响应。如图5-23所示为一个RLC串联电路。电容C原已充电，其端电压为U0，电感L中的电流为零。t=0时，将开关S闭合，分析电路的零输入响应。图5-23

RLC串联电路的零选定电压、电流参考方向(如图5-23所示)，S闭合后，根据KVL得uR+uL-uC=0回路电流电阻电压电感电压将以上两式代入KVL方程得(5-18)式（5-18）是以uC为变量的二阶线性齐次微分方程。其特征根为LCp2+RCp+1=0解出特征根为当电路元件参数R、L、C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：(1)时，p1、p2为两个不相等的实根。(2)时，p1、p2为两个相等的实根。(3)时，p1、p2为共轭复数根。特征根的三种不同情况决定着RLC串联电路零输入响应的三种不同情况。下面分别讨论。

1.

,非振荡放电过程

这种情况下，p1、p2为两个不相等的负实根，微分方程的解为(5-19)而(5-20)考虑到初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，iC(0+)=iC(0-)=0，将t=0分别代入式(5-19)和式(5-20)，得解此方程组，可得积分常数，将A1、A2代入式(5-19)和式(5-20)，得(5-21)(5-22)

由于，所以(5-23)(5-24)图5-24画出了uC、uL和i随时间变化的曲线，从图中可以看出，uC、i始终不改变方向，而且有uC>0，

i>0，这表明电容在整个过渡过程中一直在释放存储的能量，因此称为非振荡放电，又称为过阻尼放电。图5-24非振荡放电过程中的uC、uL和i随时间变化的曲线例5-9在如图5-25所示电路中，已知Us=10V，C=1μF，R=4

kΩ，L=1H，开关S原来在1处，t=0时，开关S由1接至2处。求uC、i和uL。图5-25例5-9用图解已知R=4kΩ，而,所以是非震荡的，且。特征根根据式（5-20）、（5-22）和（5-23），得2.震荡放电过程

这种情况下，特征根p1、p2是一对共轭复数，令则于是有如图5-26中，令则有α=ω0cosβ，ω=ω0sinβ，根据ejβ=cosβ+jsinβ，e-jβ=cosβ－jsinβ，可求得p1=－ω0e－jβ,p2=－ω0ejβ

将其代入式（5-21）得（5-25）根据，或利用式（5-22）可求得图5-26表示ω0、ω和α相互关系的三角形振荡放电过程中，uC、uL和i的波形如图5-27所示。它们的振幅是随时间作指数衰减的，故称为衰减振荡，也称为欠阻尼情况。图5-27振荡放电过程中的uC、uL和i的波形3.临界阻尼情况当时，特征方程有重根。此时，微分方程的通解为uC=(A1－A2)e－α·t

因此得将初始条件uC(0+)=U0，

i(0+)=0代入以上两式，可得方程组解得

A1=U0,A2=αU0所以得由以上表达式可以看出uC、uL和i将不再作振荡变比，即具有非振荡的性质。它们的波形与图5-24所示波形相似。此时，电路的状态处于振荡与非振荡的分界线上。习题5

5-1电路如图所示，在t=0时开关由a投向b，在此以前电容电压为U。试求t≥0时的电容电压及电流。习题5-1图

5-2电路如图所示，在t=0时开关打开，在打开前一瞬间，电容电压为6V。试求t≥0和t<0时的3Ω电阻中的电流。习题5-2图

5-3电路如图所示，在t=0时开关由a投向b，已知在换路前一瞬间，电感电流为1A。试求t≥0时各电流的值。习题5-3图

5-4电路如图所示，开关在t=0时打开，已知uC(0)=0，求uC(t)、i(t)和iC(t)。习题5-4图

5-5电路如图所示，开关在t=0时闭合。在闭合前处于打开状态为时已久。试求t≥0时的uL(t)、iL(t)以及其他各电流。习题5-5图

5-6电路如图所示，开关在t=0时闭合。在闭合前无储能。试求t≥0时，电容电压uC(t)以及各电流。习题5-6图

5-7电路如图所示，已知Us8V，t≥0；R=500Ω,L=10mH；

i(0)=－10mA。求t≥0时的i(t)。习题5-7图

5-8电流i的波形分别如图(a)、(b)所示，试写出函数表示式i(