等差数列与等比数列的证明方法_第1页
等差数列与等比数列的证明方法_第2页
等差数列与等比数列的证明方法_第3页
等差数列与等比数列的证明方法_第4页
等差数列与等比数列的证明方法_第5页
已阅读5页,还剩3页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一.判断或证明等差数列的方法定义法:等差中项法:2az皿物2通项公式法:/如岫(一次函敷.其中立手于公遂)前盘项和公式法:&=4界上+召府C殳有常数项的二次函数,其中有等于公差一半)二、判断或证明等差.等比数列的方法定义法:子=1⑷。。)等比中项法:巴;_[=4'4+工且4手。通项公式法:an=afqR(£^q") 前”项和公式法:&=A/-A®才T)一、定义法10。证明数列是等差数列的充要条件的方法:一、定义法10。证明数列是等差数列的充要条件的方法:a-an+1 ,a2n+2a3n+3=d(常数)o{a}是等差数列n n—a2 2n-a3n=d(常数)={a2}是等差数列=d(常数)。{at是等差数列3n20.证明数列是等差数列的充分条件的方法:a-a=d(n>2)n{a}是等差数列TOC\o"1-5"\h\zn n—1 na-a=a-a(n>2)n{a}是等差数列n+1 nn n-1 n3o。证明数列是等比数列的充要条件的方法:a+1=q(q中0且为常数, 中0)={a}为等比数列\o"CurrentDocument"a nna

n—aa

n—an-1=q(n>2,q为常数且=0)n{a}为等比数列注意事项:用定义法时常采用的两个式子a-a=d和a-a=d有差别,前者必须加上nn-1 n+1n••=q(常数丰0);@“n三2〃,否则n=1时a无意义,等比中一样有:n三2••=q(常数丰0);@n-1

〃£N*日寸,有二…二q(常数中0).an例1。设数列a,a,…,a,…中的每一项都不为0。1 2 n证明:{a}为等差数列的充分必要条件是:对任何neN,都有n1-+ aann+aann+1aa1n+12 23证明:先证必要性设{a}为等差数列,公差为d,n当d=0时,显然命题成立当d#0时,aann+1a2a3十■■」L」idlal'J[an+l-ai如+七4一%ildalan-i-L1^alan+l再证充分性:+•••+,a•a•an n+1a•a1n+1②-①得:n+1②-①得:n+1a•an n+1+ = a•aa•an+1 n+2 1n+2a•aa•an+1n+2_n+1a•a1n+2a•a1n+1-nan-nan+1 n+2即:a—a=a-an+2n+1n+1n{a}为等差数列n两边同以anan+1a1得:a「(n+1)a同理:a=na-(n-1)a1n n+1③一④得:2na=n(a+a)n+1 n n+2例2。设数列{a}的前n项和为S,试证{a}为等差数列的充要条件是(neN*)。c n((neN*)。TOC\o"1-5"\h\zS= 1 n—n2证:n)若{a}为等差数列,则n\o"CurrentDocument"a+a=a+a=a+a= ,1n2 n-1 3n一2故2S=(a+a)+(a+a)+ + (a+a)\o"CurrentDocument"n1n 2 n-2 n1n(a+a)S= 1 n—n2(n-1)(a+a)「 n(a+a)(u)当n三2时,由题设,S= 1 1,S= 1 一n-1 2 n 2所以a=Sn-Sn-1n(a+a)(n-1)(a+a同理有an+1(n+1)(a+a) n(a+a)―1 n+12从而a-an+1(n+1)(a+a) 1 n+1——n(a+a)+2 1n(n-1)(a+a)-42整理得:an+1—an=an—an.1,对任意n^2成立.从而{an}是等差数列.是其前n项的和则S,S-S,S-S是其前n项的和则S,S-S,S-S,…,k2kk3k2kn仍成等比数列。证明一:(1)当q=1时,结论显然成立;(2)当q力1时,Ska(1-qk)——,s1-q2ka(1-q2k)11-q-'S3ka(1-q3k)1 1-q-S2k kaG-q2k)1 S-S3k2k1-qa(1-q3k)- -1-qa(1-qk)1 1-qa(1-q2k 1-qaqk(1-qk)1 1-q) aq2k(1-qk)1a2q2k(1-qk)2・•・(S -S)2= S-(S -S)=2kk(1-q)2 k3k2k1-qa(1-qk)1-qaq2k(1-qk)1-qa2q2kG-qk)21(1-q)2.・.(s-s>=s.(S_s)2kkk3k2k:.s,s—s,s-s成等比数列。k2kk3k2kTOC\o"1-5"\h\z证明二:S—S—{a+a+a)—(i+4+4+•••[)2左 左1 2 3 2k 12 3 k=a+a+a —a=qk(a+a+aH—a)=qkSwOk+lk+2 k+3 2k 12 3 k k同理,S—S=a+a+a +…4=q2kswO3k2k2k+l 2左+2 2k+3 3k k:.S,S-S,5—S成等比数列。k2kk3k2k练习:L已知S„是数列也}的前n项和,且满足:眄=2,S„+1+25Al=3Sn >2)求证:数列{4—M是等比数列;2)设数列{bn\满足10三耙=匕9g:—片*—八,求教列色}的前同项和斗.二、中项法(1)。(充要条件)若2a-a+ao{a}是等差数列TOC\o"1-5"\h\z外 n+1 n n+2 n(注:三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2b-a+c)(充分条件)a-a+a(n>2)n{a}是等差数列,nn+1n—1 n(2)。(充要条件)若aa-a2(a丰0)。{a}是等比数列nn+2n+1n n(充分条件)叱-an+1,an—1(nN1)n{a}是等比数列,n注:b-、a且(a•c>0)n是a、b、c等比数列的充分不必要条件b=t\lacn是a、b、c等比数列的必要不充分条件。b-±、/ocX(a•c>0)o是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac〉0,则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法1。通项公式法(1).若数列通项a能表示成a=an+b(a,b为常数)的形式,nn则数列{a}是等差数列.(充要条件)n(2)。若通项a能表示成a二cqn(c,q均为不为0的常数,neN)的形式,

nn +则数列{a}是等比数列.(充要条件)n2。前n项和法.若数列{a}的前n项和S能表示成S=an2+bn(a,b为常数)的形式,n nn则数列{a}是等差数列;(充要条件)n.若S能表示成S二Aqn-A(A,q均为不等于0的常数且qW1)的形式,nn则数列{a}是公比不为1的等比数列.(充要条件)n四、归纳—猜想—-—数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项,观察数据特点,猜想、归纳出通项公式,再用数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“n=k时命题成立”到“n=k+1时命题成立"要会过渡.五、反证法解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列{an}是公比为q的等比数列(1)数列{a}{九a}(九为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;nn(2)若{b}是公比为qf的等比数列,则数列{a・b}是公比为qq的等比数列;n nn(3)数列[11是公比为1的等比数列;,a.qn(4){|an}是公比为q的等比数列;(5)在数列{a}中,每隔k(keN*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列n且公比为qk+1;(6)若m,n,p(m,n,peN*)成等差数列时,a,a,a成等比数列;mnp(7)S,S-S,S-S均不为零时,则S,S-S,S-S成等比数列;n2nn3n2n n2nn3n2n(8)若{loga}是一个等差数列,则正项数列{〃}是一个等比数列.bn n若数列{〃J是公差为d等差数列,则(1){总+5}成等差数列,公差为kd(其中左wO,k,〃是实常数);n(2){S—S},(keN,左为常数),仍成等差数歹U,其公差为42d;(〃+1)左kn(3)若{〃},{5}都是等差数列,公差分别的d,则{“±8}是等差数列,公差为土d;nn 12 nn 1 2(4)当数列{〃}是各项均为正数的等比数列时,数列{lg“}是公差为lgq的等差数列;n n(5)m,n,p(m,n,peN*)成等差数列时,a,a,a成等差数列.mnp例1.己知函数底巧=/二数列也掰通项的;=f(x):1)(n>2,n^N^A-I-3确定.0)求证:;:是等差数列⑵当%=1时,求%Q.例立已知数列也祁J前71期和为3=:(询—1)碧eN*.⑴求4⑵求L-:数列网}是等比数列作业L已知数列{4}是苜项为4=1公比9=;的等比数列,々+2=31og14Qe界学),数列{*}满足£=%也.CD求证:{〃}是等差数列:2,数列{%卜茵足%=2%=%+6%+&也七N),设£=log式

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论