自动控制原理 课件 4.4 利用根轨迹分析系统性能

4.4利用根轨迹分析系统性能应用根轨迹法，可以确定系统在根轨迹增益或其他参数变化时闭环极点的位置，从而得到相应的闭环传递函数，定性地分析系统性能，包括系统的稳定性、动态特性和稳态特性。1.用根轨迹分析系统阶跃响应利用根轨迹法可以确定系统中参数变化时闭环极点的分布规律，以及对系统动态过程的影响。下面通过例4-15说明如何应用根轨迹分析系统在阶跃信号作用下的动态过程。4.4.1利用根轨迹分析系统性能例4-15已知单位负反馈控制系统开环传递函数⑴绘制系统根轨迹;⑵试确定使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围，并分析K*对系统动态过程的影响。将开环传递函数化为时间常数标准形式，得将上式整理后，得

解：⑴绘制系统根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=2，有两条根轨迹，一条渐近线。②系统有两个开环极点p1=0，p2=3，一个开环零点z1=-1。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于开环零点z1，另一条趋于无穷远处。③实轴上，根轨迹区间是(-∞,-1]和[0,3]。④根轨迹分离点（或会合点）

解得分离点坐标为⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

令s=jω，带入闭环特征方程D(s)根据可得因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=3为临界根轨迹增益。绘制根轨迹如图1所示。⑵分析系统稳定性及动态过程由图4-4-1可知，当根轨迹增益K*>3，相应开环增益K>1时，闭环特征根具有负实部，闭环系统稳定。利用模值方程求得分离点d2=-3处对应的根轨迹增益为

此时，对应的开环增益由图4-4-1可见，当K≥3时，闭环特征根有两个不相等的负实根或者两个相等的负实根，此时，系统的瞬态响应中无振荡分量，但有超调；当1<K<3时，特征根有一对实部为负的共轭复根，系统的响应为衰减振荡；当K=1时，特征根有一对共轭虚根，系统的响应为等幅振荡；当0<K<1时，系统不稳定。⑶K*=10时系统的闭环极点和单位阶跃响应当K*=10时，系统闭环传递函数为

系统闭环极点为s1=-2，s2=-5。系统单位阶跃响应的拉普拉斯变换为

进行拉普拉斯反变换，得出系统的单位阶跃响应为由此可见，当K*=10时，系统在单位阶跃信号作用下的响应无振荡分量，但有超调。若令，得峰值时间此时超调量为可见，利用根轨迹可以很方便地分析根轨迹增益K*（或开环增益K）对系统动态特性的影响。

2.用闭环主导极点估算系统的性能指标如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，将高阶系统近似看作一、二阶系统，可以较为简便地计算（或估算）出系统的各项性能指标。例4-16已知单位负反馈控制系统开环传递函数为⑴试绘制系统根轨迹。⑵试计算阻尼比ζ=0.5时的系统动态性能指标。⑶计算此时系统的稳态速度误差。解：将开环传递函数写成时间常数形式，得

⑴绘制根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3，有3条根轨迹，3条渐近线。②系统有3个开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2，无开环零点。3条根轨迹始于开环极点，趋于无穷远处。③实轴上，根轨迹区间是(-∞,-2]和[-1,0]。④渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑤根轨迹分离点（或会合点）

解得（舍去）⑥根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为

令s=jω，带入闭环特征方程根据可得因此，根轨迹与虚轴的交点为，对应的K*=6为临界根轨迹增益。绘制根轨迹如图4-4-2所示。

⑵计算ζ=0.5时系统的动态性能指标为了满足阻尼比ζ=0.5的条件，首先作出ζ=0.5的等阻尼线，它与负实轴的夹角，如图4-4-2所示。等阻尼线与根轨迹的交点坐标为s1和s2。设复数极点s1,2=σ±jω，从根轨迹上可得交点s1的坐标满足求得，则。设第3个闭环极点为s3，由根之和条件可得即

闭环特征方程为

比较系数有因此，当ζ=0.5时，解得闭环极点s1,2=-0.333±j0.577，s3=-2.334，对应K*=1.037。当K*=1.037时系统闭环传递函数为

由s1,2=-0.333±j0.577和s3=-2.334可见，s3至虚轴的距离是s1（或s2）至虚轴的距离的7倍，满足闭环主导极点的条件。因此，s1,2可认为是系统的闭环主导极点，可以根据闭环主导极点来估算系统的动态性能指标。系统闭环传递函数可近似为二阶系统的形式，即由此可得二阶系统阻尼比ζ=0.5，无阻尼振荡频率ωn=0.666rad/s。在单位阶跃信号作用下二阶系统的动态性能指标为⑶计算ζ=0.5时系统的稳态速度误差系统为Ⅰ型系统，系统的稳态速度误差系数为

系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为3.用根轨迹计算系统的参数利用根轨迹法可以计算在一定性能指标下的系统参数。这里通过例4-17来讨论如何根据系统的动态和稳态性能指标来确定系统的参数。例4-17已知单位负反馈控制系统的开环传递函数

⑴试确定系统响应为等幅振荡K的取值及振荡频率。⑵若要求闭环系统的最大超调量，试确定开环增益K的范围。⑶能否通过选择K满足调节时间的要求？⑷能否通过选择K满足误差系数的要求？解：将开环传递函数化为零、极点标准形式，得

⑴绘制系统根轨迹①开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=4。有4条根轨迹，4条渐近线。②系统有4个开环极点p1,2,3,4=-2，无开环零点。4条根轨迹趋于无穷远处。③实轴上无根轨迹。④渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为⑥根轨迹的出射角

得⑦根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定的条件为系统临界稳定时K*=64，将其带入辅助方程

即得s1,2=±j2绘制根轨迹如图4-4-3所示。系统响应为等幅振荡，即根轨迹与虚轴相交，临界根轨迹增益K*=64，对应的开环增益K=4，振荡频率ω=2rad/s。

⑵由根轨迹可见，系统存在一对闭环主导极点，系统的性能可以由二阶系统性能指标公式近似估算。根据解得ζ=0.5，等阻尼角，如图4-4-3所示。设闭环极点s1,2=-α±jω，由根轨迹图可知交点是s1的坐标满足求得α=0.732，ω=1.268,则s1,2=-0.732±j1.268。可设另外两个闭环极点为s3,4=-γ±jω,由根之和条件可得γ=3.268，则s3,4=-3.268±j1.268

显然s3,4至虚轴的距离约是s1,2至虚轴的距离的5倍，满足闭环主导极点的条件。因此，s1,2可认为是系统的闭环主导极点。当ζ=0.5时对应的K*值可由模值方程求出，即将s1代入模值方程可得

得到K*=10.34，相应K=0.646。综上所述，当开环增益取K≤0.646时，最大超调量满足σ%≤16.3%。⑶要求

，即。表明闭环主导极点必须位于s平面左半部分，且距离虚轴大于(0.75-1)，即可满足要求。由图4-4-3可知，在系统稳定的范围内，闭环主导极点的实部绝对值均小于2，所以能通过选择K满足ts≤4s的要求。⑷由于临界稳定根轨迹增益为K*=64，所以使系统稳定的位置误差系数应满足故不能通过选择K满足误差系数的要求。

4.4.2开环零、极点对系统性能的影响闭环控制系统的稳定性及动态特性与根轨迹的形状密切相关，而开环零、极点的分布决定着根轨迹的形状。因此，在系统中适当地增加开环零、极点或者改变开环零、极点在s平面的位置，可以改变根轨迹的形状，从而改善系统的性能。1.开环零点对系统性能的影响通过例4-18来说明增加开环零点对系统性能的影响。例4-18某单位负反馈控制系统开环传递函数为在该系统中分别增加开环零点z为，试分析增加开环零点对系统性能的影响。解：4个系统的开环零、极点分布及根轨迹如图4-4-4所示。从图4-4-4可以看出，增加开环零点可以减少渐近线的条数，改变渐近线倾角及与实轴的交点；一般使系统的根轨迹向左偏移，有利于改善系统的动态性能，提高系统的相对稳定性，且开环零点越靠近虚轴，这种作用越显著。因此，适当地引入开环零点，可以对系统的性能有所改善。因此，适当地引入附加零点，可以对系统的性能有所改善。2.开环极点对系统性能的影响通过例4-19来说明增加开环极点对系统性能的影响。例4-19某单位负反馈控制系统开环传递函数为，在该系统中分别增加开环极点p为，试分析增加开环极点对系统性能的影响。解：4个系统的开环零、极点分布及根轨迹如图4-4-5所示。从图4-4-5可以看出，增加开环极点改变了渐近线的条数、倾角及与实轴的交点；一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态性能，且附加极点离虚轴越近，系统的稳定性越差，响应速度越慢。因此，在系统设计时一般不单独增加开环极点。3.偶极子对系统性能的影响在控制系统的综合设计中，偶极子的概念是十分有用的。可以在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态性能得以改善。附加偶极子对系统性能的影响通过例4-20来说明。例4-20已知某比例积分控制系统如图4-4-6所示，利用根轨迹分析控制系统性能。解：当控制器为比例控制时，系统为0型系统，其单位阶跃响应存在稳态误差，即稳态误差。当控制器为比例积分控制时，系统为Ⅰ型系统，其单位阶跃响应稳态误差。系统的开环传递函数为

其中，z为开环零点。下面比较开环零点z分别为-4,-0.5,-1.2，阻尼比ζ=0.5时的系统性能。不加比例积分控制器（相当于）的原系统，加入比例积分控制器（相当于系统加入开环零点z分别为-4,-0.5,-1.2）的系统的根轨迹如图4-4-7所示。设等阻尼线ζ=0.5(此时)与根轨迹的交点为s1则代入闭环特征方程

令其实部和虚部分别等于零，得到根据根之和规则，则第3个闭环极点可得即由可得整理得ωn=2a选定Kp，Ki可求出系统的开环零点z，由a可得到系统闭环极点s1,2、s3及ωn。当z分别取-4,-0.5,-1.2时，对应的计算结果如表4-4-1所示。根据表4-4-1，得出以下结论：⑴当z=-4时，Kp较小，s3=-2.22距离开环零点z=-4较远，不存在零极点对消现象。闭环主导极点s1,2距离虚轴太近，系统稳定性较差，调节时间ts较长。⑵当z=-0.5时，Kp较大，s3=-0.432与开环零点z=-0.5互为偶极子，存在零极点对消现象。闭环主导极点s1,2离虚轴较远，调节时间ts较短，系统动态性能较好。⑶当z=-1.2时，Kp=1.577，性能介于开环零点为-4和-0.5之间，s3=-1.282与开环零点z=-1.2互为偶极子，系统性能主要由闭环主导极点s1,2决定。若系统输入为单位阶跃信号，则可以确定它们的单位阶跃响应。画出系统在开环零点z分别取-4，-0.5，-1.2时的单位阶跃曲线，如图4-4-8所示。从以上分析可以看出，加入合适的比例积分控制器，使系统形成偶极子，能尽量不改变原系统性能，即主导极点基本不变，而又能提高系统的控制精度。4.4.3MATLAB实现例4-21已知单位负反馈控制系统开环传递函数

⑴利用MATLAB绘制系统的根轨迹。⑵求ζ=0.5时的K值，绘制ζ=0.5时系统单位阶跃响应曲线并分析系统性能指标。⑶确定当系统稳定时，参数K的取值范围。解：系统开环传递函数⑴利用MATLAB绘制系统的根轨迹。输入以下MATLAB命令：clc;clear%%绘制系统的根轨迹figure(1)num=1;den=conv(conv([10],[14]),[1832]);G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统的根轨迹%%计算阻尼比为0.5对应的根轨迹增益sgrid(0.5,[]);[k,poles]=rlocfind(G)%绘制阻尼比为0.5时系统的单位阶跃响应曲线figure(2)t=0:0.01:10;Go=feedback(tf(k*num,den),1);step(Go,t);%%计算临界稳定点的根轨迹增益与虚轴的交点AG=allmargin(G);Kc=AG.GainMargin%临界根轨迹增益wc=AG.GMFrequency%根轨迹与虚轴的交点频率⑴绘制系统的根轨迹程序运行结果如图4-4-9（a）所示。⑵ζ=0.5时的K值及K值对应的4个闭环极点程序运行结果：Selecta