自动控制原理 课件 第8章 非线性控制系统分析

第8章非线性控制系统分析8.1非线性控制系统概述

8.2相平面法

8.3描述函数法本章要点：⑴非线性控制系统概述。⑵相平面的基本概念及非线性系统的相平面分析法。⑶描述函数的基本概念及非线性系统的描述函数分析法。⑴理解非线性系统的特点，掌握典型非线性特性及对系统性能的影响。⑵掌握相平面的定义、性质及相轨迹的绘制方法；掌握二阶线性系统的相轨迹及奇点的类型，正确理解极限环的概念；能够利用相平面法分析非线性系统的运动特性。⑶掌握描述函数的概念及典型非线性特性描述函数的求取，能够利用描述函数法分析非线性系统的稳定性及自激振荡。学习目标：本章重点：⑴非线性系统的特点及典型非线性特性。⑵相轨迹的定义、性质及绘制方法；二阶线性系统的相轨迹及奇点的类型，极限环的概念；利用相平面法分析非线性系统。⑶描述函数的概念及描述函数法的基本思想与应用条件；利用描述函数法分析非线性系统的稳定性及自激振荡，自振参数的计算。第8章非线性控制系统分析

前面各章所研究的控制系统都是线性的。实际中理想的线性控制系统是不存在的。任何一个控制系统，其组成元件总是或多或少地带有非线性，因此都属于非线性系统的范畴。非线性系统不再满足叠加原理，因此本书前七章介绍的线性系统分析和设计方法不再适用。但由于线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍发挥着非常重要的作用。8.1非线性控制系统概述

在控制系统的所有组成环节中，如果有一个或多个环节具有非线性特性，则该系统称为非线性控制系统。非线性系统与线性系统的本质区别在于能否应用叠加原理，由于两类系统特性上的这种区别，它们的运动规律有很大差别。8.1.1非线性系统的特征

由前面的内容可知，线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输入信号及初始条件无关。换句话说，若系统稳定，则无论受到多大的扰动，扰动消失后系统可以回到唯一的平衡点。而对于非线性系统，其稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与输入信号和初始条件有关。即使同一个非线性系统，也可能存在稳定运动和不稳定运动，而稳定的运动也不一定对于所有的初始扰动都是稳定的，可能出现对于较大的初始扰动就不稳定的情况。因此，对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。下面通过实例加以说明。1.稳定性分析复杂设描述非线性系统的微分方程为积分可得令

，可知该系统存在两个平衡状态

和

。当

时，方程可写为若初始条件

，可求得从而得到由此可画出不同初始条件下

的曲线如图8-1-1所示。当

，

时，

随

的增大而增大，在

时，

趋向于无穷大；当

时，

随着

值的增大而趋近于零。由图可见，平衡状态

是稳定的，因为它对于

的扰动都具有恢复原状态的能力；而平衡状态

则是不稳定的，因为稍加扰动就会偏离平衡状态。由此可见，非线性系统的平衡点不止一个，在某些平衡点非线性系统可能是稳定的，但在另一些平衡点却是不稳定的。2.可能产生自激振荡

描述线性系统的微分方程可能有一个周期运动解，然而在实际系统中，这样的周期运动是不能稳定持续下去的。以二阶无阻尼系统为例，其自由运动的解为

，其中角速度

由系统的结构和参数决定，而振幅

和相角

取决于初始状态。当系统受到干扰信号的影响时，

和

的值都会发生变化，原来的周期运动便不能持续下去，因此这种周期运动是不稳定的。

对于非线性系统，即使在没有外作用的情况下，也有可能产生固定频率和振幅的周期运动，并且在扰动作用消失后，系统仍能保持原来频率和振幅的周期运动，也就是说这种周期运动具有稳定性。该周期运动称为自激振荡，简称自振。自激振荡是非线性系统特有的运动现象，是非线性控制理论研究的重要问题之一。

应当指出，系统长时间大幅度的振荡会造成不可逆的机械磨损，并增加系统的控制误差，多数情况下不希望系统有自激振荡发生，但在有些控制系统中，适当的引入高频小幅度的振荡却有利于系统克服间隙和死区等非线性因素产生的不良影响。因此研究自激振荡的产生条件及抑制，确定自激振荡的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。3.频率响应发生畸变

由第五章的内容可知，线性系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，仅在幅值和相位上与输入不同。针对这一特点，可以利用频率特性的概念描述系统动态特性。而对于非线性系统，其频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。因此线性系统的频域分析法不再适用于非线性系统。

在非线性系统的分析和控制中，还会产生一些其他与线性系统明显不同的现象，在此不再赘述。8.1.2典型非线性特性一般测量元件、放大器以及执行机构都不同程度地存在不灵敏区。例如电动机由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后电动机才会转动。这种在输入信号比较小时没输出，只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区（不灵敏区）非线性特性。典型的死区特性如图8-1-2所示，其数学表达式为1.死区（不灵敏区）特性

式中，

是死区宽度，K为死区外直线的斜率。死区特性的存在，一方面会使系统稳态误差增大，跟踪精度降低，另一方面死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，可以提高系统抗扰动的能力。饱和特性是指输出和输入之间的线性关系只能维持在一定的输入范围内，当输入超出这个范围时，输出被限制在一个常数值。例如晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象。典型的饱和特性如图8-1-3所示，其数学表达式为2.饱和特性式中，a为线性区宽度；K为线性区的斜率。

饱和特性的存在一般将使系统开环增益降低，从而导致系统过渡过程时间增加，稳态误差变大。但在有些控制系统中，人们有目的地引入饱和非线性环节，例如在具有转速和电流反馈的双闭环直流调速系统中，把速度调节器和电流调节器有意识地设计成具有饱和非线性特性，以改善系统的动态性能和限制系统的最大电流。在各种传动机构中，由于机械加工精度的限制和工艺装配的需要，间隙的出现是不可避免的。例如齿轮传动中，如果主动轮改变运动方向，只有当主动轮反向移动消除间隙后，从动轮才随主动轮运行。典型的间隙特性如图8-1-4所示，其数学表达式为3.间隙特性式中，2b为间隙宽度，K为间隙特性斜率。

间隙特性的存在，通常会使系统输出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定裕量减小，动态性能变坏，甚至使系统产生自激振荡。继电器是广泛应用于控制系统、保护装置和通信设备中的器件。由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电压是不相同的。因此，继电特性输入输出关系不完全是单值的，图8-1-5所示为具有滞环的三位置继电特性，其数学表达式为4.继电特性式中，h为继电器吸合电压，mh为继电器释放电压，M为饱和输出。当

时，继电特性成为纯滞环的两位置继电特性，如图8-1-6所示。当

时，成为具有三位置的死区继电特性，如图8-1-7所示。当

时，则成为理想继电特性，如图8-1-8所示。继电特性的存在一般会使系统产生自激振荡，甚至导致系统不稳定，并且也使系统稳态误差增大。8.1.3MATLAB实现在MATLAB的Simulink中，不连续系统模块库（Discontinuous）提供了12种常见的标准非线性特性模块，如间隙、死区、继电、饱和、开关等。对非线性系统进行仿真时，可以直接调用这些非线性模块，对于Simulink中没有提供的非线性模块，则需要开发人员按照具体的非线性特性编程实现，然后进行模块封装，以便后期调用。解：在Simulink环境下搭建仿真模型如图8-1-9所示。对各个模块进行参数设置，如设定SineWave模块的幅值Amplitude为1，角频率Frequency为1rad/s，初相角Phase为0；设置Backlash模块的Deadbandwidth为0.8。仿真运行，双击Scope图标，就可以得到系统的仿真曲线如图8-1-10所示。由图可见，间隙非线性特性使系统输出在相位上产生了明显的滞后。8.1.3MATLAB实现例8-1某元件具有间隙特性如图8-1-4所示，其中间隙宽度

。当输入正弦信号

，试利用MATLAB/Simulink求输入与输出信号波形。图8-1-9具有间隙非线性模块的仿真模型图8-1-10正弦信号作用于间隙非线性模块的波形对比图8.2相平面法

相平面法是庞加莱于1885年首先提出的。该方法是求解一、二阶线性或非线性系统的图解法，可以用来分析系统的稳定性、平衡状态、时间响应和稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。8.2.1相平面的基本概念设一个二阶系统为常微分方程8.2.1相平面的基本概念其中

为

和

的线性或非线性函数。方程的解可以用

的时间函数曲线表示，也可以用

和

的关系曲线表示，而时间

为参变量。以

为横坐标，以

为纵坐标构成的直角坐标平面叫做相平面。相平面上的点随时间

变化描绘出来的曲线称为相轨迹。根据微分方程解的存在与唯一性定理，对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。相平面图能够直观地反映系统在各种初始条件或输入作用下的运动过程。（8-2-1）8.2.2相轨迹的性质式（8-2-1）可写为如下形式1.相轨迹的斜率又因

，用其去除上式，可得相轨迹上任意一点

处的斜率为由上式可知，只要在点

处不同时满足

和

，则相轨迹斜率是一个确定的值，通过该点的相轨迹不可能多于一条，即相轨迹不会在该点相交。这些点是相平面上的普通点。在相轨迹与横轴的交点处，由于

，除去

的点外，相轨迹在该点处的斜率为

，即相轨迹垂直穿过横轴。2.相轨迹的奇点在相平面上同时满足

和

的点处，相轨迹的斜率为即相轨迹的斜率形式不定，这样性质的点称为奇点。由于相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹相交。由奇点定义可知，奇点一定位于相平面的横轴上。在奇点处，

和

，

表明系统运动的速度和加速度同时为零，系统不再发生运动，处于平衡状态，故奇点亦称为平衡点。3.相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，由于

，则

x随

t的增大而增加，相轨迹的走向是由左向右的；相反，在相平面的下半平面，由于

，则x随

t的增大而减小，相轨迹的走向是由右向左的。8.2.3相轨迹的绘制相平面法是一种图解法，图解的关键是绘制相轨迹。这里介绍两种绘制相轨迹的方法，即解析法和等倾线法。1.解析法

当描述系统的微分方程比较简单时，可以通过积分法，直接由微分方程获得和的解析关系式，进而绘制系统的相轨迹。

例8-2已知某系统自由运动的微分方程为

，若初始条为

，和

，试确定系统自由运动的相轨迹。解：由微分方程可得可写成两边积分可得整理得显然，该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心，以

为半径的圆，如图8-2-1所示。图中箭头表示相轨迹的运动方向。等倾线法是绘制系统相轨迹的一种图解方法。具体做法是先确定相轨迹的等倾线，进而绘制出相轨迹的切线方向场，结合系统初始条件，沿方向场逐步绘制相轨迹。2.等倾线法设相平面上某点处的的相轨迹斜率为令

等于某一常数

，得等倾线方程为由该方程可在相平面上作出一条曲线，称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率等于

。取

为若干不同的常数，由上式即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为

的短直线，则构成相轨迹的切线方向场，沿方向场画连续曲线就可以绘制出相轨迹。解：由微分方程可得例8-3设某二阶系统的微分方程为

，试利用等倾线法绘制系统的相轨迹。令

，可得等倾线方程为当

取不同值时，可画出等倾线以及等倾线上对应的小线段如图8-2-2所示。若给定的初始状态为A点，从

A点起顺时针把各小线段光滑地连接起来，就得到了从

A点出发的一条特定的相轨迹。

在使用等倾线法绘制相轨迹时，坐标轴

x和

应选取相同的比例尺，以便根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。一般地，等倾线分布越密，所做的相轨迹越准确。但随所取等倾线的增加，绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大。8.2.4二阶线性系统的相轨迹设描述二阶线性系统自由运动的微分方程为可得根据系统特征方程根的分布特点，分下述几种情况讨论二阶线性系统的相轨迹。（8-2-5）1.无阻尼运动特征方程的根为一对共轭纯虚根

，系统的自由运动为等幅正弦振荡形式。则两边积分，可得相轨迹方程式中，

为由初始条件

和

决定的常数。系统无阻尼运动时的相平面图如图8-2-3所示，其为一簇同心的椭圆，每一个椭圆相当于一个简谐振动。坐标原点为奇点，这样的奇点通常称为中心点。其中2.欠阻尼运动特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根

，系统的自由运动为衰减振荡形式。通过求取方程(8-2-5)的解可得系统欠阻尼运动时的相平面图如图8-2-4所示，其为一簇收敛的对数螺旋线。坐标原点为奇点，这种奇点称为稳定的焦点。其中3.过阻尼运动特征方程的根为两个互异的负实根

，系统的自由运动为非振荡衰减形式。通过求取方程（8-2-5）的解可得系统过阻尼运动时的相平面图如图8-2-5所示，其为一簇通过原点的高次“抛物线”。坐标原点为奇点，这种奇点称为稳定的节点。图8-2-5系统过阻尼运动时的相平面图4.负阻尼运动当

时，特征方程的根为一对具有正实部的共轭复根，系统的自由运动为振荡发散形式，相平面图如图8-2-6所示，其为一簇发散的对数螺旋线，相应的奇点称为不稳定的焦点。当

时，特征方程的根为两个正实根，系统的自由运动为非振荡发散状态，相平面图如图8-2-7所示，其为发散的抛物线簇，相应奇点称为不稳定的节点。图8-2-6

时的相平面图图8-2-7

时的相平面图另外，若系统极点

s1和

s2为两个符号相反的实根，系统的自由响应呈现非振荡发散状态，对应的相轨迹是一簇双曲线，相应奇点称为鞍点，是不稳定的平衡点。图8-2-8系统的相平面图对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析，可在平衡点附近作增量线性化处理，即对非线性微分方程两端的各非线性函数作泰勒级数展开，并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微分方程。然后基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。解：由微分方程可得令

，求得系统的两个奇点为例8-4已知非线性系统的微分方程为

，试求系统的奇点及其类型，并绘制系统的相平面图。奇点

处的一阶偏导数及增量线性化方程为特征根为

，是一对具有负实部的共轭复根，故奇点

为稳定焦点。奇点

处的一阶偏导数及增量线性化方程为特征根为

，

是两个相异的实根，故奇点

为鞍点。根据奇点的位置和类型，作出该系统的相平面图如图8-2-8所示。相交于鞍点

的两条特殊相轨迹称为奇线，它们将相平面分成两个不同的区域。如果初始点位于图中的阴影区域内，则其相轨迹将收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。如果初始点落在阴影区域的外部，则其相轨迹会趋于无穷远，表示相应的系统不稳定。由此可见，非线性系统的稳定性确实与其初始条件有关。8.2.5极限环极限环是非线性系统在相平面上的一条封闭的特殊相轨迹，它将相平面划分为内部平面和外部平面两部分，相轨迹不能从环内穿越极限环进入环外，或者相反。根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为稳定的极限环、不稳定的极限环和半稳定的极限环，分别如图8-2-9所示。当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内部和外部的相轨迹都逐渐卷向极限环，这样的极限环称为稳定的极限环，如图8-2-9（a）所示。当任何微小扰动使系统的状态离开极限环后，最终仍会回到这个极限环。该极限环所表示的周期运动是稳定的，对应系统的自激振荡。1.稳定的极限环当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内部和外部的相轨迹都逐渐卷离极限环，这样的极限环称为不稳定的极限环，如图8-2-9（b）所示。任何微小扰动使系统的运动或者收敛于环内的奇点或者发散至无穷，极限环所表示的周期运动是不稳定的。2.不稳定的极限环当时间

t

趋于无穷时，起始于极限环内（外）部的相轨迹卷向极限环，而起始于极限环外（内）部的相轨迹卷离极限环，这样的极限环叫做半稳定的极限环，如图8-2-9（c）和（d）所示。具有这种极限环的系统不会产生自激振荡，系统的运动或者趋于发散（见图8-2-9（c））或者趋于收敛（见图8-2-9（d））。3.半稳定的极限环(a)(b)(c)(d)图8-2-9不同类型的极限环应当指出，不是相平面内所有的封闭曲线都是极限环。在无阻尼的二阶线性系统中，其相平面图是一簇连续的封闭曲线，这类闭合曲线不是极限环，因为它们不是孤立的，在任何特定的封闭曲线邻近，仍存在着封闭曲线。而极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。8.2.6非线性控制系统的相平面分析

许多非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，用相平面法分析这类系统时，一般将非线性元件的特性作分段线性化处理，即把整个相平面分成若干个线性区域，在各线性区域内，分别用线性微分方程来描述，然后绘出各线性区域的相平面图，最后将各区域的边界线上（边界线又称相轨迹的开关线）的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。1.具有死区继电特性的非线性控制系统具有死区继电特性的非线性控制系统结构图如图8-2-10所示。其中

为反馈网络，输入

。（1）单位反馈情况当反馈网络

时，误差

。根据图8-2-10，可列写系统的微分方程为可得取

和

为相坐标，相平面以直线

为界被分成三个不同的区域，称

为相轨迹的开关线。在

的区域内，系统方程为求导，可得若初始条件为

且

，上式的解为当

时有当

时可解出可得当

时有当

时有在

的区域内，系统方程为此时系统的相轨迹为一簇斜率为

的直线，其方程为在

的区域内，系统方程为将上述三个区域的相轨迹衔接合并，就可以得到具有死区继电特性的非线性系统相平面图如图8-2-11所示。图8-2-11

时，具有死区继电特性的非线性系统相平面图由图8-2-11可见，在

开关线处，相轨迹发生了转换，表明继电特性由一种工作状态转换为另一种工作状态。以图中由

出发的相轨迹为例，该条相轨迹经过

终止于

点，在

和

处，继电器的工作状态均发生了转换。

点处取

c最大值。图中

，

是一段相轨迹的终止线段，称为平衡段，它上面每一点都对应于系统的一个平衡状态。（2）速度反馈情况系统相轨迹方程可以分为下面几种情况讨论。当反馈网络

时，误差

。该系统的微分方程为①当

时若

，则

；若

，则

。若

，则

；若

，则

。②当

时，则③当

时系统开关线方程为

和

。由此可画出具有速度反馈的死区继电特性的非线性系统相平面图如图8-2-12所示。图8-2-12具有速度反馈的死区继电特性的非线性系统相平面图将图8-2-12与图8-2-11进行比较可以看出，系统相轨迹的开关线发生改变。未接入速度反馈时，开关线为通过

的两条与

c轴垂直的直线，接入速度反馈后，这两条开关线分别绕

c轴上

的点逆时针方向转了一个角度

，由于开关线逆时针方向转动，相轨迹提前进行转换，这样就使得自由运动的超调量减小，调节时间缩短，系统的性能得到改善。2.具有变增益特性的非线性控制系统具有变增益特性的非线性控制系统，其结构图和变增益特性如图8-2-13所示，系统初始状态为零。可得该系统的微分方程为取

为相坐标，系统的开关线

将相平面分成三个区域。下面讨论在阶跃输入和斜坡输入两种情况下系统的相轨迹。（1）阶跃输入

情况当

时，有

，系统的微分方程为相应系统的特征方程为系统特征根为若

，

，在区域

和

内，特征根为一对具有负实部的共轭复根，系统为欠阻尼状态，奇点

为稳定的焦点，相应的相轨迹为收敛的对数螺旋线；在区域

内，特征根为两个不相等的负实根，系统为过阻尼状态，奇点

为稳定的节点，相应的相轨迹为收敛的抛物线。绘出阶跃输入下系统误差信号的相轨迹如图8-2-14所示。相轨迹的起点A由初始条件

决定，相轨迹依次通过

BCDEF最终收敛于稳定节点P2(0,0)，其横坐标即为稳态误差，说明在阶跃信号作用下系统的稳态误差为零，与线性放大器时的情况相同。以上分析表明，在这种情况下，引入变增益线性放大器不但不会增加阶跃响应的稳态误差，还加快了系统误差响应的收敛速度，改善了系统性能。图8-2-14阶跃输入下的相轨迹（2）斜坡输入

的情况当

时，有

，

系统的微分方程为求得不同区域内系统的奇点为

和

，系统在奇点处的增量线性化方程为与阶跃输入相比，斜坡信号作为输入时，系统相平面的开关线不变，奇点的位置发生变化。若

，

，奇点

为稳定的焦点，奇点

为稳定的节点。由于

，所以奇点P2总在P1的右边。图8-2-15表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹的起点

A由初始条件

所决定，相轨迹经过B点最终到达P2点，系统的稳态误差为OP2。图8-2-15

且

时的相轨迹图8-2-16表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹的起点A由

所决定，相轨迹经过点BCDE最终趋于

，误差信号表现为振荡的特性，系统稳态误差为

。图8-2-16

且

的相轨迹图8-2-17表示了

而

时误差信号的相轨迹。相轨迹起点A由初始条件

所决定，它经过

BCD最终趋向于

P1

点，稳态误差等于OP1

。图8-2-17

且

时的相轨迹

综上分析表明，非线性控制系统的输入信号形式、大小不同时，响应曲线可以是非周期形式或振荡形式。8.2.7MATLAB实现利用MATLAB绘制系统的相轨迹，可以采用编程方法，也可以采用Simulink仿真方法。1.编程方法绘制相轨迹的实质是求解微分方程的解。在MATLAB中提供了求解微分方程数值解的常用函数ode45，它是一种变步长的龙歌-库塔4/5阶算法，其调用格式如下。[t,y]=ode45(’fun’,t,y0)%fun为一个自定义的M文件函数名；参数t为由初始时间和终止时间构成的向量；参数y0为系统的初始状态，其默认值是一个空矩阵。函数调用后，将返回系统的时间向量t和状态变量y。例8-5已知二阶非线性微分方程为

，设初始条件为

，试用MATLAB绘制系统的相轨迹图及时间响应曲线。解：MATLAB程序如下。clc;cleart=0:0.01:80;x0=[50]';[t,x]=ode45('test1',t,x0);subplot(1,2,1);plot(x(:,1),x(:,2));gridsubplot(1,2,2);plot(t,x(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)')（a）系统的相轨迹图（b）系统的时间响应曲线functiondx=test1(t,x)dx=[x(2);(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];%调用函数运行结果如图8-2-18所示，由图可见系统相轨迹为一个稳定的极限环，对应时间响应为等幅振荡。图8-2-18运行结果解：描述系统的微分方程为例8-6设具有饱和特性的非线性控制系统如图8-2-19所示，已知

，试用MATLAB绘制系统的相轨迹图及相应的时间响应曲线。MATLAB程序如下。clc;clear[t,c]=ode45('text2',[0,30],[-3,0]);figure(1)plot(c(:,1),c(:,2));gridfigure(2)plot(t,c(:,1));grid;xlabel('t(s)');ylabel('c(t)')%调用函数functiondc=text2(t,c)dcl=c(2);if(c(1)<-2)dc2=2-c(2);elseif(abs(c(1))<2)dc2=-c(1)-c(2);elsedc2=-2-c(2);enddc=[dcldc2]';运行该程序，可得相轨迹图和时间响应曲线分别如图8-2-20和8-2-21所示。由图可见，相轨迹为收敛的螺旋线，系统的奇点为稳定的焦点，系统振荡收敛。图8-2-20系统的相轨迹图图8-2-21系统的时间响应曲线2.Simulink仿真方法例8-7具有理想继电特性的非线性控制系统如图8-2-22所示，当系统初始状态为0，输入

时，试绘制系统的相轨迹图和阶跃响应曲线。解：首先在Simulink环境下建立系统仿真模型如图8-2-23所示，然后依据题意对各模块进行参数设置如图8-2-24所示，最后仿真运行，以

为相坐标的相轨迹通过XYGraph输出，阶跃响应曲线通过Scope输出，仿真结果如图8-2-25所示。由仿真结果可知，系统振荡收敛，系统的奇点为稳定的焦点。图8-2-23系统仿真模型（a）非线性环节参数设置

（b）二维图形显示模块参数设置图8-2-23系统仿真模型图8-2-25仿真结果（a）相轨迹图

（b）阶跃响应曲线8.3描述函数法

描述函数法是达尼尔于1940年提出的非线性系统分析方法。该方法主要用来分析在没有输入信号作用下，非线性系统的稳定性和自激振荡问题。描述函数法不受系统阶次的限制，但具有一定的近似性，并且只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。8.3.1描述函数的概念设非线性环节的输入输出特性为当输入量为正弦信号

时，输出量

一般都是非正弦周期信号，将其展开成傅里叶级数为式中，A0为直流分量，An和

Bn为傅里叶系数，

为第

n次谐波分量，且有该式表明，非线性环节的正弦响应可近似为一次谐波分量，具有与线性环节类似的频率响应形式。若

且

当时，

均很小，则仿照线性系统频率特性的概念，非线性环节的描述函数定义为非线性环节的稳态正弦响应中一次谐波分量与输入正弦信号的复数比，用

表示，其数学表达式为显然，描述函数是输入正弦信号幅值

X的函数。由于在描述函数的定义中，只考虑了非线性环节输出中的一次谐波分量，而忽略了高次谐波的影响，因此这种方法也被称为谐波线性化方法。解：例8-8设某非线性元件的特性为,求该非线性元件的描述函数。由于非线性特性是单值奇对称的，因而

是奇函数,故

，

，

。而因此非线性元件的描述函数为8.3.2典型非线性特性的描述函数1.死区特性的描述函数

式中，

是死区宽度，K为死区外直线的斜率。死区特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-1所示。输出的数学表达式为由于死区特性是单值奇对称的，所以

，

，

。由图8-3-1可知

，故

，于是可求出

B1为死区特性的描述函数为由式可知，死区特性的描述函数是一个与输入幅值有关的实函数。当输入幅值

X很大或死区宽度

很小时，

，

，可认为描述函数等于线性段的斜率，死区的影响可以忽略不计。2.饱和特性的描述函数式中，a为线性区宽度；K为线性区的斜率。饱和特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-2所示。输出的数学表达式为由于饱和特性是单值奇对称的，所以

，

，

。由图8-3-2可知

，故

，于是可求出

B1为饱和特性的描述函数为由式可知，饱和特性的描述函数是一个与输入幅值有关的实函数。3.间隙特性的描述函数间隙特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-3所示。输出的数学表达式为式中，

由于间隙特性是多值函数，在正弦信号作用下的输出

y(t)既非奇函数也非偶函数。故须分别求

A1和

B1为间隙特性的描述函数为由式可知，间隙特性的描述函数是一个与输入幅值有关的复函数。很明显，对于一次谐波，间隙非线性特性会引起相角滞后。4.继电特性的描述函数式中，M为继电元件的输出值。具有滞环和死区的继电特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-4所示。输出的数学表达式为由图可知，且

，因此可求出分别为由于具有滞环和死区的继电特性是多值函数，在正弦信号作用下的输出

y(t)既非奇函数也非偶函数。故须分别求

A1和

B1为因此继电特性的描述函数为式中，当参数

h

和

m

取不同值时，得到几种特殊形式的继电特性描述函数。(1)若

h=0，则可得两位置理想继电特性的描述函数为(2)若

m=1，则可得三位置死区继电特性的描述函数为(3)若

m=-1，则可得具有滞环的两位置继电特性的描述函数为8.3.3非线性系统的描述函数法如前所述，非线性元件的描述函数是线性系统频率特性概念的一种延伸和推广。利用描述函数的概念，在一定条件下可以将非线性系统近似等效为一个线性系统，并可借用线性系统的频域法对非线性系统的稳定性和自激振荡进行分析。1.

描述函数法分析非线性系统的应用条件应用描述函数法分析非线性系统时，要求系统满足以下假设条件。(1)对系统结构的要求。非线性系统的结构可以简化为一个非线性环节

和一个线性部分

闭环连接的典型结构形式，如图8-3-5所示。(2)非线性环节的输入输出特性是奇对称的，这样能够保证非线性特性在正弦信号作用下输出的直流分量

，而且

中一次谐波分量幅值占优。(3)线性部分具有较好的低通滤波性能。当非线性环节输入正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，经线性部分的低通滤波特性，高次谐波分量被大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波分量流通。线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好，使用描述函数法所得结果越准确。欲具有低通滤波性能，线性部分G(s)的极点应位于

s平面的左半平面，即G(s)为最小相位环节。

若非线性系统满足以上三个假设条件，则非线性环节的描述函数可以等效为一个具有复变增益的比例环节，非线性系统经过谐波线性化处理后变成一个等效的线性系统，就可以应用线性系统理论中的频率稳定判据分析非线性系统的稳定性。2.非线性系统的稳定性分析对于图8-3-5所示的典型非线性系统，如果非线性特性的描述函数是

，线性部分的频率特性是

，可以写出闭环系统的特征方程式为即式中，

称为非线性特性的负倒描述函数。在复平面上可以绘制出

随

X变化而变化的曲线，即负倒描述函数曲线。

曲线上箭头表示随

X增大，

的变化方向。与线性系统的奈奎斯特稳定判据相比，

曲线相当于线性系统中临界稳定点

。只是在非线性系统中，表示临界情况的不是一个点，而是一条

曲线。这样可根据线性系统中的奈奎斯特稳定判据来判别非线性系统的稳定性，其内容如下：若

曲线不包围

曲线，则非线性系统稳定；若

曲线包围

曲线，则非线性系统不稳定；若

曲线与

曲线有交点，对应非线性系统做等幅周期运动，如果该周期运动能够稳定持续下去，即在外界小扰动作用下使系统偏离该周期运动，而当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动。稳定的周期运动对应系统的自激振荡。以理想继电特性为例，其描述函数为负倒描述函数为若非线性系统的线性部分G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，这时

曲线将

曲线完全包围，非线性系统不稳定；若

G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，此时

曲线没有包围

曲线，非线性系统稳定；若G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，此时

曲线与

曲线有交点，对应系统存在周期运动，若周期运动能稳定的持续下去，便是系统的自激振荡。3.非线性系统的自激振荡或若

曲线与

曲线有交点，则在交点处必