2025年探索素数奥秘实验室揭秘之旅

素数一.试验解读素数的问题是数论里最富有魅力，最吸引人的问题，在本次试验中我们将研究讨论素数的某些有关规律及性质，在看似无规律的素数中寻找规律。要想研究素数，首先要理解素数的定义，学会用定义去判断一种数与否是素数，考虑合数与素数之间具有什么样的关联。通过某些有关结论猜测素数的无穷性并给出证明，并分别用试除法和筛法列出一定范围内的素数表，比较这两种措施的有效性。在试验过程中，我们发现素数并没有一种简要的鉴别公式，那么就需要通过试验构造出素数的鉴别公式。在研究用整系数多项式来生成素数时，最关键的是恰当地选择多项式的次数与变量的个数。最终，通过研究一定范围内的素数个数随整数增长而变化的关系，得出素数的分布特性。观测它的变化关系，并用函数将素数的分布表达出来。1.素数的鉴别与个数在不小于1的自然数中，只能被1和它自身整除的数称为素在素数研究中，一种最基本的问题是素数究竟有多少个，与否是无穷的。调大n至25,观测并得出结论。再将n调至30,35……,结论与否发生了变化。根据以上的成果，猜测素数与否有无穷多种的证明。2素数表的构造给出一种范围，用Eratosthenes筛法和试除法列出所有的素数，它们的原理为：Eratosthenes筛法的基本原理，将自然数列从2开始按次序排列至某一整数N,首先，从上述数列中划除所有2的倍数(不包括2),在剩余的数中，除2外最小的是3.接着，从数列中划除所有3的倍数(不包括3),然后在剩余的数中，再划去5的这个过程一直进行下去，则最终剩余的数就是不超过N的所有素数。试除法：假设我们已经懂得前n个素数p1=2,p2=3,..,pn,为找下个素数，我们从pn+2开始依次检查每一种整数N,看与否能被某一种pi(i=1,2,….,n)整除，若N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一种素数pn+1。为了提高效率我们只需要用不超过N^(1/2)的素数清除就可以了。较少。将范围调大，用这两种措施列出10000,100000……以内3素数的鉴别公式得的余数。将m的值固定，变化n的值为2,3,……100取m=2,观测2^(n-1)被n整除所得的余数取m=3,观测3^(n-1)被n整除所得的余数取m=4,观测4^(n-1)被n整除所得的余数取n=2,m=2,3,4,……,20,观测m^(2-1)被2整除所得的取n=3,m=2,3,……,20,观测m^(3-1)被3整除所得的余数取n=5,m=2,3,……,20,观测m^(5-1)被5整除所得的余数形如2^n-1的数称为Mersenne数，通过Mersenne数我们可以研究数论中的有关性质。观测并考虑Mersenne数与n的4.生成素数的公式Fermat数：我们把形如F=2²"+1表达出来的数称为Fermat数。Fermat数与否都是素数?在程序中增大n的值，很轻易懂得既然Fermat数不能作为素数的生成公式，那么能不能寻求首先考虑一次函数，显然是不行的。再考虑二次多项式，数，令f(n)=2n³+2n²+2n+1,f(n)=4n⁴+3n³+2n²+1,f(n)=n⁴+n³+n²+n令变量n的次数不停升高，观测得出的成果有什么不一样。若单变量整系数多项式不能生成所有的素数，那么多变量整系数多项式呢?考虑两个变量的函数，f(n,m)=n+m+4,将两个变量的多项式的次数变为二次，令f(n,m)=n²+m判断以上的f(n,m)与否生成的均是素数，它们之间有什么规若还是无法找出这样的两个变量整系数多项式，再变化多项式的变量的个数和次数。得出概括性的结论。5.素数的分布在上面的试验中我们已经懂得了素数是无穷多种的，并且素数的生成公式并不是很明了，不过它的分布会不会具有什么样的规律呢?π(100,200)、π(1000,1100)、π(10000,10100)、π(100000,100100)。从计算成果看，伴随范围的扩大，素数是越来越稀还是越来越密?深入，选用某些更长的区间，做同样的试验。将这些点画在图中，从图中能更清晰的看出素数的分布状况。换一种角度考虑，从两个相邻素数间距的大小同样也可以看出素数的分布，这时我们还可以发现某些更有趣的规律。先求出1000以内的所有相邻素数的间距，并将点以(pn,d)的形式画在直角坐标系中，观测图像的特点；增大n的值，再在另一种图中画出，从这些点的分布可以看出素数的间隔值的某些特性，以及它们的反复次数的多少，我们还发现：在增大N的值的同步，图中的点也会随之变高，也就是说最大间隔值在变化，那么,存在最大间隔值吗?给出结论及有关证明。用函数对素数的个数进行拟合。先进行线性拟合，选用2到1000中所有的素数进行拟合，再变化拟合的多项式的次数，比较拟合效果。将点(n,π(n))标在平面坐标系中，并且用折线把这些点连接起来，观测π(n)的变化趋势，然后在程序中增大N的值，再观测π(n)的变化趋势，将π(n)的值与其他函数的值进行比较，看能否找出最靠近π(n)的值的函数，即计算素数个数的公式，注意此时n应当充足大。NumP[n_Integer]:=Num=Product[Prime[i],{i,1,n}]+1;Print[Num,"",PrimeQ[Num],"",FactorInte9699691FalseFalse{{33160490131True[211False{(61,1},(46491411False{{95False{{277,1},(34391False{(1063,1},{303049,1},{5988NumP[n_Integer]:=Num=Proct[Prime[i],{i,1,n}]+1;Print[n,"",Num,"",PrimeQ[Num20391False{(1063,1},{3030421492284554131False23False[{265739,1},(126924False{{131,1},(1039,1},{25551False{{2336993,1},{13848803,1},{,1}}再变化n的范围为25到30,输出成果为：25551False({2336993,1},{13848803,1},2739621128False{{149,1},(13203797,1},(63137,1},(83711293091False证明：反证法，若素数的个数是有限的，且最大的素数是pk。p\1,这与p是素数相矛盾。故而假设不成立。得证：素数的个数是无穷多种的。For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=t=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,7,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,34967,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,47499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,63,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,767,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,41,947,953,967,971,977,983,991j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[t{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,7,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,34967,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,47499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,63,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,767,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,41,947,953,967,971,977,983,991For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=Pt=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!=0)&]];]j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[For[i=2,i<=n,i++,AppendToFor[i=1,Prime[i]<=Sqrt[n],i++,temp=Pt=Select[t,(#1==templ|Mod[#1,temp]!=0)&]];]j=1;divided=False;While[Prime[j]<=Sqrt[i]&&(!didivided=(Mod[i,temp]=If[!divided,AppendTo[对n=2,3,…,100,观测m^(n-1)被n整除所得的余数当m=2时运行如下程序：M[n_Integer]:=Module[{y,k],m=2;k=m^(n-1);x=MPrint[n,"",PrimeQ[n],"23456789TrueTrueFalseFalse FalseFalse FalseFalseFalseTrue 0101210421812401184218281210429121212121212121212121212121212121212248118214814218124018411289121212121212121212121212121212121212121212121FalseFalseFalseFalseFalseFalseTrueFalseFalse2124184212121212121212121212运行如下程序：M[n_Integer]:=Module[{y,k},m=3;k=m^(n-1);x=MPrint[n,"",PrimeQ[n],"1113113113111311311311131113113111311311131131113113113111391113111331139111301311311339111311139131311131从运行成果可以发现：当n(除3以外)为素数时，3(n-1)被n整除所得的余数都是1。输入程序如下：234214010516247118409172411441124114011211441241141624174811241140124141124141121141241142141121412411441124140121141211411241414211412411411214112114FalseFalseFalseFalse12141214414以上我们考虑的是m固定变动n的状况，接下来分析一下n固定，变动m的状况。M[m_Integer]:=Module[{y,k},n=2;k=m²(n-1);x=MoPrint[m,"",PrimeQ[m],"",GCD[m,23456789TrueFalseTrueFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalseFalse212121212121212121212121212121010101010101010101010101010112011201120112011201120112011201120112011201120M[m_Integer]:=Module[(y,k},n=3;k=m^(n-1);x=MoPrint[m,"",PrimeQ[m],"23456789FalseTrueFalseTrueFalseFalseTrueFalseFalseFalse1311311311311310110110110110111311131113113111311131131113111311131113113111311311131113113111311131113113111311131131113113113111311由以上那么多组数据，我们可以得出如下结论：若n为素数，并且m与n互素，则m^(n-1).该命题的逆命题为：若m^(n-1)被n整除所得的余数都是1,并且m与n互素，则n为Print[n,"",FactorInteger[n],"",m,"",Prime由以上的成果可以看出，虽然有有m²(n-1)被n整除所得的余数都是1,并且m与n互素，不过n不一定就是素数。如：Mersenne数的公式为Mn=2^n-1,通过该公式判断与否所有Mersenne鉴别式得出的数都是素数。Print[n,"",PrintQ[n],"",2^n-1,FactorInteger[216PrintQ[16]65535({3,1},{5,1},(17,1},(218PrintQ[18]262143{{3,3},{7,1},{19,1},{73,20PrintQ[20]1048575观测以上程序输出的成果，可以很轻易发现：当n为合数时，它的Mersenne数也是合数。当n为素数时，Mersenne数就一定是素数了吗?观测可得当n=11时，M11是2047,是合数。数却不一定是素数。显然2^n-1不是素数。故得证原命题。其鉴别程序如下：If[PrimeQ[2^n-1]==True,a[t]=2~n-Print[b[i],"",a[i],"",PrimeQ[2~a[数的措施。Do[Fermat[n],{n,1,10}]提出问题：素数生成的公式究竟会是什么样的呢?Module[y},y=n2t=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,Module[{y},y=n+mt=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,Module[{y},y=n^2+m*2+4;If[PrimeQt=0;Eu[n_Integer,m_Integer]:=Do[Eu[n,m],{n,1,10},{m,t=0;Eu[n_Integer,m_IntModule[(y},y=n"5+m^5+5;If[PrDo[Eu[n,m],{n,1,10],{m,t=0;Eu[n_Integer,m_IntegDo[Eu[n,m,k],{n,1,10假如多项式为二次的呢?令y=n2+m*2+k^2+5输出成果为250把100到内的素数在坐标轴上表达出来，程序如下：ListPlot[t,PlotStyle{RGBColor[0,0,1],PointSize[0.04]}]t:=Table[{i,PrimePi[i+100]-PrimePi[i]},{i,1ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[0,0,1],PointJoinedTrue]14},{1000,16},{(1100,12},{1200,15},{1300,11),{1400,17),{1500,1t:=Table[{i,PrimePi[i+100]-PrimePi[i]},{i,1ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[0,0,1],PlotJoinedT将i扩大到1000到101000的范围内，输出的图形如下：ListPlot[t,PlotStyle{RGBColor[987连成折线如下图：由上图可以看出，素数的分布是不规律的，就整体而言，素数的分布伴随整数的增大而越来越稀了。用将素数按照大小次序排列pl=2,p2=3,……,用dn表达两相邻素数间的间隔，dn=p(n+1)-pn。将1000以内的素数的间距求出的程序如下：Table[Prime[i+1]-Prime[i],t{1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,6,4,6,8,4,2,4,,2,4,2,12,12,4,2,4,6,2,10,6,6,6,2,6,4,2,10,14,4,2,4,14,6,10,2,4,6,8,6,6,4,10,2,6,4,6,8,4,2,4,12,8,4,8,4,6,12,2,18,6,10,6,6,2,6,10,6,6,2,4,6,8,10,8,10,8,6,6,4,8,6,4,8,4,14,10,12,2,10,2,4,2,10,14,4,2,4,14,4,2,4,20,4,84,6,6,14,4,6,6,8,6,12,4,6,2,10,2,6,10,2,10,2,6,18,4,2,4,6,6,8,6,6,22,2,10,8,10,6,6,4,6,6,2,6,12,10,18,2,4,6,2,6,4,2,4,12,2,6,34,6,6,8,18,10,14,4,2,4,6,8,4,22,4,6,12,12,8,12,6,4,6,8,4,8,4,14,4,6,2,4,6,2,6,10,20,6,4,2,24,4,2,10,12,2,10,8,68,6,4,2,12,10,12,8,16,14,6,4,2,4,2,10,12,6,6,18,2,16,2,22,6,8,6,4,2,4,8,,6,12,2,4,2,10,12,2,16,2,6,4,2,10,8,18,24,4,6,8,16,2,4,8,16,2,4,8,6,6,4,12,6,14,6,4,2,6,4,6,12,6,6,14,4,6,12,8,6,4,26,18,10,8,4,6,2,6,22,12,2,16,8,4,8,6,6,4,2,4,6,8,4,2,6,10,2,10,8,4,14,10,12,2,6,4,2,16,14,4,6,8,6,4,18,8,1,14,4,6,6,2,28,2,10,8,4,14,4,8,12,6,12,4,6,20,10,2,16,26,4,2,12,6,4,12,6,8,12,28,2,6,6,6,4,6,2,12,4,12,2,10,2,16,2,16,6,20,16,8,4,2,4,2,22,8,12,6,10,2,12,10,2,10,14,6,4,6,8,6,6,16,12,2,4,14,6,4,8,10,8,6,6,22,6,2,10,14,4,6,2,10,14,4,8,18,4,6,2,4,6,2,12,4,20,22,12,2,4,6,6,2,6,22,2,6,16,6,12,2,6,12,16,2,44,2,18,24,10,6,2,10,2,10,2,10,6,2,10,2,10,6,8,30,10,2,10,8,6,10,18,6,12,12,2,18,6,,18,2,10,14,6,4,2,4,24,2,12,6,16,8,6,6,18,16,2,4,6,2,6,6,10,6,12,12,18,2,62,4,6,2,12,4,14,30,10,6,12,14,6,10,12,2,4,6,8,6,10,2,4,14,6,6,4,6,2,10,2,16,12,8,,12,2,6,6,6,28,6,14,4,8,10,8,12,18,4,2,4,24,12,6,2,16,6,6,14,10,14,4,30,6,2,6,4,2,6,22,6,2,4,18,2,4,12,2,6,4,26,6,6,4,8,10,32,16,2,6,4,2,4,2,10,14,6,4,8,104,2,6,30,4,8,10,6,6,8,6,12,4,6,2,6,4,6,2,10,2,16,6,20,4,12,14,28,6,20,4,18,8,6,4,6,6,10,2,10,12,8,10,2,10,8,12,10,24,2,4,8,6,4,8,18,10,6,6,2,6,10,12,2,10,6,2,6,6,6,10,8,24,6,22,2,18,4,8,10,30,8,18,4,2,10,6,2,6,4,18,8,12,18,16,6,2,12,6,102,6,10,14,4,24,2,16,2,10,2,10,20,4,2,4,8,16,6,6,2,12,16,8,4,6,30,2,10,2,6,4,6,6,82,6,8,12,4,14,12,10,24,6,12,6,2,22,8,18,10,6,14,4,2,6,10,8,6,4,6,30,14,10,2,12,102,18,24,18,6,16,18,6,2,18,4,6,2,10,8,10,6,6,8,4,6,2,10,2,12,4,6,6,2,12,4,14,18,4,,8,6,4,8,4,14,6,4,14,12,4,2,30,4,24,6,6,12,12,14,6,4,2Table[{Prime[i],Prime[i+1]-Prime[i]ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[1,0,52000400060t:=Table[{Prime[i],Prime[i+1]-Prime[i]},{i,ListPlot[t,PlotStyleRGBColor[1,0,0]]200004000060000证明：假设相邻的素数的间隔值都为有限数，最大值设为N,不过可以构造出N个持续的自然数，具它们都是合数，它们分别是(N+1)!+2,(N+1)!+3…(N+1)!+N+1,其中第一种能被2整除，其中第二个能彼3整除，直到最终一种能妆N+1整除，则此时存在两相邻素数跟离至少为N+1,与原假设矛盾。即得证相邻的章数，它们的间跟可以无限的大。b=Table[{n,PrimePi[n]},{n,2,g=Plot[ft,{x,2,10000},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunctionIdentity]f=ListPlot[b,PlotStyleRGBColor[0,1,0],DisplayFunctionIdentShow[g,f,DisplayFun60.9457+0.118897xb=Table[{n,PrimePi[n]