湖北省枣阳一中2025届高考适应性考试数学试卷含解析

湖北省枣阳一中2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（）A． B． C． D．2．设，，则（）A． B． C． D．3．已知集合，则的值域为（）A． B． C． D．4．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．5．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．456．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.87．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．3608．已知集合，集合，若，则（）A． B． C． D．9．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（）A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍10．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()A．1 B．2 C． D．11．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．512．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.14．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.15．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为_______.16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示.（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取人，记对购车补贴金额的心理预期值高于万元的人数为，求的分布列和数学期望；（3）统计最近个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份销售量（万辆）试预计该品牌汽车在年月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.18．（12分）已知，其中．（1）当时，设函数，求函数的极值．（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；（3）证明：．19．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.22．（10分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2、D【解析】

集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，，则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3、A【解析】

先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由，得，，令，，，所以得，在上递增，在上递减，，所以，即的值域为故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题4、B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解析】

计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.6、B【解析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.7、A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.8、A【解析】

根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.9、D【解析】

先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.10、D【解析】

设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．【详解】由题意，正项等比数列中，，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去，故选D．【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．11、C【解析】

由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．12、C【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.故选：C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则三组抽取人数分别.设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为：60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.14、【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【详解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.15、【解析】

设为的中点，根据弦长公式，只需最小，在中，根据余弦定理将表示出来，由，得到，结合弦长公式得到，求出点的轨迹方程，即可求解.【详解】设为的中点，在中，，①在中，，②①②得，即，，.，得.所以，.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.16、【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．【详解】由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2，而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大，三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为：VP﹣AEF＝＝＝．故答案为【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1.7；（2），见解析；（2）2.【解析】

（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；（2）易得，由二项分布列的期望公式计算；（3）利用所给公式计算出回归直线即可解决.【详解】（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为，所以方差的估计值为；（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的频率为，则，所以的分布列为，数学期望；（3）将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1，2，3，4，5，记，，，，，，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系，因为，，，，则，，所以回归直线方程为，当时，，预计该品牌汽车在年月份的销售量约为2万辆.【点睛】本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.18、（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析【解析】

（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取得到，取，可得，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解：（1）当时，设函数，则令，解得当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；（2）因为，所以，因为在区间上递增，所以在上恒成立，所以在区间上恒成立．当时，在区间上恒成立，当时，，设，则在区间上恒成立．所以在单调递增，则，所以，即综上所述．（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，所以，即，取，则．所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.19、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【详解】解：（1）由，得，因为，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20、（1），；（2）.【解析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．【详解】（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为；（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为，，点到射线的距离为的面积为.【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.21、（1）；（2）最小值为，此时【解析】

（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.【详解】（1）消去得，曲线的普通方程是：；把，代入得，曲线的直角坐标方程是（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.设在时，，是最小值，此时，所以，所求最小值为，此时【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考