江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何午练8空间角的计算苏教版选择性必修第二册

午练8空间角的计算1.若平面α的法向量为μ,直线l的方向向量为v,直线l与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是()A.cosθ= B.cosθ=C.sinθ= D.sinθ=2.假如PA,PB,PC是从点P动身的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是()A. B. C. D.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,D是棱AB的中点,则平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点,则()A.<>=120°B.BD1⊥ACC.BD1⊥EB1D.∠BB1E=45°5.(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,则()A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为60°D.AB与CD所成的角为90°6.(2024南通月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=4=4,则异面直线BE与B1F所成角的余弦值为.

7.二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则平面α与平面β的夹角为.

8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都为2,求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值.9.如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:(1)直线AD与直线BC所成角的大小;(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.午练8空间角的计算1.D由题意得sinθ=|cos<μ,v>|=,故选D.2.C如图所示,把PA,PB,PC放在正方体中,PA,PB,PC的夹角为60°.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0).∴=(-1,0,1),=(0,1,1),=(-1,1,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=-1,∴n=(1,1,-1),∴cos<,n>===.设直线PC与平面PAB所成角为θ,∴sinθ=|cos<,n>|=,∴cosθ==.3.B如图,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4).设平面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z),∵=(2,-4,0),=(0,0,4),则令x=2,则y=1,z=0,∴n=(2,1,0).同理可得,平面B1CD的一个法向量为m=(2,-1,1),故cos<n,m>===.设平面ABB1A1与平面B1CD的所成角为θ∈,则cosθ=,故平面ABB1A1与平面B1CD所成角的正弦值sinθ==.故选B.4.ABC建立如图所示的空间直角坐标系,设该正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),B1(2,2,2),所以=(0,2,-2),=(-2,-2,0),所以cos<,>===-.因为0°≤<,>≤180°,所以<,>=120°,故选项A正确.因为=(-2,-2,2),=(-2,2,0),所以·=4-4=0⇒⊥⇒BD1⊥AC,故选项B正确.因为=(-2,-2,2),=(1,1,2),所以·=-2-2+4=0⇒⊥⇒BD1⊥EB1,故选项C正确.因为=(0,0,-2),=(-1,-1,-2),所以cos<,>===,所以∠BB1E=45°不正确,故选项D不正确.故选ABC.5.AB如图,取BD的中点O,连接OC,OA.因为AB=AD,BC=DC,所以OC⊥BD,OA⊥BD.因为OC∩OA=O,OC,OA⊂平面OAC,所以BD⊥平面AOC.因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC,A正确.不妨设正方形的边长为a,则CD=AD=a,则AO=CO=a.因为二面角A-BD-C为直二面角,OC⊥BD,OA⊥BD,所以∠AOC即为二面角A-BD-C的平面角,且∠AOC=90°.由勾股定理得AC==a,故CD=AD=AC,△ACD是等边三角形,B正确.由A,B选项可知AO⊥OC,AO⊥BD,OC∩BD=O,OC,BD⊂平面BCD,所以AO⊥平面BCD,故AB与平面BCD所成的角为∠ABO,且∠ABO=45°,故AB与平面BCD所成的角为45°,C错误.如图,以O为坐标原点,OA,OD,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,又AB=a,则Aa,0,0,B0,-a,0,C0,0,a,D,则=0,-a,0-a,0,0=-a,-a,0,=0,a,0-0,0,a=0,a,-a,则·=·=-a2≠0,故AB与CD所成的角不为90°,D错误.故选AB.6.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=5,则B(5,5,0),B1(5,5,5).因为=4,=4,所以E(0,5,4),F(1,0,5),所以=(-5,0,4),=(-4,-5,0),所以cos<,>===,故异面直线BE与B1F所成角的余弦值为.故答案为.7.60°设平面α与平面β的夹角为θ,因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以·=0,·=0.由题意得=++,所以==+++2·+2·+2·=+++2·=36+16+64+2×6×8×cos(180°-θ)=,所以cos(180°-θ)=-,即cosθ=,所以θ=60°,即平面α与平面β的夹角为60°.故答案为60°.8.解因为正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长均为2,取BC的中点O,则AO⊥BC,所以AO⊥平面BB1C1C.取B1C1的中点H,所以AO,BO,OH两两垂直,故以O为原点,建立下图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,),B(1,0,0),A1(0,2,),C1(-1,2,0),所以=(1,0,-),=(0,2,0),=(-2,2,0),=(-1,2,).设平面AA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令z1=1,得n1=(,0,1).同理可得平面A1BC1的一个法向量为n2=(,,-1),所以cos<n1,n2>===.设平面AA1B与平面A1BC1夹角为θ,易知θ为锐角,则cosθ=|cos<n1,n2>|=,即平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为.9.解设AB=1,如图,作AO⊥BC于点O,连接DO,以O为原点,OD,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D,0,0,B0,,0,C0,,0,A0,0,.(1)因为=,0,-,=(0,1,0),·=,0,-·(0,1,0)=0,所以AD与BC所成的角等于90°.(2)=,0,-,明显n1=(0,0,1)为平面BCD的一个法向量,设AD与平面B