自动控制原理 课件 4.3 广义根轨迹

4.3广义根轨迹180°根轨迹绘制规则，通常也称为常规根轨迹的绘制规则，是基于负反馈条件下根轨迹增益K*变化时的根轨迹绘制方法。当系统是基于正反馈条件下，或者其他参数作为变量（开环零、极点，时间常数，反馈系数等）时的根轨迹（包括参数根轨迹和零度根轨迹），称为广义根轨迹。4.3.1参数根轨迹以非根轨迹增益K*（或开环增益K）为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。绘制参数根轨迹的规则与绘制常规根轨迹的规则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效开环传递函数的概念，则常规根轨迹的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。假设负反馈系统的闭环特征方程为讨论以参数β变化的根轨迹，将式（4-3-1）进行等效变换，即根据式（4-3-2）得等效的开环传递函数为

由式（4-3-3）可以绘制系统可变参数β的根轨迹。特别指出，等效开环传递函数是根据式（4-3-1）得来的。等效的含义仅在于其闭环极点相同，而闭环零点通常是不同的。因此，根据闭环零、极点分布分析系统的性能时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）例4-11已知单位负反馈控制系统开环传递函数，求K=0.25时，参数α变化时的根轨迹。闭环系统特征方程为将上式整理后，得

等效开环传递函数为

当K=0.25时,

⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3。有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2,3=-0.5，无开环零点。3条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。解：⑶实轴上，根轨迹区间是（-∞,0]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得分离点坐标为

⑹根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

令s1行的元素全为零，得到系统临界稳定时а=1，将其带入辅助方程求得s1,2=±j0.5。绘制根轨迹如图4-3-1所示。图4-3-1例题4-11参量a的根轨迹4.3.2零度根轨迹开环零、极点有位于s右半平面的系统称为非最小相位系统。非最小相位系统可能出现在有局部正反馈环节存在的情况。研究非最小相位系统有时不能采用180°根轨迹绘制规则来绘制系统的根轨迹，因为其相角遵循条件，而不是条件，故一般称为零度根轨迹。设某正反馈控制系统如图4-3-2所示。图4-3-2正反馈控制系统系统闭环传递函数为

根轨迹方程（闭环系统特征方程）为

即式（4-3-5）可以写为

把式（4-3-6）称为零度根轨迹方程。式（4-3-6）还可写成模值方程和相角方程。（4-3-4）（4-3-5）（4-3-6）模值方程相角方程（4-3-8）（4-3-7）将式（4-3-7）和式（4-3-8）与常规根轨迹的式（4-1-6）和式（4-1-7）相比，仅相角方程不同。因此，应用常规根轨迹绘制规则绘制零度根轨迹，对于与相角方程有关的一些规则需要进行适当调整，应修改的规则如下。规则3实轴上的根轨迹实轴上某区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。规则4根轨迹的渐近线若开环极点数n大于开环零点数m，则(n-m)条渐近线与正实轴方向的夹角（倾角）为（4-3-9）规则6根轨迹的出射角和入射角除上述3个规则，其他规则不变。（4-3-10）（4-3-11）根据零度根轨迹的相角条件可求出、分别为例4-12已知单位反馈控制系统开环传递函数，试分别画出正反馈和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定性有何不同。系统有3个开环极点p1=-3，p2,3=-1±j，1个开环零点z1=-2。⑴正反馈系统

①实轴上，根轨迹区间是。②渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为解：③根轨迹分离点（或会合点）

解得，④根轨迹的出射角

根据对称性，则。（舍去）⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定条件为0<K*<3，根轨迹与虚轴的交点s=0。绘制根轨迹如图4-3-3(a)所示。⑵负反馈系统

①实轴上，根轨迹区间是。②渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为③根轨迹无分离点（或会合点）。④根轨迹的出射角

根据对称性，则⑤根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

根据劳斯表可知，系统稳定条件为K*>0，根轨迹与虚轴无交点。绘制根轨迹如图4-3-3(b)所示。综上，对于正反馈系统，当0<K*<3时，系统稳定；对于负反馈系统，当K*

>0时，系统稳定。(a)正反馈系统(b)负反馈系统图4-3-3例4-12的根轨迹例4-13已知单位负反馈控制系统闭环传递函数⑴利用MATLAB绘制系统的根轨迹。⑵判断是否在根轨迹上。⑶由根轨迹求出使系统阻尼比时的a值。4.3.2MATLAB实现闭环系统特征方程为

等效开环传递函数为

解：输入以下MATLAB命令：clc;clearnum=[10];den=[1016];G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统根轨迹%%计算阻尼比为0.707对应参数asgrid(0.707,[])a=rlocfind(G)程序运行结果如图4-3-4所示。⑴绘制系统的根轨迹根据图4-3-4可知，系统根轨迹是以开环零点为圆心，半径为4的一个半圆。根轨迹的分离点d=-4，对应的参数a=8。根轨迹与虚轴的交点为±j4，对应参数a=0。因此系统稳定条件为a>0。由图4-3-4可知，点到原点的距离为2，没在半圆上，所以不是根轨迹上的点。⑶由根轨迹求出使系统阻尼比ζ=0.707时的a值。闭环特征方程为

对应求出ωn=4rad/s，a=5.656。⑵判断是否在根轨迹上。Selectapointinthegraphicswindowselected_point=-2.8221+2.8236ia=5.6553由程序运行结果可知，

ζ=0.707时，a=5.6553。例4-14已知单位正反馈控制系统开环传递函数，利用MATLAB绘制系统的根轨迹。解：输入以下MATLAB命令clc;clearnum=[-1-1];den=conv(conv([100],[12]),[14]);G=tf(num,den);%系统开环传递函数rlocus(G)%绘制系统根轨迹%%开环系统的极点p=pole(G);%%开环/闭环系统的零点z=zero(G);%%计算渐近线与实轴的交点sigma=(sum(p)-sum(z))/(le