第4篇：平面向量与斜坐标系

#斜坐标系向量的坐标表示微信公众号：逻辑数学教研组

斜坐标系向量的坐标表示微信公众号：逻辑数学教研组

如图1,以平面内两个夹角为90。的

单位向量i、j所在直线为x轴、y—U.f.轴建立直角坐标系xOy，取｛i,j｝作为基底，对于平面内任意一个向-量。，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得— — "sira=xi+yj这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a在基底i、j下的坐标，记作微信公众号：逻辑数学教研组《平面向量深度・系统讲义》第4篇：平面向量与斜坐标系为了方便读者朋友理解、记忆，第4篇平面向量与斜坐标系内容将直角坐标系及斜坐标系下的向量性质、直线方程若干性质以表格的形式对比呈现.直角坐标系如图」，以平面内任意两个不共线的向量OA、OB所在直线为x轴、y轴建立坐标系xOy，取｛OA,OB｝作为基底(OA、OB的夹角为9丰90。，O为坐标原点)，对于平面内任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得OP=xOA+yOB这样，平面内的任一向量OP都可由x,y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量OP在基底OA、OB下的坐标，记作OP=(x,y) ②其中x叫做OP在x轴上的坐标，y叫做OP在y轴上的坐标，②叫做OP的坐标

a=(^,y) ①其中X叫做a在X轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做a的坐标表示.表示、 微信公众号：逻辑数学教研组说明：如何建立斜坐标系？如何在斜坐标系下写向量坐标？是我们利用斜坐标系解题的“唯二”理论依据，另一个理论依据是我们课本上的平面向量的相关知识，毕竟斜坐标系解决的还是平面向量问题.在上述理论依据的基础上，本篇我们着重探究斜坐标系下三大向量问题，即：①向量的线性表示问题②向量的数量积问题③向量相关的最值问题.(其实这三大问题，在我们前三篇都有讲过，例如在向量相关的最值问题中我们讲过等和线定理，在向量的线性表示问题中我们讲过爪字模型等等，今天我们通过斜坐标系，为上述问题提供全新解法与全新思路)性质1特殊坐标在斜坐标系下：O(0,0),A(1,0),B(0,1)在斜坐标系下：0(0,0),A(1,0),B(0,1)证明：因为0=00A+0OB,0A=0A+0OB,0B=00A+OB所以由斜坐标系下的向量坐标表示定义知：0(0,0),A(1,0),B(0,1)性质2加减法&=X1i+y1j=(X1,y1)P=X2i+y2j=(X2，y2)&土P=(x1土x2)i+(y1土y2)j=(X1±X2,y1±y2)微信公众号：逻辑数学教研组&=x10A+y10B=(x1,y1)P=X20A+y20B=(x2,y2)&±P=(x1±x2)0A+(y1±y2)0B=(x1±X2,y1±y2)斜坐标系下的向量加减坐标运算与直角坐标系下一致.

性质3平行性&=(x1,y1),B=(x2,y2)dBoa=X厂oxi+yj=入xi+入yj1 1 2 2n1=y1^入oxy—xy=0xy 12 212 2微信公众号：逻辑数学教研组d=(x1,y1),p=(x2,y2)dpoa二九p『ox1OA+y1OB='x2OA+入y2OBn"=y1=入oxy—xy=0xy 12 212 2斜坐标系下的向量的平行判定与直角坐标系下一致.性质4数量积d=x1i+y1j=(x1,y1)B=x2i+y2j=(x2,y2)d-P=(x1i+y；j)•(x；i+y2j)-2 -2/ 、--=x1x2i+y1y2j+(x1y2+x2y1)i-j=x1x+丁1y2设IOA1=m,1OB1=nd=x1OA+y1OB=(x1,y1)p=x20A+y2OB=(x2,y2)a.P=(x1OA+y1OB).(x2OA+y2OB)=x1x2OA+y1y2OB+(x1y2+x2y1)OA-OB=xx-m2+yy-n212 12+(xy2+x2y)m•n•cosZAOB微信公众号：逻辑数学教研组斜坐标系下的向量的数量积与直角坐标系下差别较大，从我们化简的结果的形式出发，我们总结斜坐标系下数量积的运算规则：Step1.以OAO所在直线为x轴、y轴建立坐标系建立斜坐标系Step2.标记坐标A(m,0),B(0,n)，并以此为起点标记相关点坐标，从而写出向量坐标：d=(x',y')，-p=(x',y')1 1 2 2Step3.代入斜坐标系下的数量积公式：

&.P=x'•x'+yf-yf1 2 1 2+（x'-y'+x'-y'）-cosZAOB12 2 1性质5模长&=x1i+y1j=（x1,y1）|a|=^?2_jx2+y2微信公众号：逻辑数学精品课结合性质4斜坐标系下向量数量积公式，我们不难推出斜坐标系下向量模长公式：Step1.以OA、OB所在直线为x轴、y轴建立坐标系建立斜坐标系Step2.标记坐标A(m,0),B(0,n)，并以此为起点标记相关点坐标，从而写出向量坐标：&=（x',y'）1 1Step3.代入斜坐标系下的数量积公式：1&|=6微信公众号：逻辑数学教研组=Jx'2+y'2+2x'-y'-cosZAOB1 1 1 1斜坐标系下向量数量积公式和向量模长公式，理论描述比较复杂(主要目的是帮助大家理解)，实际操作比较简单——即以基底实际长度标点的坐标，具体操作见下文例题,分点2 2 21 1 132,y2),次羽y)，若已知P/yJ，PP=入pp则OP则OP=OP+OPWR1TVR2则OP=OP+OP1TX11TX2x+入xx=11+-2, （九丰-1）即y+人yy=—1——1+九

x+Xxx=11+X2坐标公式 1+, (Xw-1)y+Xy1y=-W即P=(X1+XX2,y1+Xy2)1+X 1+X微信公众号：逻辑数学教研组P=(X1+XX2,y1+Xy2)(1+X,1+X)证明：如图4,因为PP=XPP1 2即OP—OP1=l(OP2—~OP)，所以OP=1OP+OPT+X1TTX2所以(X,y)=('1，y1)：+2,y2)1+X所以P=心士2Hz2)1+X 1+X直线方程y1.两点式如图5,设直线l上的任意两点E(X1,y1),F(x2,y2)(X产X2,y产y2)则直线l的方程：X-X1 X1-X2我们把方程③定义为直线l在直角坐标系xOy下的方程（两点式）.y-y其中_j_2=k，我们称其为直X1-X21.两点式如图6,设直线l上的任意两点E(X1,y1),F(X2,y2)(X1wX2),设Q(X,y)为直线l上的任意一点，则OQ=xOA+yOB,易知OE=x1OA+y1OB,OF=x2OA+y2OB又OQ=XOE+(1-X)OF所以xOA+yOB=[XX1+(1-X)XJOA+Xy+(1-X)y化简得:化简得:线1在直角坐标系xOy下的斜率.2.截距式微信公众号：逻辑数学教研组y-yy-y 1=_J 2x-x1 x1-x2我们把方程④定义为直线1在斜坐标系J11(0,n)J11(0,n)jr * OiA E(m,0)■x图7特殊地，如图7,当E、F两点分别位于x轴y轴上，即E(m,0)、F(0,n)两点时(其中m、n分别称为直线1在x、y轴上的截距，m-n丰0).则代入上文两点式有：微信公众号：逻辑数学教研组x+)=1 ⑤mn我们把方程⑤定义为直线1在直角坐标系xOy下的方程(截距式).图8特殊地，如图8,当E、F两点分别位于xOy下的方程(两点式).y-y其中-—2=k，我们称其为直线1在斜x1-x2坐标系xOy下的斜率.2.截距式x轴y轴上，即E(m,0)、F(0,n)两点时(其中m、n分别称为直线1在x、y轴上的截距，m-n丰0).则代入上文两点式有：x+y=1 ⑤mn我们把方程⑤定义为直线1在斜坐标系xOy下的方程(截距式).性质7两直线平行，斜率相等两直线平行，斜率相等典型例题题型一向量的线性表示问题.如图所示,在平行四边形ABCD中，-AE=_1AB,AF=JAD,CE与BF相交于G点，记3 4AB=a,AD=b,则AG=

A.2 3A.B.CaC—bC._〃+—bD.—a+—b7 7 7 7 7 7解析：解法一写两遍解析：解法一写两遍因为AG=xAE+（1一x）AC,又AE=1AB=1a,AC=a+bTOC\o"1-5"\h\z， 3 3，1 八、，i、八2x所以AG=xx-a+（1一x）（a+b）=（1一一）a+（1一x）b①3同理AG=yAB+（1-y）AF,又AF=-AD=-b,,4所以AG=ya+（1-y）-b②4「1-2x=y 「x=6结合平面向量基本定理，由①②两式可得：］ 31-y，解得］ 31—x= ।y=1. 173 1所以AG=-a+-b.7 7如图，以向量AB、AD'所在直线为x轴、y轴建立坐标系xOy,取｛AB,AD｝作为基底…… 1八八1 3,r则B(1,0),D(0,1),E(丁0),F(0,),C(1,1)由两点式写出直线EC方程：/：y=-(x--)3 4 Ec2 3fx+4y=1 'x=由截距式写出直线fb方程：由截距式写出直线fb方程：IF」x+4y=1，联立尸3(x」)得j2 3I7于是AG=题型二向量的数量积问题.设四边形ABCD为平行四边形，IAB1=6,1AD1=4,若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM-NM=()A.20 B.15 C.9 D.6解法一：基底转化解法一：基底转化AM=AB+3BC=AB+3AD①,AN=AD+2DC=AD+2AB②4 4 ' 3 3所以NM=AM—AN,所以AM•NM=AM(AM'-AN)③将①②代入③式化简即得AM-NM=9解法二：斜坐标系解法二：斜坐标系如图，以向量AB、AD.所在直线为x轴、y轴建立坐标系xOy,由于这里需要计算数量积，所以我们在标点的坐标的时候，用题干中给定的实际数据标点的坐标，即：A(0,0),B(6,0),D(0,4),M(6,3),N(4,4)于是AM=(6,3),NM=(2,-1)，代入斜坐标系下向量数量积公式得:AM•NM=6x2+3x(-1)+[6x(-1)+3x2卜cos/DAB=9解法三：特殊化在学斜坐标系之前，我们还可以采取特殊化的方式来解这道题，即：由于题目中并未给定平行四边形的具体形状，我们不妨取一种特殊的且利于计算的情况，设/DAB=90。,建立直角坐标系求解剩余步骤大家可自行尝试.题型三向量相关的最值问题..如图，在扇形OAB中,ZAOB=60。,C为弧AB上的一个动点.若OC=xOA+yOB，则x+3y的取值范围是_.解析：解法一等和线定理如图，在OB上取一点D,使OB=3OD,设OC||AD=E,则有OC=xOA+yOB=xOA+3yOD，过点C作CFIAD交OB于F，由等和线定理得X+3y=OC=OF,易知当点C