自动控制原理 课件 2.1 控制系统的微分方程

第2章控制系统的数学模型

系统的数学模型是定量地描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，其建立方法一般有解析法和实验法两种。

控制系统的数学模型不是唯一的，根据不同需要，往往具有不同的形式。在经典控制理论中，对于连续系统，数学模型有时域中的微分方程，复频域中的传递函数、结构图、信号流图，频域中的频率特性等；离散系统类似，有差分方程、脉冲传递函数、结构图等。而在现代控制理论中，无论连续还是离散系统，普遍采用状态空间方程来描述。

本章讨论利用解析法建立线性定常连续系统的微分方程、传递函数、结构图及信号流图的方法。2.1控制系统的微分方程

控制系统的微分方程描述的是系统的输出变量与输入变量之间的数学运算关系，它中包含有输出变量和输入变量的时间函数以及它们对时间的各阶导数的线性组合，适用于单输入-单输出系统。微分方程中输出变量导数的最高阶次是微分方程的阶数，也称为系统的阶数。建立步骤：

（1）分析系统的工作原理，将系统分解为若干环节或元部件，根据需要设定一些中间变量，确定系统和各环节或元部件的输入、输出变量。（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各环节或元部件所遵循的基本定律建立相应的微分方程。

（3）将各环节或元部件的微分方程联立，消去中间变量，化简得到仅包含系统输入、输出变量的微分方程。

（4）整理成标准形式的微分方程，即将输出变量及其各阶导数放在微分方程的左端，输入变量及其各阶导数放在微分方程的右端，并按降幂排列。2.1.1控制系统微分方程的建立解：例2-1如图示

无源网络，试建立以

为输入、

为输出的微分方程。设如图所示电流

、

作为中间变量，根据电路理论中的伏安特性和基尔霍夫定律，可列出消去中间变量，整理得令

，则可见：

无源网络数学模型是一个二阶线性常微分方程。所以，该无源网络是一个二阶线性定常系统。解：分析这类系统时，首先要根据弹簧、阻尼器的物理意义对与其连接的质量块的受力情况进行分析，然后利用牛顿第二定律列写质量块对应的合力方程，从而得到系统的微分方程。例2-2由弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统如图示，试建立质量块上所受外力

与其相对位移

之间的微分方程。图中，

为质量块的质量，

为弹簧的弹性系数，

为阻尼器的阻尼系数。设弹簧的弹力

和阻尼器的阻力

作为中间变量，根据牛顿第二定律，可得假设弹簧是线性的，则弹簧力与位移成正比，即阻尼器是一种产生粘性摩擦的阻尼装置，其阻力与质量块的运动速度成正比，即可见：系统的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。所以，该系统也是一个二阶线性定常系统。消去中间变量，整理得例2-3电枢控制直流电动机的原理图如图示，试建立以电枢电压

为输入、电动机转速

为输出的微分方程。图中，

、

分别是电枢电路等效的电感和电阻；

分别是电动机与负载折合到电动机轴上的转动惯量和粘性摩擦系数；

是折合到电动机轴上的总负载转矩，为系统的扰动量；

为励磁电流，在电枢控制方式下为常数。解：电枢控制的直流电动机是控制系统中常用的执行机构，其工作原理为：输入的电枢电压

在电枢回路中产生电枢电流

，通电的电枢转子绕组在磁场作用下产生电磁转矩

，从而带动负载转动。同时，电枢旋转产生反电势

，其与

极性相反。根据电路理论中伏安特性和基尔霍夫定律，可列出电枢回路电压平衡方程设电枢电流

、电枢反电势

、电磁转矩

作为中间变量。式中，电枢反电势

的大小与转速成正比，即

为反电势系数。根据安培定律，可列出电磁转矩方程

为反电势系数。可见：这是一个二阶线性常微分方程。根据牛顿转动定律，可列出电动机轴上的转矩平衡方程消去中间变量，整理得在工程实际中，电枢电路的等效电感

通常很小，可忽略不计，因而上式可简化为式中，

为电动机时间常数；

、

分别为电动机对有用输入和扰动的传递系数。这是一个一阶微分方程。因此，在工程中，为便于分析问题，常忽略一些次要因素而使系统的数学模型变得简单。若电枢电路的等效电阻

和电动机的转动惯量

都很小，可忽略不计，且只考虑有用输入

的作用，则进一步可得即电动机转速

与电枢电压

成正比。这时，电动机可作为测速发电机使用。若以电动机的转角

为输出，可得这是一个二阶微分方程。所以，对于同一系统，若分析和设计问题的角度不同，建立的数学模型也是不同的。解：例2-4试建立如图示由运算放大器组成的控制系统模拟电路的微分方程。设如图所示电压

、

作为中间变量，根据理想运放虚断虚短的概念及电路理论中伏安特性和基尔霍夫定律，可列出消去中间变量，整理得可见:运算放大器控制系统模拟电路的数学模型仍是一个二阶线性常微分方程。所以，此控制系统也是一个二阶线性定常系统。

综合以上例题可以看出，不同物理特性的系统可具有形式相同的数学模型。把这种具有相同形式数学模型的不同物理系统统称为相似系统，它揭示了不同物理特性间的相似关系。当研究一个复杂系统或不易进行实验的系统时，可以用一个与它相似的简单系统模型来代替，从而使问题的研究简单化。

实际物理元部件或系统都是非线性的，只是非线性的程度不同。对于某些严重的非线性，不能作线性化处理，一般用第八章中介绍的分析非线性系统的方法来研究。而对于一些非线性程度较弱的元部件，工程上通常有两种线性化的处理方法。一种是在一定条件下，忽略这些非线性因素的影响，把它们假定为线性元部件，建立的微分方程就是线性微分方程，这是微分方程线性化通常使用的一种方法；另一种称为小偏差法或切线法，它是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替，这种方法特别适合于具有连续变化的非线性特性方程。2.1.2非线性微分方程的线性化

1.具有一个自变量的非线性方程设某元部件或系统的非线性方程为其非线性特性如图示。若输入

与输出

在某平衡点

附近做微小变化，即当

时

，且方程

在该点连续可微，则可将此非线性方程在点

处展开成泰勒级数由于

很小，所以高次幂项可忽略，因此有式中，

为曲线

在平衡点

的切线斜率。令

且略去增量符号

，即可得非线性方程

在平衡点

附近的线性化方程为设具有两个自变量的非线性方程为2.具有两个自变量的非线性方程在某平衡点

附近可展开为泰勒级数忽略高次幂项，并令

，

，

，

，

，可得非线性方程

在平衡点

附近的线性化增量方程为对于控制系统大多数工作状态，小偏差法都是可以应用的。2.1.3微分方程的求解

拉普拉斯变换法求解线性常微分方程的步骤:（1）利用拉普拉斯变换的时域微积分性质，考虑初始条件，对微分方程两端进行拉普拉斯变换，将微分方程转换为

域的代数方程；（2）求解

域代数方程，得到系统输出量的拉普拉斯变换表达式；（3）取拉普拉斯逆变换，求出输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解析解，也是微分方程所描述系统的全响应。解：在例2-1中已建立出微分方程为例2-5在例2-1中，若已知

，

，

，电感上的初始电流

，电容上的初始电压

，输入电压

。试求输出电压

。两端进行拉普拉斯变换，得式中解得代入给定的元件参数和初始条件，且

，整理可得对其进行部分分式分解可得取拉普拉斯逆变换，得2.1.4MATLAB实现MATLAB提供了

域表达式

的部分分式展开式和

分子、分母多项式系数之间转换的函数residue()，其调用格式如下。[r,p,k]=residue(num,den)%由

分子、分母多项式系数求取

的部分分式展开式。其中，num、den分别为

分子、分母多项式按降幂排列的系数向量，r为部分分式展开式的系数，p为极点，k为多项式的系数，若

为真分式，则k为空向量。若r中有一对共轭复数，则也可以应用cart2pol()函数把共轭复数表示成模和相角的形式，其调用格式为[TH,R]=cart2pol(X,Y)，其中X、Y为笛卡尔坐标的横纵坐标，TH是极坐标的相角，单位为弧度，R为极坐标的模[num,den]=residue(r,p,k)%由

的部分分式展开式求取

分子、分母多项式系数解：系统零输入响应部分分式展开式的MATLAB程序如下：num=[12];den=[111];[r,p,k]=residue(num,den)例2-6利用MATLAB求例2-5系统响应的部分分式展开式。运行结果为r=0.5000-0.8660i0.5000+0.8660ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=[]所以，零输入响应部分分式展开式为取拉普拉斯逆变换，得到系统的零输入响应为系统零状态响应部分分式展开式的MATLAB程序如下：