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文档简介

2025届内蒙古包头市一中高三最后一卷数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.404.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.5.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C.1 D.6.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误7.“且”是“”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.40409.已知平面向量,满足且,若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为()A. B. C. D.110.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为()A. B. C. D.11.已知正四面体外接球的体积为,则这个四面体的表面积为()A. B. C. D.12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.84二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.14.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.15.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为__________.16.设点P在函数的图象上,点Q在函数的图象上,则线段PQ长度的最小值为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.18.(12分)在平面直角坐标系中,设,过点的直线与圆相切,且与抛物线相交于两点.(1)当在区间上变动时,求中点的轨迹;(2)设抛物线焦点为,求的周长(用表示),并写出时该周长的具体取值.19.(12分)设函数f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1},求实数a的值;(2)证明:f(x).20.(12分)已知,,分别为内角,,的对边,且.(1)证明:;(2)若的面积,,求角.21.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.22.(10分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求的面积的值(或最大值).已知的内角,,所对的边分别为,,,三边,,与面积满足关系式:,且,求的面积的值(或最大值).

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题意画出图形,找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径,则答案可求.【详解】如图;设AB的中点为D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB为直角三角形,且斜边为AB,故其外接圆半径为:rAB=AD=2;设外接球球心为O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2⇒R2=(R)2+r2⇒R;∴球O的表面积为:4πR2=4π.故选:D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,考查思维能力与计算能力,属于中档题.2、B【解析】

由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由,得,.设线段的中点,则,在圆上,到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍,点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和,而圆的圆心到直线的距离为,,,..故选:【点睛】本题考查了向量数量积,点到直线的距离,数列求和等知识,是一道不错的综合题.3、B【解析】

,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.4、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.5、D【解析】

根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.6、A【解析】

利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.7、A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图,“且”表示的区域是如图所示的正方形,记为集合P,“”表示的区域是单位圆及其内部,记为集合Q,显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件,故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.8、D【解析】

计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.9、B【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.【详解】根据题意,设,则由代入可得即点的轨迹方程为又因为,变形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:所以的最小值即为到直线的距离最小值根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值设切线的方程为,化简可得由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得即所以切线方程为或所以当变化时,到直线的最大值为即的最大值为故选:B【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用,圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.10、B【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法;“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法;所求概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.11、B【解析】

设正四面体ABCD的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内,使得每条棱恰好为正方体的面对角线,根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长,从而得出正四面体的棱长,最后可求出正四面体的表面积.【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内,设正方体的棱长为a,如图所示,设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则,得.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球,则有,∴.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,所以,正四面体ABCD的棱长为,因此,这个正四面体的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球的内接多面体,解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来,考查计算能力,属于中档题.12、B【解析】

画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示:故.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-【解析】试题分析:根据题意设三角形的三边长分别设为为a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所对的角为最大角,设为θ,则根据余弦定理得考点:余弦定理及等比数列的定义.14、【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.15、【解析】

甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.16、【解析】

由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于对称,则点到的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值.【详解】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减;当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)见解析【解析】

(1)利用的导函数,求得的最大值的表达式,对进行分类讨论,由此判断出的零点的个数.(2)由,得到和,构造函数,利用导数证得,即有,从而证得,即.【详解】(1),∴当时,,当时,在上递增,在上递减,.令在上递减,在上递增,,当且仅当时取等号.①时,有一个零点;②时,,此时有两个零点;③时,,令在上递增,,此时有两个零点;综上:时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)由(1)可知:,令在上递增,.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、(1).(2)的周长为,时,的周长为【解析】

(1)设的方程为,根据题意由点到直线的距离公式可得,将直线方程与抛物线方程联立可得,设、坐标分别是、,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.(2)根据抛物线的定义可得,由(1)可得,再利用弦长公式即可求解.【详解】(1)设的方程为于是联立设、坐标分别是、则设的中点坐标为,则消去参数得:(2)设,,由抛物线定义知,,∴由(1)知∴,,的周长为时,的周长为【点睛】本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式,考查了计算能力,属于中档题.19、(1)a=1;(2)见解析【解析】

(1)由题意可得|x﹣a|≥4x,分类讨论去掉绝对值,分别求得x的范围即可求出a的值.(2)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得f(x)≥2..【详解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),当x≥a时,x﹣a≥4x,解得x,这与x≥a>0矛盾,故不成立,当x<a时,a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)证明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,当且仅当a时取等号,故f(x).【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)利用余弦定理化简已知条件,由此证得(2)利用正弦定理化简(1)的结论,得到,利用三角形的面积公式列方程,由此求得,进而求得的值,从而求得角

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