等比数列与数列综合讲义

#等比数列与数列综合讲义一、知识串讲等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数．．．． ．．列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q丰0）,即：a：a=q（q中0）。n+1n1、递推关系与通项公式递推关系：a=aqn+1 n通项公式：a=a•qn-1n1推广：a=a・qn-mnm2、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b=±4标，注：b2=ac是成等比数列的必要而不充分条件.3、等比数列的基本性质,（1）若m+n=p+q，则a•a=a•a（其中m,n,p,qgN*）mnpqa（2）qn-m=—n~，a2=a•a （ngN*）an n-mn+mm（3）｝为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.n（4）ta｝既是等差数列又是等比数列0^｝是各项不为零的常数列.nn4、等比数列的前n项和，一na1 (q=1)S=1a(1-qn) a-aq (q中1)n—i =-J n—1-q1-q.等比数列的前n项和的性质若数列L｝是等比数列，S是其前n项的和，kgN*，那么S，S-S，S-S成等比数列.n n k 2k k 3k2k.等比数列的判定法（1）定义法：an+^=q（常数）nta｝为等比数列；ann（2）中项法：a2=a•a （a丰0）n｛a｝为等比数列；n+1 nn+2 n n（3）通项公式法：a=k•qn（k,q为常数）n｛a｝为等比数列；nn（4）前n项和法：S=k（1-qn）（k,q为常数）n｛a｝为等比数列。nnS=k—kqn(k,q为常数)n1｝为等比数歹U。nn7、求数歹通项公式方法(1)．公式法(定义法)根据等差数歹、等比数歹的定义求通项(2)累加法a—a=f(1)21… a—a=f(2) 『若a—a=f(n)(n>2),贝U 两边分别相加得a—a=乙f(n)\o"CurrentDocument"n+1 n ... ... n+1 1k=1a—a=f(n)n+1 n(3)累乘法适用于：a=f(n)an+1 n若n+1r==f(n)，则—=f(1)，-3=f⑵， ，—n^=f(n)a aa an 12 n两边分别相乘得，—=a」nlf(k)

a11 k=1(4)待定系数法 适用于a=qa+f(n)n+1 n(5)根据条件找n+1与n项关系(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项二、例题解析21.已知数歹久。〃｝的首项。］=/,a用2a n-

a+1n(neN*),求证：数列｛工—1｝是等比数列，并求数歹U｛。〃｝的通项a公式.答案：2na= n2n+1.在数歹ij｛1｝中，a=2,a=4a—3n+1,neN*.(I)证明数列｛a—n｝是等比数列；(II)求数n 1 n+1 n n列｛a｝的前n项和S；nn答案：Sn.已知等比数列｛a｝的各项都是正数，s=80,s=6560，且在前n项中，最大的项为54,求首项a和n n 2n 1公比q.答案：a=2,q=3TOC\o"1-5"\h\z8 27.在-和彳之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为答案：216.等比数列｝中，a>0,a=a।+a,neN*，则公比为（C）.n n n n+1 n+2>5 八5 v：5-1 5+1A. B. C. D. 5 2 2 26.已知正项等比数列｛a｝中，。，，。二27，a与a的等差中项为9,则a.= .n 159 6 7 10答案：160TOC\o"1-5"\h\z7,已知等比数列｛a｝的各项均为正数，a=8,a+a=48.n 2 34(I)求数列｛a｝的通项公式；n(II)设b=loga.证明：｛b｝为等差数列，并求｛b｝的前n项和S.n 4n n n nn2+3n答案：(1)a=2n+1,(2)s=--—n n48.设8.设a1=2,neN*,求数列｛b｝的通项公式b.nn2a= n+1a+1n

a+2b=n na一1，n答案：b=2n+1n求通项公式an9.已知数列^a｝满足:a=3,a =2a+1,求通项公式ann 1 n+1 n答案：a=2n+1—1n10.等比数列｛a｝中，已知对任意正整数nna+a+a+ +a=1 2 3 n2n+m,贝1Ja2+a2+a2h fa2等于()AA.1(4n+m) B,1(2n—1)C.(4n—1)D.(2n+m)211.f(n)=2+24+27+210+・••+23n+10(ngN)，则f(n)=( ).DA.2(8n—1)222B.—(8n+1—1) C.—(8n+3—1)D.—(8n+4—1)7 7712.已知等比数列｛a｝中，s,s,s是等差数列，求公比q

n n+1nn+2答案：-213.设公差不为0的等差数列｛a｝中的部分项为a,a,a,・・.a…成等比数列，且k=1,k=5,k=17,k1k2123(1)求通项k；(2)求和k+k+・.•+左12答案：⑴k二3n—n—1;s

n3n+1—3n2+3n14.已知数列｛a｝,

n｛b｝满足a=2,n4n—1 4n—1 /、。、(n32)八1 3八1b-—a+—b+1n4n—1 4n—1(1)令c=a+bnnnd=a-b，求数列｛c｝,｛d｝的通项公式;nnn(II)求数列｛a｝的通项公式及前n项和公式S.答案：（1）2n-1;(2)an1 1 1 n2——+n+—,s=一——+——+n+12n 2n2n 2三、课后作业：S=48，则｛a｝的公差为6n.记S为等差数列｛a｝的前nS=48，则｛a｝的公差为6nA．1B．2C．4D．8.等差数列｛a｝的首项为i,公差不为0.若%,4,以成等比数列，则｛〃｝前6项的和为n 236 nA．-24 B．-3 C．3 D．8.等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a2+a8+an=30,那么"的值是（）A.130B.65C.70D.以上都不对.若数列｛an｝的通项公式为an=2n+2n—1,则数列｛an｝的前n项和为（）A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2.设S为等比数列｛a｝的前n项和，已知3S=a-2,3S=a-2，则公比q=n n 34 23（A）3 （B）4 （C）5 （D）66.已知｛a｝是首项为1的等比数列，6.已知｛a｝是首项为1的等比数列，ns是｛a｝的前n项和，nn1,则数列｛/的刖5项和为15 31(A)9或5 (B)16或531(C)16(D)15T.设｛a｝是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立n的是A、X+Z=2Yb、Y(Y-X)=Z(Z-X) c、Y2=XZ d、Y(Y-X)=X(Z-X).已知等比数列｛〃｝满足〃>0,〃=L2,・・・，且。・〃 =22<n>3),则当1时，n n 5 2«-5loga+loga+・・・+loga-21 23 22«-lA.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2

(I)求a,a,a的值；(II)设b-aT,

123 nn9,在数列｛a｝中，a+a+a+...+(I)求a,a,a的值；(II)设b-aT,

123 nn求证：数列｛b｝是等比数列；（III）设c-b-（n—n2）n nn(n(n-1,2,3...),如果对任意neN"都有cn<5,求正整数t的最小值.TOC\o"1-5"\h\z.等差数列&｝中，a+a“=40,a+a+a的值为( ).n 3 11 6 7 8A.48B.60C.72 D.84.等比数列｝中，a>0,a-a।+a,neN*，则公比为( ).n n n n+1 n+2.2.5 _v5 「A-1 5+1A..B.C..5 2 2 2.若^a｝是等差数列，首项ai>0,a_7+a,.>0,a_-a_.<0,则使前n项和S>0成立的最大自n 1 2007 2008 2007 2008 n然数n是().A.4013 B.4014 C.4015 D.4016.数列^a｝中，a>0,S是它的前n项和，且4S-a2+2a+1(neN*),则它的通项公式是n n n nnn.若a=1+2+…+n，则数列］—\的前n项和S-.TOC\o"1-5"\h\zn IaJ nn.数歹^a卜满足：a+2a+3a+—+na-n(n+1)(n+2)，则通项a-a+a+aa+a+a贝IJ一—3 9-a +a +a2 4 10.等差数列之｝中，公差d丰0,若a，a,a成等比数列，n 139a-1,a =a+2n(n—1).通项a—1 n+1 n n18.已知数列｝的前n项和为Snn18.已知数列｝的前n项和为Snn点（n下）在直线y--x+了上，数列”满足b—2b+b=0(neN*),且b=11,前9项和为153. ⑴求数列ib}的通项；⑵设n+2 n+1 n 3 nnC=-——3^-.--，数列C)的前n项和为T，不等式T>k对一切neN*恒成立的最大正整n (2a-11)(2b一1)n n n57nn数k的值.19.已知数列A:a,a，…,a(N>3)的各项均为正整数，设集合T=｛小二a-a,1J〈j<N｝，记T的元素1 2 ji个数为P(T).(I)若数歹UA:1,2,4,3，求集合T,并写出P(T)的值；(II)若A是递增数列，求证：“P(T)=N-1”的充要条件是“A为等差数列”137作业答案：1.C；2.A；3.A；4.C；5.B；6.C；7.D；8.C,9(1)a=-a=-a=3(2)略;(3)1 22 43 84.10.B11.C12.B13.a=2n-1 14. n n+115.3n+316. 17.2n-1 18.1619.解：(I)因为a=1,1①a=n+5;b=3n+2nna=2,a=4,a=3,234②18；所以T={1,2,3,-1},P(T)=4.(II)充分性：若A是等差数列，设公差为d.因为数列A是递增数列，所以d〉0.则当j>i时，a一a=(j-i)d.ji所以T={d,2d，…,(N-l)d},P(T)=N-1.必要性：若P(T)=N-1.TOC\o"1-5"\h\z因为A是递增数列，所以a-a<a-a<•••<«-a,2 13 1 N1所以a-aa-a，…,a-aeT，且互不相等.2 1