《电路与线性系统分析》课件第5章

5.1正弦稳态电路概述5.2正弦电量与相量5.3相量形式的两类电路约束条件5.4相量法5.5正弦稳态电路的功率5.6耦合电感和理想变压器5.7应用习题五

前四章，我们以直流电路为背景，讨论了几种基本的电路分析方法和线性电路定理。在实际应用中，直流通路的作用是为电路建立所需要的工作状态。除了直流电路分析外，正弦稳态电路分析也是不可缺的基础内容，在理论研究和实际应用中具有举足轻重的地位。在电路理论中，把按正弦或余弦函数规律变化的电压、电流统称为正弦信号。5.1正弦稳态电路概述

所谓正弦稳态电路是指：在正弦信号作用下，响应也是同频率正弦信号的电路。人们对正弦稳态电路分析感兴趣有两个重要原因：一、正弦信号容易产生，并能低损耗长距离传输，所以，在仪器仪表、电力、通信、广播等系统中广泛用作信号或能量的载体。二、在理论上，正弦稳态电路的分析方法能推广到分析任意信号作用下的线性电路响应(将在后面章节里学习)。用相量法分析正弦稳态电路是本章的学习重点，相量法的分析思路如图5.1-1所示。在给定时域电路和正弦信号的条件下，先进行相量变换，把正弦电压、电流变换为相量，把时域电路变换为相量电路；然后，在相量域里，列方程，解方程，求出我们感兴趣电量的相量解；最后，再通过相量反变换，把相量电压或电流转换成时域里的正弦电压或电流。图5.1-1相量法的示意图相量法是一种变换域的分析方法。1893年，德裔奥地利数学家及电气工程教授查尔斯·斯坦麦茨首次提出了相量的概念，用相量表示正弦函数的振幅和初相。通过时域到相量域的变换，把一个原本要用微积分分析的电路问题转变成一个用复数四则运算分析的电路问题，从而简化了电路分析的难度，使交流电路的分析发生了根本性的变化。本章内容按相量分析法的思路编排：从了解正弦函数和相量的相关概念开始，学习如何进行正弦函数与相量之间的变换与反变换；然后介绍相量电路必须遵循的两类约束条件，即相量形式的基尔霍夫定律和元件的伏安关系；随后学习用相量法求正弦稳态响应的步骤和分析方法。在这个过程中，将介绍电感、电容、耦合电感等元件的伏安关系和分析方法。5.2正弦电量与相量

5.2.1正弦电量

1.正弦电量的三要素正弦电量指：按正弦函数规律变化的电压或电流。数学表达式为f(t)=Fmcos(ωt+φ)(5.2-1)式中f(t)代表电压或者电流。当f(t)=u(t)时，为正弦电压；当f(t)=i(t)时，为正弦电流。f(t)的大小和方向随时间变化，在设定了参考方向后，若f(t1)>0，表示在t1时刻，f(t1)的真实方向与参考方向一致，否则，相反。式中三个参数Fm、ω和φ一旦确定，f(t)就能唯一地确定，因此，这三个参数被称为正弦函数的三要素。Fm被称为振幅，是正弦电量能达到的最大值。ωt+φ

被称为相位角，简称相位，单位取弧度(rad)；φ是在t=0时刻的相位，被称为初始相位，简称初相。规定初相的取值范围在|φ|≤π。当初相φ落在Ⅰ、Ⅱ象限时，取正角，见示意图5.2-1；当φ落在Ⅲ、Ⅳ象限时，取负角，从而确保初相取值的唯一性；仅当初相落在负实轴上时，φ的取值才有二值性，取π或-π值都可以。初相与波形的关系见图5.2-2。当φ=0时，见图(a)，正峰值正好在时间的起点；当φ>0时，见图(b)，离t=0最近的正峰值出现在负时间轴t1=-φ/ω<0处；当φ<0时，见图(c)，离t=0最近的正峰值出现在正时间轴t1=-φ/ω>0处。可见，初相决定了离起点最近的正峰值出现的位置。图5.2-1二维坐标图5.2-2初相φ与波形的关系（a）φ=0;（b）φ>0;（c）φ<0角频率表示相位随时间变化的速度，单位用弧度/秒(rad/s)。它与周期T(单位用秒(s))和频率f(单位用赫兹(Hz))的关系是(5.2-2)在电力系统中，正弦波通常作为传输能量的载体，我国提供的正弦交流电频率为50Hz，对应的角频率为314rad/s，周期为0.02。在通信与广播系统中，用正弦波作为传递信息的载体，一般使用频率较高。常用的频率单位有千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)，它们之间的换算关系为1kHz=103Hz1MHz=106Hz1GHz=109Hz例5.2-1正弦电流的波形如图5.2-3所示。

(1)试求波形的振幅Im、角频率ω和初相φ。

(2)写出电流波形的表达式。图5.2-3例5.2-1电路解：（1）由波形可知，电流的振幅

Im=10A电流的周期

T=22.5-2.5=20ms

电流的角频率电流的初相(2)电流的表达式为

2.正弦电量的相位差

顾名思义，两个正弦电量的相位之差为相位差。在进行正弦稳态电路分析时，常利用同频率正弦电量之间的相位差来辅助分析。设两个同频率正弦电量分别为f1(t)=F1mcos(ωt+φ1)f2(t)=F2mcos(ωt+φ2)若用f1(t)的相位减去f2(t)的相位，相位差用θ12

表示，则θ12=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2(5.2-3)可见，在任意时刻，两个同频率正弦电量的相位差等于它们的初相之差，是与时间无关的常量。为使相位差的取值具有唯一性，规定取值范围在|θ|≤π。相位差有以下几种可能的情况：

(1)θ12=φ1-φ2>0，称f1(t)超前f2(t)一个θ12角度；或者说，f2(t)滞后f1(t)一个θ12角度。从波形图5.2-4(a)上看，在时间上，f1(t)的正峰值比f2(t)的正峰值早出现。

(2)θ12<0，称f2(t)超前f1(t)一个θ12角度；或者说，f1(t)滞后f2(t)一个θ12角度。从波形图5.2-4(b)上看，在时间上，f2(t)的正峰值比f1(t)的正峰值早出现。

(3)θ12=0，称f1(t)与f2(t)同相，见图5.2-4(c)；f1(t)与f2(t)同时达到最大值或最小值。

(4)θ12=±π，称f1(t)与f2(t)反相，见图5.2-4(d)；当f1(t)到达正(负)峰值时，f2(t)到达负(正)峰值。

(5)θ12=±π/2，称f1(t)与f2(t)正交，见图5.2-4(e)；当f1(t)到达峰值时，f2(t)为零值；而当f1(t)为零值时，f2(t)到达峰值。图5.2-4相位差的几种情况(a)θ12>0;(b)θ12<0;(c)θ12=0;(d)θ12=±π;(e)θ12=±π/2

例5.2-2设两个同频率正弦电压分别为u1(t)=10cos(ωt+60°)V，u2(t)=-2sin(ωt+60°)V，求它们的相位差。

解：首先要把两个电压统一用正余弦函数表示，电压u2(t)另写为u2(t)=-2cos(ωt-90°+60°)=2cos(ωt+180°-30°)V两个电压的相位差为θ12=60°-150°=-90°，或者是θ21=150°-60°=90°，说明u2(t)与u1(t)正交。

3.正弦电量的有效值有效值是衡量周期函数大小的物理量，也被称为方均根值，定义为(5.2-4)我们从能量的角度来认识和理解这个定义式。令f(t)=i(t)，是一个按周期规律变化的、流过电阻R的电流，该电阻R在一个周期里消耗的交流能量为如果让一个大小为I的直流电流也流过电阻R，在一个周期T里，电阻R消耗的直流能量为W=RI2T

若，从能量上看，周期电流i(t)的大小与直流电流I是等效的，因而，我们就用I来表示周期电流i(t)的大小，可推出

抽去i(t)的物理背景，就是周期函数有效值的定义式(5.2-4)。正弦函数是周期函数的一个特例，当f(t)=Fmcos(ωt+φ)时，代入式(5.2-4)，有上式积分的第一项是常数，积分结果为，第二项积分为零，得正弦函数的有效值正弦波形的有效值与振幅之间相差一个常数。引入有效值后，正弦波又可写为用交流表测出的电压或电流、220V的生活用电压、380V的工业用电压,以及在电气设备的铭牌上标注的额定值都是指有效值。但器件和电气设备的耐压值通常是指最大值。5.2.2复数

为了便于后面的学习，本小节将补充复数、复数运算规则等相关知识。

1.复数及复数的表示方法

复数有复常数与复变函数之分。如果复数值不随时间变化，则是复常数，记作A；如果复数值随时间变化，则称为复变函数，记为A(t)。复数可以用数学表达式或图形表示，其中数学表达式又有直角坐标和极坐标两种不同的形式。

1)复数A的直角坐标表达式

A=a1+ja2式中j为虚数单位，定义，或者j2=-1；a1、a2都是实常数；a1称为复数A的实部，与A的关系为a1=Re[A]=Re[a1+ja2]，Re为取实部“算子”；a2称为复数A的虚部，与A的关系为a2=Im[A]=Im[a1+ja2]，Im为取虚部“算子”。

2)复数A的极坐标表达式其中|A|为复数的模；

j为复数的辐角。

3)复数A用有向线段表示图5.2-5为复平面，其横轴为“实轴”，纵轴为“虚轴”；在复平面上，复数A用一条由原点指向A点的有向线段表示，该有向线段的长度取复数的模值|A|；模值|A|在实轴上的投影等于复数的实部a1，模值|A|在虚轴上的投影等于复数的虚部a2。换句话说，A点的横坐标是复数的实部，纵坐标是复数的虚部。有向线段与实轴的夹角取A的幅角j；规定辐角的取值范围在：-180°≤j≤180°图5.2-5复平面

4)直角坐标参数与极坐标参数的转换关系在做复数运算时，时常需要在直角坐标与极坐标之间进行相互转换。由图5.2-5可见，参数之间呈直角三角形关系。

(1)已知直角坐标参数a1、a2，求极坐标参数|A|、j：根据a1、a2的“±”号取值不同，辐角有以下4种计算情况：若a1>0，a2>0，辐角j在第一象限，取若a1<0，a2>0，辐角j在第二象限，取若a1<0，a2<0，辐角j在第三象限，取若a1>0，a2<0，辐角j在第四象限，取

(2)已知极坐标参数|A|、j，求直角坐标参数a1、a2：例5.2-3把下列复数用直角坐标形式表示(1)；(2)；(3)；(4)；(5)

解：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

例5.2-4把下列复数用极坐标形式表示，并在复平面上画出对应的有向线段。(1)A1=3+j4；(2)A2=

3+j3；(3)A3=5；(4)A4=

j5。

解：(1)(2)(3)(4)各复数的线段表示见图5.2-6。图5.2-6例5.2-4请熟悉以下四种特殊情况：

2.复数的四则运算四则运算包括加、减、乘、除。设：复数

1)加、减运算

A+B=(a1+ja2)+(b1+jb2)=(a1+b1)+j(a2+b2)A

B=(a1+ja2)

(b1+jb2)=(a1

b1)+j(a2

b2)运算规则：实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减。加、减运算用直角坐标形式方便，如果复数以极坐标形式给出，要先转换为直角坐标形式,再进行加、减运算。在复平面上进行加、减运算见示意图5.2-7。复数A、B如图5.2-7(a)所示。做A+B运算的方法见图5.2-7(b)：A不动，平移B，B的起点平移至A的终点，则从A的起点指向B的终点的有向线段为A+B。A-B=A+(-B)，把减B运算视为加(-B)的加法运算。如何根据已知的B画出(-B)线段呢？B与(-B)模相等，辐角相差180°，因此，把B旋转180°便是(-B)，见图5.2-7(c)。然后，再按加法运算的作图法画出A+(-B)。图5.2-7复数加、减运算

(a)复数A、B图示；(b)A+B的图示；(c)A-B的图示

2)乘运算运算规则：模相乘，辐角相加。也可按以下步骤运算：AB=(a1+ja2)(b1+jb2)=a1b1+ja2b1+ja1b2+j2

a2

b2

=(a1b1

a2

b2)+j(a2b1+a1b2)可见，乘运算用极坐标形式比用直角坐标形式简便。若复数以直角坐标形式给出，通常是先转换成极坐标形式，再进行乘运算。

3)除运算运算规则：模相除，辐角相减。也可按以下步骤运算：同样，除运算用极坐标形式比用直角坐标形式简便。例5.2-5已知，，求：A+B，A

B，AB，A/B。解：

5.2.3相量

相量是用于表示正弦函数的振幅与初相的复数，相量有振幅相量与有效值相量之分。以下只介绍有效值相量，并简称为相量。假设正弦电量为。有效值相量的定义(5.2-7)从“数”的角度看，相量就是一个复常数，但与复常数不同的是，相量与正弦函数之间建立了对应关系。相量的模取正弦函数的有效值F，相量的角度取正弦函数的初相φ，而复常数没有这层联系。为了与复常数加以区别，称其为相量，并在大写符号上方加“·”表示。相量能沿用复数的表示方法、运算法则和复数定理。相量用有向线段表示的图形被称为相量图，见图5.2-8。已知正弦函数，找其对应的相量，是把时间函数变换为复常数，这个过程被称为相量变换；反过来，已知相量，找其对应的正弦函数，是把复常数变换为时间函数，这叫做相量反变换。相量与正弦函数有如下的对应关系：

例5.2-6已知i1(t)=2cos(10t+45°)A，i2(t)=2sin(5t+45°)A，请写出这两个正弦电流对应的相量。解：根据已知的正弦电流和相量的定义，正弦电流i1(t)的相量为把正弦电流i2(t)的时域表达式用cos函数表示为正弦电流i2(t)对应的相量为请考虑：i(t)=2cos(20t+45°)A对应的有效值相量是什么？你从中能领悟到什么？由相量的定义可知：初相与振幅相同，频率不同的正弦函数有相同的相量。所以，相量与正弦函数不是一对一的关系，是一对多。如果已知相量，要写出唯一的正弦函数，必须给出频率。例5.2-7已知，，正弦电压的频率f=106Hz，请写出相量对应的正弦电压。解：正弦函数的振幅与初相从相量的极坐标形式中一目了然，对应的正弦电压为相量电压以直角坐标形式给出，要先进行直角坐标到极坐标的变换，有则强调：正弦函数与相量是不相等的，不能用“=”号连接，即。5.3.1相量形式的基尔霍夫定律

相量形式的基尔霍夫定律和元件伏安关系是列写相量电路方程的基本依据，是学习相量法必不可少内容。5.3.1相量形式的基尔霍夫定律

1.相量形式的KCL定律的叙述：在正弦稳态电路中，与任一节点或封闭面相连的支路电流相量的代数和为零。数学表述为(5.3-1)式(5.3-1)中代表接入某节点或封闭面上的第k条支路电流相量。如果流进节点或封闭面的电流相量取正，那么，流出的电流相量就要取负；反之也成立。特别强调两点(1)使用式(5.3-1)有条件，电路中各支路电流必须是同频率正弦函数。(2)如果丢掉了电流上的“·”，等式便不成立，即∑Ik≠0，正弦电流有效值的代数和不等于0。

例5.3-1图5.3-1(a)所示某电路的一个节点，电路处于正弦稳定状态，在图示参考方向下，i1(t)=200cos(314t+45°)A，i2(t)=200cos(314t+135°)A，i3(t)=100cos(314t+45°)A，求电流i4(t)。图5.3-1例5.3-1电路(a)时域电路；(b)相量电路分析：由题意知，各支路电流为同频率正弦函数，电路处于正弦稳定状态，符合使用相量形式KCL的条件；求正弦稳态响应i4(t)的关键是找其振幅和初相，用相量法来完成这项工作最简单。请注意以下相量法的解题步骤。解：第一步，相量变换。相量变换的内容：(1)把已知的正弦电流转换为对应的相量电流。(2)把已知的时域电路转换为对应的相量电路。所谓时域电路是指：电路中的元件参数、电量都是时间的函数；前四章，我们都在讨论时域电路，由于分析对象是线性时不变直流电路，所以，电路模型中的电量和元件参数是不随时间变化的常数。各正弦电流对应的相量分别为做图5.3-1(b)所示相量电路。与时域电路相比，电路结构不变，仅把时域电量转换为相量。第二步，求。列图5.3-1(b)的节点电流方程。流进取“+”，流出取“-”，有得第三步，相量反变换。

2.相量形式的KVL

在正弦稳态电路中，任一闭合回路上各支路电压相量的代数和等于零。记为方程中，如果在回路绕行方向上电压降的相量电压取正，那么，沿回路绕行方向上电压升的相量电压就取负；反之也成立。与相量形式的KCL类似，式中各支路电压相量对应的正弦函数必须同频率。注意，∑Uk≠0,有效值电压的代数和不等于0。(5.3-2)

例5.3-2

图5.3-2(a)为正弦稳态电路，已知，，求端口电压u(t)。图5.3-2例5.3-2电路(a)时域电路；(b)相量电路解：用相量法。

(1)相量变换。画相量电路如图5.3-2(b)所示。

，u1、u2应的相量分别为

(2)求。列图5.3-2(b)的回路电压方程，有

(3)相量反变换5.3.2相量形式的元件伏安关系在交流电路中，基本电路元件除了前面已学过的电阻外，还有电容和电感。这小节先学习电容和电感的伏安关系，再介绍电阻相量形式的伏安关系。

1.电容元件电容器的概念出现于1745年，从范·缪森勃洛克为放电实验制作的平板电容器开始。时至今日，电容器的品种、规格很多，应用也极为广泛。若按材料划分电容，有陶瓷电容器、云母电容器、薄膜电容器、纸质电容器、聚苯乙烯电容器、钽电容器、电解电容器等等。若按可调性划分，有可变电容器与固定电容器。电容元件是电容器理想化的电路模型，定义为：一个二端元件，如果在任意时刻t，它所储存的电荷q(t)与端电压u(t)之间的关系能够由q~u平面上过原点的一条斜线确定，见图5.3-3，则该元件被称为线性时不变电容，简称电容。图5.3-3斜线的数学表达式为或者(5.3-3)图5.3-3电容的含义式(5.3-3)中参数C被称为电容量，是斜线的斜率；因电容量C是常数，不随电压u、电荷q和时间t变化，所以称为线性时不变电容。电容的单位为“法拉”，简称“法”，用符号F表示。在微电子领域里，法这个单位太大，常用微法(μF)、皮法(pF)，它们之间的关系为1F=106μF=1012pF在购置的电容器上，除了标注电容量外，还标注额定电压。使用时，电容器两端的电压不要超过额定电压，否则，电容的绝缘介质会被击穿，电容则损毁。电容的时域电路符号如图5.3-4所示，它形如电容结构。图5.3-4电容的时域电路符号无论是理论研究还是实际应用，常用伏安关系来分析问题。式(5.3-3)两边对t求导，有，把电流的定义，得到电容微分形式的伏安关系(5.3-4)式(5.3-4)承载了这样一些信息：电容电流与电容电压的大小无关，仅与电容电压的变化有关。当电容电压变化时，表明电容正在充电或放电，这时有电流流过电容；电容电压变化越快，充、放电电流就越大，反之，电压变化慢，充、放电电流小。由于此特点，称电容是动态元件。电阻元件没有这样的特点，电阻电流与电阻电压的变化无关，只与电压的大小成正比。在直流电路中，由于电容电压不变化，电容电流为零，电容等效为开路，这就是为什么在讨论直流电路时没见电容踪影的原因。电容具有隔直流、通交流的功能。此外，在实际电路中电容电压不能跳变，必须是时间的连续函数。因为假如电容电压能跳变，在跳变点电压的导数无穷大，则电流无穷大，就需要有能提供无穷大功率的电源，这无法实现。已知电容电压，能用式(5.3-4)求电容电流。如果是已知电容电流，如何求电容电压呢？假设电压、电流参考方向关联，对式(5.3-4)积分，有式(5.3-5)告知：t时刻的电容电压与t时刻以前的全部电流有关，电容是一个“电流记忆”元件。当我们只关心时间点t=0以后的电流与电压关系时，把式(5.3-5)另写为(5.3-5)(5.3-6)称u(0)为初始电压，或初始状态。式(5.3-6)说明：如果只关注t≥0的电容电压，只要知道初始电压u(0)和t>0的电容电流，就可以唯一确定t>0的电容电压。电容元件不消耗能量，具有存储电能的功能。在t时刻，电容储能的计算式为由式(5.3-7)可见，储能与电容电压有关。判断某时刻电容有无储能就看该时刻有无电压。能量的单位是焦耳(J)。

(5.3-7)当电容电压、电容电流是同频率正弦函数时，即，;如果选择用相量法分析，则电流相量为，电压相量为，相量形式的电容伏安关系为或者(5.3-8)把式(5.3-4)中的i换成，u换成，求导符号换成jω，就是式(5.3-8)。式中，，单位是西门子(S)；，单位是欧姆(Ω)。电容相量形式的电路符号见图5.3-5。当电容电压与电容电流参考方向关联时，有图5.3-5电容的相量电路符号可见，在参考方向关联时，电容电流超前电容电压90°。这一关系可用相量图表示，见图5.3-6。图5.3-6电容的相量图

例5.3-3电容如图5.3-7(a)中所示，已知电路处在正弦稳定状态，u(t)=cos(106t+60°)V，求电流i(t)。图5.3-7例5.3-3电路解：用相量法。作相量电路，见图5.3-7(b)；，，在图示电压、电流参考方向非关联情况下，得相量反变换图5.3-7例5.3-3电路

2.电感元件电感是电感器的理想化电路元件，具有储存磁场能量的物理特性。定义为：一个二端元件，如果在任意时刻t，流经它的电流i(t)与其磁链Ψ(t)之间的关系能由Ψ~i平面上过原点的一条斜线确定，如图5.3-8所示，就称该元件为线性时不变电感，简称电感。

图5.3-8斜线的数学表达式为其中，参数L被称为电感量，是斜线的斜率，因L不随电流i、磁链Ψ和时间t变化，是常数，所以称其为线性时不变电感。电感的单位为“亨利”，简称“亨”，用符号H表示；常用单位还有：毫亨(mH)、微亨(μH)，它们之间的关系为(5.3-9)图5.3-8电感的定义电感的时域电路符号见图5.3-9。电感器最初是用导线绕成线圈制作而成，导线可以绕在铁芯、钢芯、塑料芯上，或者是空芯，电感的时域电路符号形如线绕线圈的结构。通常，在信号频率较低的电力系统和音频系统中用铁芯(电感量大，信号频率高时损耗功率大)；在使用信号频率高的无线电路中则用铁氧芯或者空芯；在集成电路中，电感不用导线绕制构成。使用线绕电感线圈时，不要超过线圈上标注的额定工作电流，否则会因大电流使线圈过热而烧毁，或者使线圈受到过大电磁力的作用而发生机械变形。图5.3-9电感的时域电路符号电感与电容是对偶元件，电感的伏安关系可以通过对偶关系获得。如i→u，C→L，u→i

，→，→，可得电感微分形式的伏安关系在电压、电流参考方向关联的条件下，电感积分形式的伏安关系为(5.3-10)(5.3-11)电感相量形式的伏安关系或者参考方向关联(5.3-12)或者参考方向关联(5.3-13)电感储存磁场能量的计算式(5.3-14)电感相量形式的电路符号如图(5.3-10)所示。需要做以下几点说明

(1)把式(5.3-12)另写为：可见，当电压与电流参考方向关联时，电感电压超前电感电流90°；电压与电流的相位关系见图5.3-11。图5.3-10电感的相量电路符号

(2)由式(5.3-10)看到：电感电压值与电感电流的大小无关，仅与电感电流的变化率成正比。只有当电感电流变化时，才会在线圈上感应电压。在直流电路中，电感电流恒定不变，电感电压为零，电感等效为导线。

(3)在式(5.3-11)中，i(0)被称为初始电流，或初始状态。如果只关注t≥0的电感电流，只要知道初始电流i(0)和t>0的电感电压，就可以根据式(5.3-11)唯一确定t>0的电感电流。

(4)电感电流不能跳变，必须是时间的连续函数。

(5)由式(5.3-14)可见，判断t时刻电感有无储存磁场能量，要看t时刻有无电感电流。

(6)已知电感电流求电感电压用式(5.3-10)；已知电感电压求电感电流用式(5.3-11)，式(5.3-11)、(5.3-10)用于求任意函数形式的电压与电流；式(5.3-12)和(5.3-13)只能用于求正弦函数形式的电压与电流。

3.电阻相量形式的伏安关系设在正弦稳态电路中，电阻电压与电流是同频率的正弦函数，分别为正弦电压与电流对应的相量分别为：电阻相量形式的伏安关系为

或者(5.3-15)在电压、电流参考方向关联的情况下，有，说明电阻的电压相量与电流相量同相，相量关系见图5.3-12。电阻的相量电路模型如图5.3-13所示。图5.3-12电阻的相量图图5.3-13电阻的相量模型例5.3-4电路如图5.3-14所示。已知电路处于正弦稳定状态，R=15Ω，L=10mH，C=50μF，u(t)=60cos103tV，求i(t)。图5.3-14例5.3-1电路解：用相量法。第一步，相量变换。相量电路中的元件参数相量电路模型如图5.3-15所示。第二步，求i(t)对应的相量。节点电流方程为第三步，相量反变换5.3.3阻抗与导纳在直流电路中，无源单口电路能够等效化简为一个电阻或电导；在相量电路中，无源单口电路能等效化简成什么呢？在例3.5-2中，我们能找到答案。图5.3-15所示电路的端口电压相量与电流相量的比值为可见，比值是一个复常数，该复常数的单位是欧姆。我们把这个复常数称为阻抗。该结果蕴涵了这样一个一般性结论：在相量电路中，由电阻、电感、电容和受控源组成的无源单口电路可以等效化简为一个阻抗，如图5.3-16所示。图5.3-16无源单口电路及等效电路

(a)无源单口电路；(b)阻抗的电路模型在关联参考方向下，阻抗定义为式(5.3-16)又被视为相量形式的欧姆定律。通常，阻抗值随角频率ω变化，有在式(5.3-17)中，阻抗的实部R(ω)被称为电阻，虚部X(ω)被称为电抗；阻抗模为；阻抗角θz(ω)=ju-ji。(5.3-16)(5.3-17)阻抗角提供了有关电压与电流之间的相位信息和阻抗性质的信息。如果单口电路仅由R、L、C组成，阻抗角的取值范围在-90°≤θz≤90°。若θz=-90°，表示电流超前电压90°，单口电路为纯电容。电容的阻抗是负虚数，阻抗的实部为零。电容的阻抗值与频率成反比，即在ω=0的直流电路中，阻抗值为无穷大；ω=∞时，阻抗值为零。若阻抗角落在-90°<θz<0范围，表示电流超前电压，阻抗呈容性，阻抗的虚部取负值。若θz=0，电流与电压同相，单口电路等效为电阻，电阻的阻抗Z=R，阻抗虚部为零。若阻抗角落在0<θz<90°范围，端口电压超前电流，阻抗呈感性，阻抗的虚部取正数。若θz=90°，端口电压超前电流90°，单口电路为纯电感。电感的阻抗Z=jωL=jXL是正虚数，阻抗的实部为零。电感的阻抗值与频率成正比，即在ω=0的直流电路中，阻抗值为零；ω=∞时，阻抗值无穷大。阻抗的倒数被称为导纳，记作阻抗与导纳的关系类似于直流电路中电阻与电导的关系，它们是对偶元件。导纳也是复常数；通常，导纳是频率的函数。它与阻抗、电压、电流有如下关系：(5.3-18)导纳的模；导纳角θy=ji-ju=-θz；导纳的实部G(ω)被称为电导，虚部B(ω)被称为电纳。例5.3-5设某电路的端口电压与电流参考方向关联，若，，(1)求该电路的端口等效阻抗Z和导纳Y；(2)电压与电流的相位差是多少？(3)该电路呈感性还是容性？解：(1)等效阻抗等效导纳

(2)端口电压与电流的相位差是45°。

(3)阻抗角θz=45°,说明电压超前电流45°，该电路呈感性。5.4相量法

前述一系列分析直流电路的方法及定理，比如等效变换法、网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理、诺顿定理等等，都能用于分析相量电路。因为分析相量电路与直流电路的基本依据完全相同，所以能够得到类似的计算公式、分析方法与电路定理(见表5.4-1)。表5.4-1

用相量法分析正弦稳态电路，通常采用如下步骤：

(1)相量变换。把正弦电压与电流变换成相量；把时域电路变换为相量电路。在电路变换时，电路结构不变，电量的参考方向不变，元件用相量电路模型替换。如果给出的是相量电路和相量形式的电量，可省略这步。

(2)依托相量电路模型，根据两类约束条件、各种分析方法和电路定理，在相量域里列、解方程，求出待求电量的相量解。

(3)若要得到解的时域表达式，再对相量解作相量反变换。例5.4-1电路如图5.4-1(a)所示，已知外加电源电压，(1)求端口等效阻抗Z；(2)判断阻抗Z的性质。图5.4-1例5.4-1

解：作相量变换。由题意知，信号的角频率为ω=103rad/s，在该频率上，电感与电容的阻抗值分别为jωL=j103×20×10-3=j20Ω

相量电路见图5.4-1(b)。

(1)在图(b)电路中，50Ω电阻与电容并联，等效阻抗Z1为端口等效阻抗为(2)端口等效阻抗为实数，所以阻抗呈电阻性。

例5.4-2电路如图5.4-2(a)所示，电压源频率是60Hz，求电流和对应的正弦函数。图5.4-2例5.4-2电路

解：第一步，求相量和方法一，见图5.4-2(a)，电感与电容并联的等效阻抗为利用分压公式，得根据元件的伏安关系，得方法二：把图中电压源等效变换为电流源，见图5.4-2(b)。利用分流公式得第二步，相量反变换，求i1(t)和i2(t)。由已知条件得

2

×60=120

rad/s，则

例5.4-3

相量电路如图5.4-3所示。已知，，求电流。图5.4-3例5.4-3电路解：方法一，网孔法。根据图5.4-3，列网孔电流方程。网孔1网孔2式(1)+式(2)×0.5，消去电流，得(1)(2)方法二，戴维南等效法。

(1)求开路电压。断开图5.4-3电路中的电容，见图5.4-4(a)。端口开路电压为

(2)求端口等效阻抗Z0。移去图5.4-3电路中的电容，电压源短路，电流源断开，见图5.4-4(b)。Z0=2+2∥2=2+1=3Ω

(3)求。根据以上结果，画原电路的等效电路图5.4-4(c)。由图可得图5.4-4用戴维南定理解例5.4-3

例5.4-4求图5.4-5(a)所示电路中的电压u(t)。图5.4-5例5.4-4

解：根据已知条件，画出图(a)对应的相量电路，见图(b)。选用节点法，节点电压方程为整理得相量反变换u(t)=6.32cos(t-71.56°)V例5.4-5电路如图5.4-6所示，求：角频率在10×103rad/s时，端口等效电路。图5.4-6例5.4-5电路思路：对于含受控源的电路，一般要通过求端口伏安关系化简电路。

解：作相量电路，见图5.4-6(b)。列回路电压方程把Ù1=

50İ

代入上式，得端口伏安关系则可见，无源单口电路等效为一个阻抗。例5.4-6电路如图5.4-7(a)所示，求电流i。图5.4-7例5.4-6电路解：用叠加法。8V直流电压源单独作用，交流电压源置零；在直流电路中电感短路，等效电路见图(b)。

10cos4tV的正弦电压源单独作用，直流电压源置零；相量电路如图(c)所示。利用分压和电感的伏安关系可得

相量反变换i2(t)=0.79cos(4t-71.56°)A

叠加i(t)=I1+i2(t)=4+0.79cos(4t-71.56°)A

要点：当独立源的频率不同时，必须用叠加法求响应。叠加要在时域里进行，不能在相量域叠加。

5.5正弦稳态电路的功率

正弦稳态电路的用途之一是传递电功率。对于许多电器设备、通信系统、家电产品，功率是一个非常重要的参数指标。本小节将介绍一些功率的概念，重点讨论平均功率的计算以及功率传输问题。5.5.1瞬时功率和平均功率

1.瞬时功率设单口正弦稳态电路的端口电压、电流参考方向关联，见图5.5-1。端口正弦电压、正弦电流分别为，，代入功率计算式，有利用三角公式，单口电路的瞬时功率又可表示为(5.5-1)式(5.5-1)对应的波形为图5.5-2。不难看出，瞬时功率随时间作周期性的变化。p(t)>0，单口电路从外电路吸收功率；p(t)<0，单口电路向外电路提供功率。在实际应用中，测量瞬时功率意义不大。通常是用功率表测量平均功率。图5.5-1单口正弦稳态电路图5.5-2瞬时功率的波形

2.平均功率(或称损耗功率、有功功率)

瞬时功率在一个周期里的平均值为平均功率，记作(5.5-2)把式(5.5-1)代入以上定义式，得式中，被积函数的第一项是周期函数，在一个周期内的积分为零；第二项是与时间无关的常数，因此，正弦稳态电路的平均功率为P=IUcos(ju-ji)

(5.5-3)式(5.5-3)用于求任意单口电路的平均功率。式中U、I分别为正弦电压、电流的有效值；ju、ji分别为正弦电压、电流的初相。平均功率的单位是“瓦”(W)。例5.5-1已知某正弦稳态电路的端口电压u(t)=120cos(50t+30°)V，端口电流i(t)=10cos(50t-15°)A，求该电路的平均功率。解：端口电压相量端口电流相量电路的平均功率当单口电路由电阻、电感和电容组成时，等效为一个阻抗或导纳，且阻抗角θz和导纳角θy在Ⅰ、Ⅳ象限取值；在此情况下，有θz=-θy=ju-ji，cosθz=cos(-θy)；单口电路的伏安关系或者)，其有效值满足U=|Z|I(或者I=|Y|U)，把这些关系代入式(5.5-3)，得(5.5-4)(5.5-5)式中，Re[Z]表示取阻抗Z=R+jX的实部R；Im[Y]表示取导纳Y=G+jB的实部G。这两个式子只能用于求无源(不含独立源和受控源)电路的平均功率；若知端口电流和阻抗，用式(5.5-4)；若知端口电压和导纳，用式(5.5-5)。

例5.5-2已知阻抗Z=30+j70Ω两端的电压相量，该阻抗的损耗功率是多少？

解：方法一，利用式(5.5-5)。阻抗Z的损耗功率为方法二，利用式(5.5-4)。设该元件电流与电压参考方向关联，则有阻抗Z的损耗功率为当单口电路为纯电阻电路或电阻元件时，端口电压与电流同相，满足欧姆定律，有如下关系：ju-ji=0，U=RI，把它们代入式(5.5-3)，得电阻的平均功率计算式(5.5-6)当单口电路仅由电感组成或是电感元件时，有ju-ji=θz=90°，代入计算平均功率的通式(5.5-3)，得电感的平均功率PL=UIcos90°=0与电感类似，当单口电路仅由电容构成或是电容元件时，有ju-ji=θz=-90°，代入通式(5.5-3)，得电容的平均功率PL=UIcos(-90°)=0不难看出：电路中的平均功率取决于电阻，电阻是消耗功率的元件，所以，平均功率又被称为损耗功率。电感、电容不是耗能元件，其平均功率为零。你可能会问：电路端口的平均功率与电路中各个电阻的平均功率之间存在什么联系呢？它们之间遵循能量守恒原则，即电路端口的总平均功率等于电路内部各电阻平均功率之和，(5.5-7)例5.5-3电路如图5.5-3所示，已知端口电压，求电路的平均功率。图5.5-3例5.5-3电路

解：方法一，根据式(5.5-5)求电路的平均功率。这是一个无源单口电路，端口等效导纳为电路的平均功率为

方法二，根据式(5.5-3)求电路的平均功率。计算式(5.5-3)应用范围宽，既可用于有源电路，也可用于无源电路。在图示电流参考方向下，有则方法三,利用能量守恒原则，3Ω电阻的损耗功率就是整个电路的损耗功率。支路电流为电阻的平均功率

例5.5-4求图5.5-4(a)所示电路中电压源提供的功率。分析：由题意知，这是一个正弦稳态电路的功率问题，因此要根据相量电路求功率。其次，根据能量守恒原则，电源提供的功率+电路消耗的功率=0，所以，可通过求电路的损耗功率来间接地求电源提供的功率。求法不止一种，下面只举一种。图5.5-4例5.5-4电路

解：作原电路对应的相量电路见图5.5-4(b)。通过求电路的损耗功率，间接地获取电源的平均功率。图5.5-4(b)虚线右边电路的等效阻抗为则导纳是虚线右边电路的损耗功率电压源的平均功率为功率值为负说明电压源提供10W的功率。5.5.2最大平均功率传输定理

在正弦稳态电路中，同样有最大功率传输的需求。由于正弦稳态电路的情况与直流电路不太相同，所以，不能照搬直流电路的功率匹配结论。正弦稳态电路的功率匹配情况比直流电路复杂，这里只介绍一种匹配方式。假设电路处于正弦稳定状态，信号由前端含源电路向后接无源负载传递，见图5.5-5(a)。利用相量变换和等效知识，在前后两部分电路的接口处，把前端含源电路等效化简为实际电压源；后部无源负载等效为一个阻抗，相量等效电路呈现图5.5-5(b)的形式。图中，实际电压源参数固定不变，负载阻抗的实部和虚部可以独立变化。在此情况下，有如下最大功率传输(或说，共轭匹配)定理：图5.5-5讨论正弦稳态电路功率传输问题的示意图当负载ZL=Z*0时，即RL=R0，XL=-X0时，负载ZL能从前端电路获得最大功率，最大平均功率为(5.5-8)解：从图(a)的虚线处把电路划分为两部分，利用戴维南定理化简虚线左端的含源单口电路。求开路电压Uoc。断开图5.5-6(a)中负载ZL，再把实际电流源转换为电压源，见图5.5-6(b)。ab端口开路时，端口电流为零，因此，电感与电阻串联。利用分压公式得求阻抗Z0。移去图5.5-6(a)中负载ZL，同时断开电流源，见图5.5-6(c)。图(c)端口的等效阻抗为简化等效电路见图5.5-6(d)。根据最大功率传输定理知：

(1)当负载ZL=Z*0=2-j2kΩ时，能获得最大功率；

(2)最大功率为图5.5-6例5.5-5电路5.5.3正弦稳态电路的其他功率

在电力工程领域，把平均功率称为有功功率。除了有功功率外，常使用的还有以下几种功率和参数。

1.视在功率S

设单口电路的端口电压相量与电流相量分别为：，；视在功率定义为：电压有效值与电流有效值的乘积为视在功率，记作

S=UI

(5.5-9)视在功率是电气设备允许使用的最大平均功率，或者说，表示电气设备的容量。在使用时，若平均功率超过了允许的容量，电气设备将不能正常工作，严重时可能损毁设备。为了区别于平均功率，视在功率的单位用“伏安”(V·A)。例5.5-6已知一台发电机的容量为2.8kV·A，额定电压是380V，问：(1)该发电机能够输出的最大平均功率是多少？(2)它的额定电流是多少？解：(1)根据题意知，该发电机的最大平均功率为2.8kV·A；(2)额定电流为视在功率反映设备的能力，平均功率表示设备实际提供或消耗的功率，通常，这两者不相等。比较式(5.5-3)和式(5.5-8)可见，平均功率P与视在功率S差一个比例系数cos(

u

i)，由于|

cos(

u

i)|

1，所以，P

S。

2.功率因数λ功率因数用符号λ表示，定义为(5.5-10)无源电路的功率因数为(5.5-11)功率因数无量纲，取值λ≤1。功率因数的值与电路参数及负载有关。例如，一台容量为1000kV·A的发电机，若负载的λ=0.6，该发电机的实际输出平均功率仅有600kW。可见，负载的λ低，发电机的容量不能充分利用。例5.5-7图5.5-7为某输电线路的等效电路，图中Z=6+j6Ω为输电线的等效阻抗，ZL为负载阻抗；负载消耗的功率P=500kW，负载的功率因数为0.9，负载电压U=5.5kV,求输电线的功率损耗。图5.5-7例5.5-7电路

解：根据P=UIcosθz可求得线路上电流有效值，为输电线的损耗功率可见，输电线的损耗功率很大，要减小损耗，措施之一是提高负载的功率因数cosθz，从而减小线路电流I，以达到提高输电效率的目的。

3.无功功率Q无功功率定义为Q=UIsin(ju-ji)(5.5-12)无功功率的单位取“乏”(var)。无功功率值表示单口电路与外接电路进行能量交换的最大速率。耗能元件电阻只进不出，与外界没有能量交换，所以，电阻的无功功率为零；动态元件电容和电感与外界有能量交换，存在无功功率。对于电感，ju-ji=θz=90°，无功功率Q=UIsin90°=UI，取正值；对电容而言，ju-ji=θz=-90°，无功功率Q=UIsin(-90°)=-UI，取负值。电路端口总的无功功率等于电路中各动态元件的无功功率之和，有(5.5-13)

4.复功率

为了把以上各种功率之间的关系用简单的数学形式表示出来，电气工程师通过长期的努力，杜撰出了复功率，定义为

(5.5-14)

复功率是一个复数，它的模等于视在功率S，实部是有功功率P，虚部是无功功率Q。视在功率与有功功率和无功功率的关系为。5.6耦合电感和理想变压器

在电系统中，变压器是应用极其广泛的电子器件。在远距离电力传输中，通过变压器进行电压变换，以减小传输损耗，提高传输效率。在通信系统中，用变压器实现阻抗匹配和信号耦合。在电子设备中，利用变压器向不同终端提供所需的功率，或者实现部件之间、电路之间的绝缘。变压器是根据磁耦合现象设计的电子器件。倘若回路中变化的电流产生的变化磁场穿过了邻近回路，即使这两个回路之间无连接，这个变化磁场也会在邻近回路中感应电压，进而在邻近回路中产生电流，我们把这种现象称为磁耦合。在电路理论中，磁耦合器件可用耦合电感或者理想变压器构成的电路模型来等效。本节将学习：耦合电感的伏安关系及含耦合电感元件的电路分析；理想变压器的伏安关系及含理想变压器的电路分析。5.6.1耦合电感的伏安关系图5.6-1是一种耦合线圈的结构示意图，由两个存在磁耦合的线圈构成，它属于二端口元件，要用两个端口伏安关系式来完整地描述。下面推导线圈Ⅰ的端口伏安关系。图5.6-1两互感线圈的结构示意图假设两个线圈的电感量分别为常数L1和L2，两线圈之间的互感为常数M；流过两个线圈的交变电流分别为i1和i2，见图5.6-2。穿过线圈Ⅰ的磁链Ψ1由两部分构成：一是线圈Ⅰ的电流i1在本线圈中产生的自感磁链Ψ11，为(5.6-1)式(5.6-1)中的正负号与Ψ11和i1的参考方向有关。二是线圈Ⅱ的电流i2在线圈Ⅰ中产生的互感磁链Ψ12，为(5.6-2)同样，式中正负号与Ψ12和i2的参考方向有关。线圈Ⅰ的总磁链上式两边对t求导，并把代入，得线圈Ⅰ端口伏安关系的一般形式(5.6-3)式(5.6-3)的第一项为自感电压，由电流i1产生；第二项为互感电压，由线圈Ⅱ的电流i2产生。按照相同的思路，可推出线圈Ⅱ有以下端口伏安关系:(5.6-4)由式(5.6-3)不难看出，当线圈Ⅱ端口断开，i2(t)=0时，或者是直流通过线圈Ⅱ，i2(t)=I时，式中互感电压项，这时线圈Ⅰ的端口伏安关系为，与独立电感相同。由于直流电流产生的互感磁链不随时间变化，所以不会在线圈Ⅰ中感应互感电压，这表明耦合电感不传递直流，只传递交流信号。当i1(t)=0或i1(t)=I时，式(5.6-3)的自感电压项，。同理分析式(5.6-4)，可以得到类似的结果。根据式(5.6-3)和式(5.6-4)中正负号的不同组合，耦合电感的伏安关系有16种可能的形式。自感电压项的“±”号取决于本端口电压与本端口电流参考方向的关联性，参考方向关联取“+”，非关联则取“-”。为了确定互感电压的正负号，引入了同名端的概念。图5.6-3耦合电感的时域电路符号耦合电感的时域电路符号如图5.6-3所示。描述一个二端口耦合电感要三个参数：L1、L2和M。对于线性时不变耦合电感而言，这三个参数都是常数。图中每个电感上都有一个标记“·”，这不仅是区别独立电感的标记，而且是确定互感电压极性必不可少的标记。我们把不同端口标“·”(或无“·”)的一对端子称为同名端。在图5.6-3中，1、3端子是一对同名端，2、4端子也是一对同名端。同名端的物理含义是：当两个端口的电流都从同名端流入时，在线圈中产生的自感磁链和互感磁链的方向一致。

例5.6-1图5.6-4(a)为一互感线圈的结构图，请找出其同名端。图5.6-4例5.6-1电路

解：确定同名端的依据是其物理含义。首先，任意假设两个端口的电流流向，见图5.6-4(a)；再根据右手螺旋法则判断各个电流产生的磁通方向，即右手四个指头方向为电流方向，拇指方向为磁通方向。磁通方向画于图5.6-4(a)，电流i1产生的磁通Φ11与电流i2产生的Φ12方向相反，所以，判断1与4是同名端，2与3为同名端。标注见图5.6-4(b)。引入同名端的目的是要借助同名端确定互感电压的极性。根据同名端的含义不难得到如下判断方法：互感电压的正极性位于与另一端口电流流入端对应的同名端处。比如，确定图5.6-5所示耦合电感11′端口的互感电压极性。注意：11′端口的互感电压由22′端口的电流i2产生。图中i2从2′端子流入，2′端与1端是同名端，因此，11′端口互感电压的正极性在1端。如果互感电压的极性与本端口电压的参考极性一致，互感电压取“+”。反之，不一致，则取“-”。图5.6-5判断互感电压的极性

例5.6-2写出图5.6-6所示耦合电感的伏安关系。图5.6-6例5.6-2电路

解：11′端口的伏安关系式为

u1与i1的参考方向关联，所以自感电压取“+”号。电流i2从2端流入，图中2端子与1端子是同名端，因此，互感电压的正极性在1端子；互感电压极性与11′端口电压u1的参考方向一致，故取“+”号。同理，22′端口的伏安关系式为式(5.6-3)和式(5.6-4)用于分析任何形式的时间信号，倘若电压、电流是同频率的正弦函数，可采用相量法简化分析。耦合电感相量形式的电路符号见图5.6-7。相量形式的伏安关系如下：

例5.6-3写出图5.6-8所示耦合电感的伏安关系。图5.6-8例5.6-3电路

例5.6-4写出图5.6-9所示耦合电感的伏安关系。图5.6-9例5.6-4电路在不知道互感线圈(变压器)结构的情况下，可以通过测试确定同名端。测试电路如图5.6-10所示，图中电阻起限流作用。在开关合上瞬间，若电压表正偏，可判断接电压表正极的3端与电流流入的1端是同名端；若电压表反偏，则判断接电压表负极的4端与电流流入的1端是同名端。为什么？开关合上时，流入1端的电流增加，有；电压表内阻很大，故3、4端视为开路，电压表测到的是互感电压，而互感电压的正极性端子与电流流入端是同名端，所以有以上判断。图5.6-10同名端测试电路互感量M不能任意取值，其取值范围在。耦合电感的耦合程度用耦合系数k来衡量，耦合系数定义为(5.6-6)k的取值范围在0≤k≤1。当k=0时，表示两个电感之间没有磁耦合，是独立电感；当k<0.5时，为松耦合；当0.5<k<1时，为紧耦合；当k=1时，为全耦合，表示一个线圈电流产生的磁通全部与另一个线圈交链，没有漏磁。5.6.2含耦合电感电路的相量分析法分析耦合电感电路的常用方法有受控源等效法和去耦等效法，前者的运用范围较宽，但分析含受控源电路时较麻烦。后者正相反，运用范围较窄，但因电路中无受控源，容易分析。本小节侧重介绍去耦等效分析法。比较耦合电感与独立电感的伏安关系，显然前者要比后者复杂；与之类似，分析耦合电感电路要比独立电感电路复杂。很自然地，人们就会去寻求简化分析耦合电感电路的方法，希望能用简单的独立电感替代复杂的耦合电感，这样就产生了去耦等效法。去耦等效的思路是：通过等效变换，用若干独立电感构成的电路去等效一个耦合电感，从而把含耦合电感的电路等效变换为独立电感的电路，然后，再进行电路分析。图5.6-11(a)与图5.6-11(c)连接的耦合电感形如T字，故称为T形连接。T形结构有同名端连接与异名端连接之分。图5.6-11(a)为同名端连接，它与图5.6-11(b)所示的独立电感电路端口伏安关系相同，因此，图5.6-11(c)是图5.6-11(a)的去耦等效电路。图5.6-11(c)为异名端连接，它对应的去耦等效电路为图5.6-11(d)。注意：去耦等效变换只适用于T形连接的耦合电感。图5.6-11

T形连接的去耦等效变换(a)同名端连接；(b)同名端连接的去耦等效电路；

(c)异名端连接；(d)异名端连接的去耦等效电路

例5.6-5电路如图5.6-12(a)所示，已知us(t)=20costV，求电流i(t)。图5.6-12例5.6-5电路(a)时域电路；(b)相量电路；(c)去耦等效电路

解：该题属于正弦稳态电路，故采用相量分法。原电路对应的相量电路如图5.6-12(b)所示，图中耦合电感是T形结构，且同名端连接，去耦等效电路如图5.6-12(c)。列图5.6-12(c)的网孔电流方程联立以上两式，消去电流，得作相量反变换

例5.6-6求图5.6-13(a)电路ab端口的等效电路。图5.6-13例5.6-6电路

解：图中两个耦合电感串联，不能用去耦等效法，要根据伏安关系找等效电路。设电感电压、端口电压及电流参考方向关联，如图5.6-13(b)所示。耦合电感的伏安关系为端口呈现电感的伏安关系，等效电感值为L1+L2+2M，等效电路如图(c)所示。则

例5.6-7图5.6-14是典型的空芯变压器电路模型。空芯变压器的线圈绕在非铁磁性材料制成的芯子上，或者空芯，属于松耦合器件。它具有线性电磁特性，是线性元件，广泛用于高频电路。通常，把接电源的线圈L1称为初级线圈，构成的回路称为初级回路。接负载ZL的线圈L2称为次级线圈，构成的回路称为次级回路。变压器利用耦合线圈把能量或信号传递给次级回路。图中电阻R1包括了信号源内阻和初级线圈的损耗；R2为次级线圈的损耗。求：(1)11′端口的等效电路；(2)22′端口的等效电路。图5.6-14例5.6-7电路解：用去耦等效法分析。你一定会产生疑问：图5.6-14中的耦合电感不是T形结构，怎么能用去耦等效法呢？连接图5.6-14的1′2′两端，见图5.6-15(a)，不会改变原电路的电压、电流分布，所以，图5.6-14电路与图5.6-15(a)电路相等；图5.6-15(a)中的耦合电感是T形接法，去耦等效电路见图5.6-15(b)。图5.6-15空芯变压器电路的去耦等效令：Z11=R1+jωL1为初级回路的阻抗；Z22=R2+jωL2+ZL为次级回路的阻抗；ZM=jωM为互阻抗。

(1)求11′端口的等效电路。根据图5.6-16(a)，11′端口的等效阻抗为整理，得(1)式中第二项被称为次级回路在初级回路的反映阻抗。11′端口的等效阻抗由初级线圈的感抗jωL1与反映阻抗串联构成，见图5.6-16(b)。从路的角度看，次级回路通过反映阻抗从初级回路获取能量或信号；如果反映阻抗为零，初级回路不向次级回路传递能量。比如当负载ZL=∞时，次级回路不消耗能量。这时，反映阻抗为0，次级回路不从初级回路获取能量。图5.6-16例5.6-7的11′端等效电路

(2)求22′端口的等效电路。先求22′端口的开路电压，见图5.6-17(a)。利用分压公式得求22′端口的等效阻抗时，将电压源短路，见图5.6-17(b)。22′端口的等效阻抗为(2)(3)式中被称为初级回路在次级回路的反映阻抗。22′端口的等效电路见图5.6-17(c)。图5.6-17例5.6-7的22′端等效电路在求初级回路的相关电量时，用图5.6-18所示的初级等效电路；在求次级回路的相关电量时，则用图5.6-19所示的次级等效电路。两个反映阻抗表达式