等差数列前n项和教学设计教案

等差数列前n项和一、教材分析“等差数列的前n项和”是人教版高中数学必修五第二章的内容，这是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题。它是在学生们学习了等差数列的定义与性质之后学习的.这节内容既是对“等差数列”的知识的运用与巩固，也为后面继续数列的学习奠定了基础。二、学情分析学生们已经灵活掌握了函数、数列等相关知识，能够运用知识解决基本问题，并且在初中阶段已经学会了特殊的数列求和。三、教学目标知识与技能：探索并掌握等差数列的前n项和公式，并能简单运用。过程与方法：在公式推导过程中，体验倒序相加的方法；体会从特殊到一般的认知规律与分类讨论的数学思想方法。情感与态度：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，培养学生求真的态度，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。四、教学重点、难点教学重点：等差数列前n项和公式的推导及运用，强调数列是一种特殊的函数模型。教学难点：倒序相加法；建立等差数列的模型并能解决实际问题。五、教学过程教学步骤教师活动学生活动设计意图复习旧知教师提问：同学们，我们来复习前几次课学过的关于等差数列的知识。我给大家提3个问题：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的基本性质。接着，教师点学生进行回答。学生甲：等差数列的定义是如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。学生乙：等差数列的通项公式：a=a+(n-1)d。n 1学生丙：等差数列的基本性质当m+n=p+q时，有：a+a=a+a.m n p q通过让学生复习旧知，勾起学生对等差数列基本知识的回忆，为后面等差数列前n项和找到知识生长点，同时平稳地过渡到下一环节。

引入新课教师介绍：高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。如果要同学们来算，你能用简单的方法将它的值算出来吗？它的算法能够进行推广吗？学生作答：1+100=2+99==50+51，所以1+2+3+…+100二[(1+100)+(2+99)…+(50+51)]=101*50=5050.高斯的这个故事相信学生已经非常熟悉，能顺利解答，也让学生对接下来的探索有了信心。探究发现I教师：我们刚才算的都是具体的数据，那么，同学们看看这个又该怎么进行解答呢？1+2+・・・+n=？（为了方便，我们把1+2+…+n记为Sn）同学：和据的例子奇偶来讨当n为偶二…二n+2当n为奇Sn=Q+fn+1-1L2=（L+n）--所以Sn的W据刚限，可t论。擞时fn)-+1L2J于数时n)+(2n++——2n—1才的以想,14，S]+n—1+1、n+1两道具体数到将n分成-n=2+(n-1)n=nG+n)；21)+…++四2n(n+1)让同学们用分奇偶的方法来求解此题，接着很自然地让同学们进行思考：看看有没有新的更简单的方法。引导同学们经历探索发现的这个过程，体验数学中的“柳暗花明又一村”的快感与喜悦。2+2 21值与n的奇偶性没有关系.教师：同学们有没有觉得分奇偶有点麻烦，我们可不可以找个简单的方法，让

我们在运算的时候不用分奇偶?同学们在刚才的过程中有没有找到一点灵感呢？同学：……n n（n+1）Sn- 2 ，两边同时乘2,得至U老师通过对2Sn-n(n+1)同学们推导出来的公式=(n+1)+(n+1)+ +(n+1)进行加工，很顺其自然—(n+1)+(n—1+2)+•…+G+n)的得到一种更好更新的—In+(n—1)+(n—2)+…+1-+G+2+•…+n)方法，使同学们更加易于接受这个这样，Sn我们就可以写成这两方法，更能个形式的整数和相加，得到了理解这个方一个很简便的方法。法的本质与这个很棒的方法叫做内涵。倒序相加法，顾名思义，将式子的顺序倒过来，再相加一次。教师：既然我们刚才学同学：顺势采用上习了倒序相加法，并且它对这种求和形式很有效果。那Sn=a+a-1 2卜・・・a+an—1 n①面讲过的倒序相加法，么，我们来看看这个等差数歹列：Sn=a+a+.n n—1・・a+a2 1②充分体现新课程标准中探究a+a+・..+a=？1 2 n设等差数列的前n项和为①+②，2Sn=nx(a1+a)n“以学生为主导”的理念。同时留发现Sn。同学们在下面自己进行因此，Sn-(a+a)xn下课后作业，让同学推导吧，我看看谁推的又快—1 n 2II又好。们掌握这两种方法，灵活选取合适的方法。教师：这里，我们成功地把

等差数列的前n项和公式推导出来，这也是我们本节课的主要内容。在这个公式里，我们用a和a表示Sn，1 n那么，我们试着用a1和d表示它，得到的式子会是什么呢？同学们接着算算。老师在这里给大家留个小作业：请大家将这个一般形式的推导过程用分奇偶的方法进行推导，看看是否和我们用倒叙相加的方法推导出来的结果是一样的。同学：将通项公式a=a+(n—1)d带入得到的求n 1〒八% (a+a)xn和公式Sn=-1 n ,2便可得出：n(n-1),Sn=na+ d1 2同学们将通项公式带入等差数列前n项和的公式，得到其的另外一个表达式，让同学们自己运算得出结果，使学生印象深刻，知道新的公式的具体来历。应用举例I教师：既然关于等差数列前n项和的理论知识我们已经学习完毕，那么我们看看它在我们生活中有哪些应用吧。2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？学生：解答：根据题意，从2001~2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{a},表示从2001年n起各年投入的资金，其中，a1=500,d=50.那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为s=1010X500+10x（10-DX50=7250（万2元）.答：从2001年~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。给出一个等差数列求和在生活中简单的应用，让学生熟练公式应用公式并且规范解题步骤。教师：已知一个等差数列{a}前10项和是310,n

应用举例二前20项和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？老师要强调数列是一种特殊的函数模型：从函数观点来看，数列就是定义域为N*所对应的一系列的函数值，从而数列的通项公式是相应函数的解析式。当然，数列的前n项和的公式也是一种特殊的函数。(先让学生自己进行思考，在适当必要的时候进行一定的提示：等差数列的前n项和公式：(a+a)xnSn=-1 n 2n(n-1),=na+ di 2确定前n项和的公式，我们要不就找a和a，要不就找1 na1和d。两个未知数需要两个方程来求解。但是由于n的不同，a也会不同，这样n用第一个式子的话，就会出现3个未知数，利用a=a+10d可以转化成两20 10个未知数，和直接利用第二个式子是一样的，所以为了简便，我们直接采用第二个式子进行计算。)解答：由题意知s=310，10s=1220，将它们带入公式20n(n-1), ,日…Sn=na+ d，得至|1 2J10a1+45d=310,|20a+190d=1220.i1解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4,d=6,所以Sn=4n+ x6-3n2+n.2给出等差数列求和公式的变式应用，加深学生对求和公式的理解与记忆，同时让学生深刻体会数列是一种特殊的函数模型的思想。本节课我们探索了等差数列前n项和公式的推导过程，掌握了等差数列2个

课堂小结求前n项和的公式，(a+a)xnSn= 1 n ,2n(n-1)7 ._Sn=na+ d；在推i 2导过程中了解并掌握了一个全新的方法一倒序相加法(教师可让学生解释具体操作步骤)；并对等差数列的前n项和公式进行了应用。这次课我们是进行的等差数列前n项和的简单应用，下次课我们会进行一些更有趣的变式练习。同学们可以自己先想想P44的思考题，下节课我们再从例子中找到正确答案.学生对倒序