等差数列与等比数列例题和知识点梳理

#等差数列及其前n项和 等比数列及其前n项和等差数列及其前n项和■知识梳理.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示..等差数列的通项公式如果等差数列｛/｝的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是a,=%+(n—1)d..等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项..等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n—m)d(n,m£N*).(2)若｛an｝为等差数列，且k+1=m+n(k,l,m,n£N*),贝|a；fa,产a出+a於.(3)若｛an｝是等差数列，公差为d则｛a2n｝也是等差数列，公差为2d.(4)若｛an｝,｛bn｝是等差数列，则Qan十夕bn｝也是等差数列.(5)若｛an｝是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,a&2m，…(k,m£N*)是公差为md_的等差数列.⑹数列Sm，S2m—Sm,S3m-S2m,…构成等差数歹九(7)若｛an｝是等差数列，则］S｝也是等差数列，其首项与｛an｝的首项相同，公差为2d..等差数列的前n项和公式设等差数列｛an｝的公差为d,其前n项和Sn=na25或sn=nai+nln—Dd..等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=2n2+(。1—2)n.数歹|J｛an｝是等差数列台Sn=An2+Bn(A,B为常数).

.等差数列的前n项和的最值在等差数列｛an｝中，4>0，d<0，则Sn存在最大值；若％<0，介0,则Sn存在最小值.【概念方法微思考】.“a，A,b是等差数列"是“A="b”的什么条件？提示充要条件..等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定.当公差d=0时，Sn=n4,不是关于n的二次函数.「基础自测题组一思考辨析.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.TOC\o"1-5"\h\z( )(2)等差数列｛an｝的单调性是由公差d决定的.( )(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )(4)数列也an｝为等差数列的充要条件是对任意n£N*,都有2an+1=an+an+2.( )题组二教材改编.设数歹也an｝是等差数列，其前n项和为Sn，若a6=2且S5=30,则S8等于()A.31B.32C.33D.34.在等差数列|J{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=,4.一个等差数列的首项为254.一个等差数列的首项为25从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是( )3B3B.d<百A.d>7583C-75<83C-75<d25D-75<d<255.(多选)设｛an｝是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是( )A.d<0 B.a7=0C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值

.若等差数歹也4｝满足为+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=—时，｛an｝的前n项和最大..一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过 秒落到地面．题型突破 典题深度剖析重点齐堆探究自主演练等差数列基本量的运算TOC\o"1-5"\h\z（2018・全国I）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若3s3=S2+S4,a1=2,则a5等于（ ）A.－12 B.－10C.10 D.12（2019・全国I）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和.已知S4=0,%=5,则（）A.a=2n－5 B.a=3n－10nnC.S=2n2—8n D.S=1n2—2nn n2（2019•江苏）已知数列以an｝（n£N*）是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.（2019・全国0）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和.若a1W0,a2=3a1,题型二师生共研等差数列的判定与证明题型二师生共研等差数列的判定与证明12例1（2020・日照模拟）已知数列{an},{bn}满足a1=1,an+1=1—访，bn=27—T其中nGN*.n an求证：数列｛4｝是等差数列，并求出数列｛。附｝的通项公式.跟踪训练1在数歹也4｝中，4=2,an是1与aan+1的等差中项.「1〕(1)求证：数歹"a■二力是等差数列，并求｛an｝的通项公式；、n，…，一11〕一一(2)求数列“na1的前n项和Sn.、n，题型三「、…等差数列性质的应用题型三「、…等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(2019•江西师范大学附属中学模拟)已知数列｛an｝为等差数列|J,Sn为其前n项和，2+a5=a=a6＋a3,A．2B．则S7等于()7C．14D．28命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(2020•漳州质检)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于( )A．35B．42C．49D．63(2)已知S是等差数列｛a｝的前n项和，若a=-2018,S流一S泮=6,则邑。,。=n n 1 20192013 2020跟踪训练2(1)已知等差数歹也an｝、等差数歹也bn｝的前n项和分别为Sn,Tn,若苧=n^2,nn则齐的值是()a13b13c11d11A.16B-14C.16D.15若S13>0,S14<0,则Sn若S13>0,S14<0,则Sn取最大值时nA．6B．7C．8D．13课时精练V基础保分练.在等差数歹|J｛an｝中，a1=2,a5=3a3，则a3等于（ ）A．－2B．0C．3D．6.（2019•晋城模拟）记等差数列｛an｝的前n项和为Sn若a6=16,S5=35,则｛an｝的公差为（）A．3B．2C．－2D．－3.在等差数列｛an｝中，已知a1011=1,则该数列前2021项的和S2021等于（）A.2020B.2021C.4040D.4042.已知数列也an｝是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8,给出下列结论：①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S20=0.其中一定正确的结论是（ ）A.①②B.①③④C.①③D.①②④5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为（ ）

A．65B．176C．183D．184.（2019•宁夏银川一中月考）在等差数歹也。附｝中，若?<—1,且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是（）A.15B.16C.17D.14.（多选）已知数歹也an｝是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn,满足4+5%=S8,下列选项正确的有（ ）A.a10=0 B.S10最小C.S7=S12 D.S20=0.（多选）设Sn是数列｛an｝的前n项和，且4=—1,an+1=SSn+1,则（A.A.a=--n 2n－1B.a=B.a=<

n:，n三2,n£N*nC.一J1〕 数列｛不卜为等差数列D.S+S+…+s-=-5050.（2019・全国O）记Sn为等差数列｛an｝的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.S 3n1a.等差数列也an｝,｛bn｝的前n项和分别为Sn,Tn,且京=2■工3,则%=.nn nn Tn2n＋3 b1011.已知数列｛11.已知数列｛an｝满足(an+1—1)(an-1)=3(an-an+J,。1=2,令b1>= 7.nan-1（1）证明：数歹也bn｝是等差数列lj；（2）求数列｛an｝的通项公式..已知等差数歹也。附｝的公差办0,设｛。附｝的前n项和为Sn，a1=1,S2S33=36.⑴求d及Sn；(2)求m,k(m,kENO的值，使得am+am+1+am+2+…+%+上=65.V技能提升练.(2020・大连模拟)已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，bn=2a且b1+b3=17,b2+b4=68,则S10等于()A.90B.100C.110D.120.已知数列也an｝与］胃均为等差数列U(nEN*),且a1=2,则a20=.寸拓展冲剌练.(2020•黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x2+歹2=4,在这两个实数x,歹之间插入三个实数,使这五个数构成等差数歹,那么这个等差数歹后三项和的最大值为( )A.2寸宜B1国C.\；!0D.3.JT016.记m=da+4册+…+在"，若｛dn｝是等差数列ij,则称m为数列也a｝的“d等差均值”；n n nn若｛dn｝是等比数列，则称m为数列也an｝的“dn等比均值”.已知数列也an｝的“2n-1等差均值”为2,数列也bn｝的“3n-1等比均值”为3.记cn=2+klog3bn,数列U｛cn｝的前n项和为Sn,n若对任意的正整数n都有SnWS6,求实数k的取值范围.等比数列及其前n项和■知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为十=q(n£N*，q为非零常数)•n(2)等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项=a,G,b成等比数列=G2=ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an=4中t.(2)前n项和公式：na"q=1),S=1na[1—qn)a1一aqi^rS=1n3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am-qn-m(n,m£N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k£N*),贝°am-an=%•〃0=线.「1〕 「a〕(3)若数列U{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{丸an},{了卜{a2},{an-bn},「a}(丸W0)仍然InJ In，是等比数列．(4)在等比数列也an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk.4.在等比数列也an}中，若Sn为其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列U(n为偶数且q=-1除外).［概念方法微思考】1．将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗？若是,这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数．

2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3.“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列，比如a=0,b=0,c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.r基础自测题组一思考辨析.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）TOC\o"1-5"\h\z（1）满足an+1=qan（n£N*,q为常数）的数列也an｝为等比数列.（ ）（2）如果数列也an｝为等比数列，则数歹U｛lnan｝是等差数列.（ ）（3）数列也an｝的通项公式是an=an，则其前n项和为Sn=a（二.（ ）（4）数列｛an｝为等比数列，则S4,S8—S4,S12—S8成等比数列.（ ）题组二教材改编.已知｛an｝是等比数列，a2=2,a5=1,则公比q=..公比不为1的等比数列也an｝满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为（）A.8B.9C.10D.11题组三易错自纠也InC.{an＋an＋也InC.{an＋an＋1}B.log2an2D.{an＋an＋1＋an＋2}5.若1,a1,a2,4成等差数列，1,b1,b2,b3,4成等比数列，则—2的值为b5..设Sn为等比数歹也an｝的前n项和，8a2+a5=0,则g=..一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB,然后每3秒自身复制一次，复

制后所占内存是原来的2倍，那么开机秒，该病毒占据内存8GB.（1GB=2i0MB）题型一题型突破 典题深度剖析重点多维探究题型一自主演练等比数列基本量的运算（2020•晋城模拟）设正项等比数歹也aj的前n项和为Sn，若S2=3,S4=15,则公比q等于（ ）A.5B.4C.3D.2（2019•全国0）已知各项均为正数的等比数列｛an｝的前4项和为15,且a5=3%+44,则%等于（）A.16B.8C.4D.23（2019・全国I）记Sn为等比数列｛a/的前n项和，若％=1,S3=4，则S4=.（2018・全国ni）等比数列ij｛an｝中,a1=1,a5=4a3.⑴求｛an｝的通项公式；（2）记Sn为｛an｝的前n项和，若Sm=63,求m.题型二师生共研等比数列的判定与证明

题型二师生共研等比数列的判定与证明例1(2019•四川省名校联盟模拟)已知数列｛。附｝的前n项和为Sn，且满足2Sn=—an+n(n£N*).，、_ f 1］ (1)求证：数列［an—2］为等比数列；(2)求数歹也an—1｝的前n项和4跟踪训练1设数歹也an｝的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1—2an,证明：数歹也bn｝是等比数列；(2)求数列｛an｝的通项公式.题型三师生共研等比数列性质的应用题型三师生共研等比数列性质的应用例2(1)(2019•黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列｛an｝中，2a2019—a2020+2a2021=0，数列｛bn｝是等比数列，且b2020=a2020，则log2(b2019・b202J的值为()A．1B．2C．4D．8(2)(2020・长春质检)各项均为正数的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3= .跟踪训练2(1)(2019•安徽省江淮十校月考)已知等比数列｛an｝的公比q=—1，该数列前9项的乘积为1,则a1等于()A．8B．16C．32D．64(2)已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且S=8,则a—京=(n三2,且n").6 n n—1构造新数列I ■拓展视野■ I对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1形如an+1=can+d(cW0,其中a1=a)型(1)若c=1,数歹也an｝为等差数列；(2)若d=0,数列也an｝为等比数列；(3)若cW1且dW0,数列｛an｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.例1在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=3an+2,则通项an=.构造法2形如an+1=pan+q•pn+1(pW0,1,qW0)型an+1=pan+q•pn+1(pW0,1,qW0)的求解方法是两端同时除以pn+1,即得力^—p=q,则数列；p｝为等差数列.例2(1)已知正项数列｛an｝满足a1=4,an+1=2an+2n+1,则an等于( )A.n，2n-1 B.(n+1)2nCn.2n+1 D.(n-1)2n(2)(2019・武汉市二中月考)已知正项数列｛an｝中，a1=2,an+1=2an+3X5n，则数列｛an｝的通项an等于()A.-3X2n-1 B.3X2n-1C.5n+3X2n-1 D.5n-3X2n-1

构造法3相邻项的差为特殊数列（形如an+1=pan+qan_1,其中a1=a,a2=b型）可化为an+1—x1an=x2（an—x1an_1），其中x14是方程x2—px—q=0的两根.21例3数列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=3an+1+3an，求数列｛a/的通项公式.构造法4倒数为特殊数列（形如an=ra^+ss型）n－1求数列｛a求数列｛an｝的通项公式.例4已知数列｛an｝中，a1=1,an+1=7+2,n课时精练“基础保分练1.（2020・韶关模拟）若等比数列｛an｝的各项均为正数，a2=3,4a2=a1a7，则a5等于（）33A.tB.sC.12D.2448.等比数列｛an｝的前n项和为Sn=32n-1+r，则r的值为（1A.3B1A.3B.—3c.9D..（2019・天津市河西区月考）设｛an｝是公比为q的等比数列，则“q>1”是“｛an｝为递增数列”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.已知递增的等比数歹也4｝中，a2=6,a1+1,a2+2,a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于（）189A.93B.189C.斤了D.3785.（2020・永州模拟）设等比数列｛aj的公比为q，则下列结论正确的是（ ）A.数列｛anan+1｝是公比为q的等比数列B.数列｛an+an+1｝是公比为q的等比数列C.数列也an—an+1｝是公比为q的等比数列d.数列］:1是公比为1的等比数列aqn6.若正项等比数列也an｝满足aan「22n（n£N*）,则a6-a5的值是（）A.<2 B.-16<2C.2 D.16-；2.（多选）在等比数列也an｝中，a5=4,a7=16,则a6可以为（）A.8 B.12C.-8 D.-12.（多选）在等比数列也an｝中，公比为q,其前n项积为Tn,并且满足a1>1,a99^a100-1>0，a^VO,下列选项中，结论正确的是（）a100-1A.0VqV1a99-a101-1<0T100的值是Tn中最大的D.使Tn>1成立的最大自然数n等于198