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文档简介
2025届湖北省襄阳四中高考数学二模试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()A.156 B.124 C.136 D.1802.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()A. B. C. D.3.设全集U=R,集合,则()A. B. C. D.4.已知为虚数单位,实数满足,则()A.1 B. C. D.5.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.7.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()A. B. C. D.8.在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是()A. B. C. D.9.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.10.命题:的否定为A. B.C. D.11.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④12.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.以,为圆心的两圆均过,与轴正半轴分别交于,,且满足,则点的轨迹方程为_________.14.已知函数对于都有,且周期为2,当时,,则________________________.15.已知椭圆的离心率是,若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,此时椭圆的方程是____.16.在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线C:x24py(p为大于2的质数)的焦点为F,过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1)求点G的轨迹方程;(2)当点G的横坐标为整数时,S是否为整数?若是,请求出所有满足条件的S的值;若不是,请说明理由.18.(12分)如图,在直棱柱中,底面为菱形,,,与相交于点,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.19.(12分)若养殖场每个月生猪的死亡率不超过,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145(1)从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率;(2)根据1月到8月的数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?附:线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:,参考数据:.20.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.21.(12分)某企业原有甲、乙两条生产线,为了分析两条生产线的效果,先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值.该项指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数2184814162100(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图,以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率,估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率;(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述图表所提供的数据,完成下面的列联表,并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关?若有90%把握,请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87922.(10分)已知数列{an}满足条件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,求证:Sn.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,,.故选:A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2、B【解析】
根据直线与和都相切,求得的值,由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆,由此求得正确选项.【详解】.设直线与相切于点,斜率为,所以切线方程为,化简得①.令,解得,,所以切线方程为,化简得②.由①②对比系数得,化简得③.构造函数,,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即,画出其对应的区域如下图所示.圆可化为,圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示,不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为,直线的斜率为.所以,所以,而圆的半径为,所以阴影部分的面积是.故选:B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数,考查不等式组表示区域的画法,考查圆的方程,考查两条直线夹角的计算,考查扇形面积公式,考查数形结合的数学思想方法,考查分析思考与解决问题的能力,属于难题.3、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.【详解】,,则,故选:A.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础题.4、D【解析】,则故选D.5、B【解析】
求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.6、A【解析】
设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,在等式两边平方得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.7、C【解析】
求得点坐标,由此求得直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,求得点坐标,进而求得【详解】抛物线焦点为,令,,解得,不妨设,则直线的方程为,由,解得,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于基础题.8、B【解析】
由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程,在圆上,在坐标满足方程,在圆上,则作出两圆的图象如图,设两圆内公切线为与,由图可知,设两圆内公切线方程为,则,圆心在内公切线两侧,,可得,,化为,,即,,的取值范围,故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.9、A【解析】
根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.10、C【解析】
命题为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题的否定为,故选C.11、A【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12、B【解析】
由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上,由此得到,同理可得,由对数运算法则可知,从而化简得到,由此确定轨迹方程.【详解】,,和的中点坐标为,且在线段的垂直平分线上,,即,同理可得:,,,点的轨迹方程为.故答案为:.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题,关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程,由此得到结果.14、【解析】
利用,且周期为2,可得,得.【详解】∵,且周期为2,∴,又当时,,∴,故答案为:【点睛】本题考查函数的周期性与对称性的应用,考查转化能力,属于基础题.15、【解析】
根据题意设为椭圆上任意一点,表达出,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.【详解】因为椭圆的离心率是,,所以,故椭圆方程为.因为以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为,所以椭圆上的点到点的距离的最大值为.设为椭圆上任意一点,则.所以因为的对称轴为.(i)当时,在上单调递增,在上单调递减.此时,解得.(ii)当时,在上单调递减.此时,解得舍去.综上,椭圆方程为.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点,再求出距离,根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.16、【解析】
对求导,再根据点的坐标可得切线方程,令,可得点横坐标,由的面积为3,求解即得.【详解】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)当G点横坐标为整数时,S不是整数.【解析】
(1)先求解导数,得出切线方程,联立方程得出交点G的轨迹方程;(2)先求解弦长,再分别求解点到直线的距离,表示出四边形的面积,结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设,则,抛物线C的方程可化为,则,所以曲线C在点A处的切线方程为,在点B处的切线方程为,因为两切线均过点G,所以,所以A,B两点均在直线上,所以直线AB的方程为,又因为直线AB过点F(0,p),所以,即G点轨迹方程为;(2)设点G(,),由(1)可知,直线AB的方程为,即,将直线AB的方程与抛物线联立,,整理得,所以,,解得,因为直线AB的斜率,所以,且,线段AB的中点为M,所以直线EM的方程为:,所以E点坐标为(0,),直线AB的方程整理得,则G到AB的距离,则E到AB的距离,所以,设,因为p是质数,且为整数,所以或,当时,,是无理数,不符题意,当时,,因为当时,,即是无理数,所以不符题意,当时,是无理数,不符题意,综上,当G点横坐标为整数时,S不是整数.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线中的切线问题通常借助导数来求解,四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题,表示出面积的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明平面,只需证明,即可:(2)取中点,连,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出与平面的法向量,再利用计算即可.【详解】(1)∵底面为菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如图,取中点,连,以为原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系:,点,设平面的法向量为,,有,令,得又,设直线与平面所成的角为,所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,本题解题关键是正确写出点的坐标.19、(1);(2);(3)利润约为111.2万元.【解析】
(1)首先列出基本事件,然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率;(2)首先求出利润y和养殖量x的平均值,然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程;(3)根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.【详解】(1)2月到6月中,合格的月份为2,3,4月份,则5个月份任意选取3个月份的基本事件有,,,,,,,,,,共计10个,故恰好有两个月考核合格的概率为;(2),,,,故;(3)当千只,(十万元)(万元),故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型,线性回归方程的求解和使用,属于基础题.20、(Ⅰ),.(Ⅱ)见解析【解析】
(1)由,分和两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由题,得,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)解:由题,得当时,,得;当时,,整理,得.数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,故.故得证.【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.21
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