江苏省泰兴市第三高级中学2025届高考仿真卷数学试题含解析_第1页
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文档简介

江苏省泰兴市第三高级中学2025届高考仿真卷数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.2.已知椭圆,直线与直线相交于点,且点在椭圆内恒成立,则椭圆的离心率取值范围为()A. B. C. D.3.已知中,,则()A.1 B. C. D.4.已知集合,,则()A. B.C.或 D.5.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.6.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.607.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,,数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:(其中).根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A. B. C. D.8.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式:,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的,若判断框内填入的条件为,则正整数的最小值是A. B. C. D.9.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.10.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.11.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.412.正方体,是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面平行的直线有几条()A.36 B.21 C.12 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,若,则a的取值范围是______.14.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.15.能说明“在数列中,若对于任意的,,则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.(写出数列的通项公式)16.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,正方形所在平面外一点满足,其中分别是与的中点.(1)求证:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,,离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若,求直线l的斜率k.19.(12分)已知函数,.(1)若不等式的解集为,求的值.(2)若当时,,求的取值范围.20.(12分)已知函数,它的导函数为.(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:.21.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设,,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30°,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.2、A【解析】

先求得椭圆焦点坐标,判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出,判断出点的轨迹方程,根据恒在椭圆内列不等式,化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点,所以.直线过点,直线过点,由于,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立,所以椭圆的短轴大于,即,所以,所以双曲线的离心率,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系,考查动点轨迹的判断,考查椭圆离心率的取值范围的求法,属于中档题.3、C【解析】

以为基底,将用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题.4、D【解析】

首先求出集合,再根据补集的定义计算可得;【详解】解:∵,解得∴,∴.故选:D【点睛】本题考查补集的概念及运算,一元二次不等式的解法,属于基础题.5、B【解析】

作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.6、D【解析】

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率,再根据样本容量求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图,得:低于60分的频率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴样本容量(即该班的学生人数)是60(人).故选:D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率的应用问题,属于基础题7、A【解析】

由已知,设.可得.于是可得,进而得出结论.【详解】解:依题意,设.则.,.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为.则,.故选:A.【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8、B【解析】

初始:,,第一次循环:,,继续循环;第二次循环:,,此时,满足条件,结束循环,所以判断框内填入的条件可以是,所以正整数的最小值是3,故选B.9、A【解析】

根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意,得,故,故,,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.10、B【解析】

判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.11、C【解析】

画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.12、B【解析】

先找到与平面平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面,平面,平面,共有,故选:B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

函数等价为,由二次函数的单调性可得在R上递增,即为,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范围.【详解】,等价为,且时,递增,时,递增,且,在处函数连续,可得在R上递增,即为,可得,解得,即a的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.14、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.15、答案不唯一,如【解析】

根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.【详解】由题意知,不妨设,则,很明显为递减数列,说明原命题是假命题.所以,答案不唯一,符合条件即可.【点睛】本题考查对等差数列的概念和性质的理解,关键是假设出一个递减的数列,还需检验是否满足命题中的条件,属基础题.16、【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得,交圆于点,所以,建立等式,两式作商即可得解.【详解】设,交圆于点,所以易知:即.故答案为:【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论,若能熟记常见二级结论,此题可以简化计算.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)先证明EF平面,即可求证;(2)根据二面角的余弦值,可得平面,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【详解】(1)连接,交于点,连结.则,故面.又面,因此.(2)由(1)知即为二面角的平面角,且.在中应用余弦定理,得,于是有,即,从而有平面.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是,,设平面的法向量为,则,即,解得于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为,因此.【点睛】本题主要考查了线面垂直,线线垂直的证明,二面角,线面角的向量求法,属于中档题.18、(1)(2)直线l的斜率为或【解析】

(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】(1)由题意得解得故椭圆C的方程为.(2)直线l的方程为,设,,则由方程组消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.19、(1);(2)【解析】试题分析:(1)求得的解集,根据集合相等,列出方程组,即可求解的值;(2)①当时,恒成立,②当时,转化为,设,求得函数的最小值,即可求解的取值范围.试题解析:(1)由,得,因为不等式的解集为,所以,故不等式可化为,解得,所以,解得.(2)①当时,恒成立,所以.②当时,可化为,设,则,所以当时,,所以.综上,的取值范围是.20、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】

当时,求函数的导数,判断导函数的单调性,计算即为导函数的零点;

当时,分类讨论x的范围,可令新函数,计算新函数的最值可证明.【详解】(1)的定义域为当时,,,易知为上的增函数,又,所以是的唯一零点;(2)证明:当时,,①若,则,所以成立,②若,设,则,令,则,因为,所以,从而在上单调递增,所以,即,在上单调递增;所以,即,故.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性,单调性,零点的求法.注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用.21、(1);(2)【解析】

(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设(其中)所以,,且,因为,所以,,所以,故或(舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.22、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ

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