河北省衡水中学2025届高三数学上学期三调考试试卷含解析

PAGEPAGE18河北省衡水中学2024届高三数学上学期三调考试试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合（e为自然对数的底数），则A． B． C． D．2．已知角的终边与单位圆交于点，则A．－1 B． C． D．3．若曲线在点处的切线的斜率为1，则的最小值为A． B． C． D．4．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是A． B． C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．在区间上的最小值为 D．的图象关于直线对称6．若函数的最小正周期为4，则在下列区间中单调递增的是A． B． C． D．7．圭表（如图①）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推断节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照耀在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个依据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为A． B． C． D．8．已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个10．已知函数，则下列说法中正确的是A．，若恒成立，则B．若，则，C．若，则D．若，且，则11．在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作versinθ；定义为角的余矢，记作coversinθ，则下列结论中正确的是A．B．C．若，则D．函数的最大值为12．已知函数，，则在区间上的极值点的个数可能为A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则.14．已知定义在R上的函数满意，若的图象关于直线对称，则.15．已知函数，若关于的方程在区间上有三个不同的实根，则实数的取值范围是．16．据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(10分)已知是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．18．（12分）记的内角的对边分别为.若，在①，②两个条件中任选一个完成下列问题：(1)求；(2)若在边上，且，求的最大值．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(12分)已知函数，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离为.(1)求的解析式；(2)记的内角的对边分别为，已知，，，若角的平分线交于点，求的长．20．(12分)记的内角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)是边上的点，若，，求的值．21．(12分)已知的外心为分别为边上的点，且恰为的中点．(1)证明：；(2)若，，求的最大值．22．(12分)已知函数.(1)若，求的最小值；(2)若有且只有两个零点，求实数的取值范围.数学参考答案一、选择题1．C【解析】因为，，所以.2．B【解析】由题意得，所以.3．A【解析】由已知得，所以，故，当且仅当时取等号，所以的最小值为.4．D【解析】因为，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，所以，故，又，所以，当时，.5．D【解析】由题图得，又，点在图象的上升部分上，所以，由五点作图法可知，则，所以．对于A，的最小正周期为，故A错误，对于B，因为，所以的图象不关于点对称；故B错误，对于C，当时，，所以，所以在区间上的最小值为，故C错误；对于D，，所以的图象关于直线对称，故D正确．6．C【解析】作出函数的图象，如图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其单调递增区间为对于函数，其最小正周期为，可得，则。由，得，，所似的单调递增区间为，所以在区间上单凋递减，，在区间上不单调，在区间上单调递增，在区间上单调递减.7．B【解析】.在Rt中，.在Rt中，.由，得.8．C【解析】不等式可化为.由函数的图象，可知只有一个整数解，则唯一整数解只能是。因为点，是图象上的点，所以，因为，，，，所以实数的可能取值为.二、选择题9．AC【解析】若为锐角三角形，则，，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满意，不能推出为锐角三角形，故A正确；由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确：依据余弦定理得，即，所以符合条件的只有一个，故D错误．10．ACD【解析】对于A，因为，所以，，所以，故A正确，对于B，若，即，所以或，，即或，，故B错误；对于C，因为的图象关于点对称，又，即，所以，所以，故C正确；对于D，因为，且，由的，图象在区间内的对称轴为直线可知，，所以，故D正确．11．BC【解析】，故A错误；，故B正确；，，分子分母同除以，得，故C正确，，当时，取得最大值4，故D错误．12．AC【解析】由，得，即，解得或，又，所以或.当时，，所以，令，则，所以单调递增，则当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上只有1个极值点，当时，.令，则在区间上单调递增，又，，所以在区间上只有一个零点，因此在区间上先单调递减再单调递增.又，，所以在区间上先单调递减再单调递增．由为偶函数可知在区间上先单调递减，然后单调递增，再单调递减，最终单调递增，故在区间上共有3个极值点，综上，在区间上有1个或3个极值点．三、填空题13．【解析】因为，所以，整理得，即.14．1【解析】因为，所以，所以．又的图象关于直线对称，所以.又，所以.15．【解析】的定义域为R，，故为偶函数．当时，，作出在区间上的大致图象如图所示．若关于的方程在区间上有三个不同的实根，则.16．【解析】如图，A点为某市的位置，B点是台风中心在向正北方向移动前的位置．设台风移动小时后的位置为，则.又，，在中，由余弦定理，得.令，即，解得，则（小时），所以该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为小时．四、解答题17．解：(1)因为为R上的奇函数，所以. （1分）当时，，则.因为是奇函数，所以，所以（5分）(2)当时，，则在区间上单调递增．因为是R上的奇函数，所以在R上单调递增．（7分）由，可得（8分）所以，解得.故实数的取值范围是. (10分)18．解：(1)若选①：由正弦定理，得，整理得（3分）所以.又，所以.（5分）若选②：因为，所以，即，（3分）解得（舍去）或.又，所以（5分）(2)因为，所以为边上的高，又，所以当的面积最大时，取得最大值．法一：在中，由余弦定理，得，即 （8分）由基本不等式，得，当且仅当时取等号，所以(10分)所以边上的高的最大值为，(12分)法二：由正弦定理，得，（8分）所以，当时，等号成立，所以边上的高的最大值为.（12分）19．解：(1)，（2分）设的周期为，由题意得，即，解得，（4分）所以.（5分）(2)由，得，即，，解得，，因为，所以.（7分）由，得，所以.（10分）在中，由余弦定理，得，即，则，即，故（12分）20．解：(1)由题得，等式左边，由正弦定理，得（2分）又，所以，所以，即（4分）又，所以.（5分）(2)因为，所以.设，则.在中，由正弦定理，得，则（7分）在中，由余弦定理，得.（9分）故，解得，即.(11分)又，所以.（12分）21．(1)证明：设，，，，连接在和中，由余弦定理，得，.（2分）由是的外心知，又，所以，即.（4分）因为，所以同理可得，因为，所以.故.（6分）(2)解：在和中，由余弦定理，得，.由，得.设，.由(1)知，则（9分）所以，当且仅当时取等号，故的最大值为. （12分）22．解：(1)当时，，则.（1分）当时，，所以，所以.又，所以，故，所以在区间上单调递增，所以的最小值为.（4分）(2)由