自动控制原理 课件 7.3 变换

7.3

z

变换

在线性连续系统中，以拉普拉斯变换作为数学工具，将系统的微分方程转化为代数方程，建立了以传递函数为基础的数学模型，使得分析问题得以简化。与此类似，在线性离散系统中，采用

z变换作为数学工具，将差分方程转化为代数方程，可以建立以脉冲传递函数为基础的离散系统的数学模型。由此可见，z变换是分析离散系统的重要数学工具，它是从拉普拉斯变换直接引申出来的一种变换方法，与拉普拉斯变换有很多相似之处。7.3.1

z

变换定义

连续信号

f(t)

通过采样周期为T的理想采样后可得到采样信号

f*(t)，其表达式为对上式进行拉普拉斯变换，得令,代入上式可得

将上式展开，得由此看出，采样信号的z变换是复变量

z

的幂级数。其一般项

有明确的物理意义

f(kT)表征采样脉冲的幅值；z

的幂次表征采样脉冲出现的时刻。7.3.2z

变换方法求离散时间函数的

z变换有多种方法，下面只介绍常用的两种方法。

1.级数求和法

级数求和法是根据

z变换的定义式求函数

f

*(t)

的

z变换。只有当

F(z)表达式的无穷级数收敛时，才可表示为封闭形式。下面通过求解典型信号的

z变换来说明如何应用级数求和法计算z变换。解：例7-1

试求单位阶跃函数

f(t)=1(t)的

z变换

F(z)

。

由

z变换定义可得这是一个公比为

的等比级数，当

，即

时，级数收敛，则可写成闭合形式为解：由

z变换定义可得例7-2试求理想单位脉冲序列

的

z变换

F(z)

。

比较例7-

1和例7-2可以看出，不同的

f(t)

可以得到相同的

F(z)。这是由于单位阶跃信号采样后与理想单位脉冲序列是一样的，所以z变换只是对采样点上的信息有效，只要采样信号

f*(t)相同，

F(z)就相同，但采样前的f(t)

可以是不同的。这是利用

z

变换法分析离散系统时特别要注意的一个问题。解：由

z变换定义可得单位斜坡信号的

z变换为例7-3求单位斜坡信号

f(t)=t

的

z变换

F(z)

。

由例7-1可知两边对

z求导，得两边同乘-Tz

，便得单位斜坡信号的

z变换解：例7-4试求指数函数

的

z变换F(z)

变换。由

z变换定义可得这是一个公比为

的等比级数，当

，即

时，级数收敛，则可写成闭合形式为解：由

z变换定义可得例7-5试求指数序列

的

z变换F(z)

变换。值得注意的是，由于大多数工程问题中的

z变换都存在，因此今后对

z

变换的收敛区间不再特别指出。教材表7-3-1列出了常用时间函数的

z变换，以供查询。解：先对

F(s)

进行部分分式分解2.部分分式法已知时间函数

f(t)的拉普拉斯变换

F(s)，将其分解成部分分式之和，通过查

z变换表可求出F(z)

。例7-6已知

，试求

z变换F(z)

。查

z变换表得7.3.3

z

变换基本定理z变换与拉普拉斯变换类似，在z变换中有一些基本定理，它们可以使z变换应用变得简单和方便。

1.线性定理如果

，,a和b是常数，则2.实数位移定理如果函数

f(t)

是可拉普拉斯变换的，其

z变换为F(z)，则有

(1)滞后定理(2)超前定理3.复数位移定理如果函数

f(t)

是可拉普拉斯变换的，其

z变换为F(z)，则有

4.初值定理如果

，且

存在，则5.终值定理如果

，且

存在，则7.3.4

z

反变换所谓

z反变换，是已知z变换表达式

F

(z)，求相应离散序列

f(kT)的过程。记为

由于

F

(z)只含有连续信号

f(t)

在采样时刻的信息，因而通过

z反变只能求得连续信号

f(t)

在采样时刻的数值

f*(t)或离散序列

f(kT)。求

z反变换一般有三种方法，分别为长除法、部分分式法和留数法。1.长除法通常

F

(z)是

z

的有理分式，将F

(z)的分子和分母分别表示为按

z-1

升幂排列的多项式，即将上式分母除分子，得到幂级数的展开式

由

z变换定义可知，式中系数

ck

恰为采样信号

f*(t)的脉冲强度

f

(kT)。因此，利用长除法即可获得与

F(z)

对应的离散序列

f(kT)或采样信号

f*(t)。

此法在实际中应用较为方便，但通常只能计算有限

n项，要得到

f(kT)的一般表达式较为困难。解：例7-7已知

，试用长除法求

F(z)

的

z反变换。将

F(z)的分子和分母表示为

的升幂形式

应用长除法，即F(z)可写成

可得离散序列可得采样信号2.部分分式法假设

F(z)仅含有单实极点

p1

,p2,…,

pn

，则

可展成其中求

z反变换，得解：因为将其展开为部分分式例7-8已知

，试用部分分式法求

F(z)

的

z反变换。其中：由此得两边分别求

z反变换，得两边同乘以z，得

3.留数法

在实际问题中遇到的

z变换函数

F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函数，无法应用部分分式法或长除法来求z反变换，此时采用留数法较为方便。

由

z变换定义有

根据柯西留数定理有式中

n是

的极点个数；

表示函数

在极点pj

处的留数。

当

pj

为单极点时，留数为当

pj

为

m

单极点时，留数为解：因为极点处的留数为故

例7-9已知

，试用留数法求

F(z)

的

z反变换。解：因为例7-10已知

，试用留数法求

F(z)

的

z反变换。在

处为单极点，其留数为在

处为二重极点，其留数为故

7.3.5差分方程

微分方程是描述连续系统的时域数学模型，而差分方程则是描述离散系统的时域数学模型。如同用拉普拉斯变换法求解微分方程一样，在离散系统中常用

z

变换法求解差分方程。1.差分的定义

假设连续函数为

f(t)，其采样后的离散序列为

f(kT)，通常为书写方便，常将T略去，即f(kT)简写为f(k)，则一阶后向差分定义为n阶后向差分定义为二阶后向差分定义为同理，一阶前向差分定义为n阶前向差分定义为二阶前向差分定义为2.线性定常离散系统差分方程的一般形式

对于一般的线性定常离散系统，假设

c(k)

表示当前时刻的输出，r

(k)表示当前时刻的输入，系统输入与输出之间的关系可用n阶后向差分方程表示为线性定常离散系统还可以用

n阶前向差分方程来描述，其表达式为

实际上，后向差分方程和前向差分方程并无本质区别，前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，后向差分方程多用于描述全零初始值的离散系统。若不考虑初始值，就系统输入、输出关系而言，两者完全等价。3.差分方程的求解

差分方程的求解通常采用迭代法和z变换法。（1）迭代法

若已知差分方程，并且给定输入序列以及输出序列的初始值，就可以利用递推关系，逐步迭代计算出输出序列。例7-11已知某离散系统的差分方程为输入序列

，初始条件

，用迭代法求输出序列

。解：根据递推关系以及初始条件，可得（2）z

变换法

用

z变换法求解差分方程与连续系统用拉普拉斯变换法求解微分方程类似。在给定初始条件下，对差分方程两边取

z变换，利用实数位移定理，将差分方程转换为以

z

为变量的代数方程，再通过

z反变换，便可求出输出序列c(k)

。

解：差分方程两边取

z变换，有例7-12已知某离散系统的差分方程为输入序列

，初始条件

，用迭代法求输出序列

。将初始条件代入上式，整理可得因故输出序列为

7.3.6MATLAB实现在MATLAB中，提供了求解变换的函数ztrans()，其调用格式如下1.求z

变换F=ztrans(f)%实现函数f(n)的z变换，默认返回函数F是关于z的函数F=ztrans(f,w)%实现函数f(n)的z变换，返回函数F是关于w的函数F=ztrans(f,k,w)%实现函数f(k)的z变换，返回函数F是关于w的函数解：MATLAB程序如下。clc;clearsymsakTf1=a^k;F1=ztrans(f1)f2=10*exp(-5*k*T)-10*exp(-10*k*T);F2=ztrans(f2)例7-13

求和的

z变换。执行该程序，运行结果为即F1=-z/(a-z)F2=(10*z)/(z-exp(-5*T))-(10*z)/(z-exp(-10*T))在MATLAB中，提供了求解反变换的函数iztrans()，其调用格式如下。2.求

z

反变换f=iztrans(F)%实现函数F(z)的z反变换，默认返回函数f是关于n的函数f=iztrans(F,k)%实现函数F(z)的z反变换，返回函数f是关于k的函数f=iztrans(F,w,k)%实现函数F(w)的z反变换，返回函数f是关于k的函数解：MATLAB程序如下。clc;clearsymskzFz=(2*z^2)/(z+1)/(z+2);f=iztrans(Fz,k)例7-14

求的

z

反变换。执行该程序，运行结果为f=4*(-2)^k-2*(-1)^k即解：