等比数列-教学设计

#等比数列的概念【教学目标】理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念．逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题．通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力．【教学重点】等比数列的概念及通项公式．【教学难点】灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题．【教学方法】本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入复习提问：(1)等差数列的定义；(2)等差数列的通项公式；(3)计算公差d的方法；(4)等差中项的定义及公式.学生动手操作：把一张纸连续对折5次，试写出每次对折后纸的层数.通过学生动手操作可得折纸的层数是2,4,8,16,32.教师提出问题.学生思考回答.教师用问题引导学生观察相邻两项的关系，根据前面所学等差数列的知识，尝试给出等比数列的定义.回顾以前学过的知识，为知识迁移做准备.通过动手操作解答问题，体验数学发现和创造的过程.新课1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比.公比通常用字母“q”表示.练习一学生对比等差、等比两数列的异同.培养学生发现问题，类比推导与归纳总结的能力.

新课抢答：下列」数列是否为等比数列？8,16,32,64,128,256,…；1,1,1,1,1,1,1,•…243,81,27,9,3,1,,,…；16,8,4,2,0,—2,…；1,—1,1,—1,1,—1,1,…；1,—10,100,—1000,….注意：1)求公比q一定要用后项除以前项，而不能用前项除以后项；2)等比数列中，各项和公比均不为0;3)q=1时，{叫为常数列.2.等比数列的通项公式首项是4,公比是q的等比数列U{an}的通项公式可以表示为an=a1qn—1・根据这个通项公式，只要已知首项a1和公比q，便可求得等比数列的任意项an.事实上，等比数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个.练习二已知一个等比数列的首项为1,公比为一1,求这个数列的第9项.练习三求下列等比数列的第4项和第8项：5,—15,45,…；1.2,2.4,4.8,…；,八2 1 33,2,8…；教师出示题目.学生思考、抢答.师问：你能说出练习一中，等比数列的公比吗？教师出示练习一中的等比数列.学生说出各题的公比q.师：等比数列中，某一项可以为0吗？公比q可以为0吗？为什么？师：常数列是等比数列吗？学生根据定义，得出结论.师：请仿照等差数列通项公式的推导过程，归纳总结等比数列的通项公式.学生分组探究.a2=a1q,a3=—q=——q=a1——,a4=—q=——q=a1——,an=a1——.练习时请个别学生在黑板上做题.教师订正.学生做练习三.通过一组练习题，加深学生对等比数列定义的理解.用抢答的方式，激发学生的思维，调动学生的学习积极性.在教师的引导下，结合等比数列定义，归纳得出结论，提高学生发现问题、解决问题的能力.引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力和合作意识.巩固加深对等比数列概念及其通项公式的理解，能运用等比数列解决一些简单的实际问题.

新课(4)2,,1,亭，….例1已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.解设这个数列的第一项是由,公比是q，贝Ua1q2=12， ①a1q3=18. ②解①②所组成的方程组，得3 16 16x3°q=2,a1=3，a?=a1q=3X2=8.即这个数列的第1项是号，第2项是8.练习四41.一个等比数列的第9项是9,公比是一3,求它的第1项.2.一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项和第4项.例2将20,50,100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q.解设所加常数为a，依题意20+a,50+a,100+a成等比数列，则50+a_100+a20+a—50+a'去分母，得(50+a)2=(20+a)(100+a),即2500+100a+a2=2000+120a+a2,解得a=25.番'50+a50+255七代入计算，得20+a=20+25=3,所以公比q=5.教师引导学生分析本题，已知什么？求什么？怎么求？教师启发学生，当用一个式子解决不了问题的时候，考虑构成方程组来解决.教师板书解题过程.引导学生注意求公比的方法：两式相除.学生解答练习四.请学生在黑板上做题.教师巡视指导.教师引导学生利用等比数列的定义列出方程.教师注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法.通过练习，让学生进一步掌握等比数列中，求公比的独特方法.此题看似复杂，实际上学生自己可以完成.另外例2的思路与以下等比中项的思路一致，可以在讲完等比中项以后让学生再回顾此题.

新课.等比中项的定义在2与8之间插入一个数4,那么2,4,8成等比数列.一般地，如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项..等比中项公式如果G是a与b的等比中项，则G2=ab,即G=±yfOb.容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.练习五求下列各组数的等比中项：(1)2,18； (2)16,4.由特殊数列2,4,8引出等比中项的定义.师：2,-4,8是否构成等比数列？一4是不是2和8的等比中项？学生思考、合作探究，得出等比中项公式.教师引导学生注意等比中项的值有两个.学生口答练习五.师生统一订正.培养学生发现问题，进行类比、推导以及归纳总结的能力.小结.等比数列的定义..等比数列的通项公式..等比中项的定义及公式..等比数列定义与通项公式的应用.学生阅读课本P18〜P20,畅谈本节课的收获.教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法.教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力.作业教材P23,习题第1,2题.学生课后完成.巩固拓展.等比数列的前n项和【教学目标】.理解并掌握等比数列前n项和公式，并会应用公式解决简单的问题..逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力..通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透类比与转化的思想．【教学重点】等比数列前n项和公式的应用.【教学难点】等比数列前n项和公式的推导和灵活运用.【教学方法】本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法．师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师在引导的同时，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入印度一国王与国际象棋发明家的故事：发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？教师讲故事，并提出问题.学生分组合作探究.学生用计算器依次算出各项的值，然后再求和.教师对他们的这种思路给予肯定.利用学生好奇心理，让学生去经历知识的形成与发展过程，便于调动学生学习本节课的积极性.新课1.求数列1,2,4,…,262,263的各项和数列1,2,4,…，262,263是以1为首项，2为公比的等比数列，前面的问题应归结为求这个数列前64项的和，可表示为S64=1+2+4+8+…+262+263. ①师：数列1,2,4,…，262,263是个什么数列？有何特征？前面的问题应归结为什么数学问题呢？学生思考回答.师：让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧.师：观察①式中的各项有何联系？学生会发现，后一项都是前一项的2倍.教学中，繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望，为后面的教学埋下伏笔.

新课2S64=2+4+8+…+263+264. ②①一②，得到S64―2S64=-264.即(1-2)S64=1-264.1—264S64=1-2.2.等比数列的前n项和公式.当qW1时，S=弟3;n 1—q当q=1时，Sn=na1.等比数列的前n项和公式，包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个.例1求等比数列1,1,1,…的前2 4 88项的和.1…… 1 4 1解因为a1=2,q=1=2,n=8,22[1-(2闷 255所以S8= 1 =256.1-2师：如果我们把每一项都乘公比2,得到②式，请观察各项发生了什么变化？与①式有什么联系？学生发现，除最后一项外，每一项都变成了①的后一项.教师继续引导学生比较、探究：①、②两式有许多相同的项，用什么办法可以把相同的项消掉？学生会想到把两式相减，消去相同的项.教师板书推导过程，得出求和公式.教师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程后反思：为什么①式两边要同乘2呢？教师顺势引导学生将结论一般化.等比数列的前n项和公式要分qW1与q=1时两种情况讨论.请学生说出公式中包含的变量：a],q,n,Sn.学生独立思考，自主解题.师生共同总结解法.教师订正评价.留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减，培养学生的辩证思维能力.让学生在化繁为简的过程中，充分感受到数学的简洁性.培养学生分类讨论的意识.在教师的引导下，让学生从特殊到一般，完成公式的探究.通过对例题的解答，强化对公式的掌握.

新课练习根据下列各组条件，求相应的等比数列｛。"的年ai=3，q=2,n=6；a1=8，q=2，n=5.例2等比数列｛an｝的公比q=—3,前4项的和9,求这个等比数列的首项.解根据等比数列前n项和公式及已知条件可得5”1一(-3)4]9= 1 ，一(一子解得a