统考版2025届高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合学生用书

其次节排列与组合·最新考纲·1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简洁的实际问题．·考向预料·考情分析：排列组合的综合问题仍是高考的重点，近几年难度降低，单独考查较少．学科素养：通过排列组合的应用考查数学建模的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端eq\a\vs4\al(一、必记2个学问点)1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据肯定的依次________组合合成一组[留意]区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与依次有关，假如与依次有关，则是排列；假如与依次无关，则是组合．2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部________的个数公式Ann!Cnmn（n－1）（n－2）…（n－m＋1)m！性质AnCnm＝Cnn-m，C二、必明2个常用结论正确理解组合数的性质1．Cnm＝2．Cnm＋Cnm-1＝Cn+1m：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种状况：①不含特别元素A有Cnm三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式Cnx＝(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只探讨被取出的元素也各不相同的状况．也就是说，假如某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()(二)教材改编2．[选修2－3·P27T7改编]学校要支配一场文艺晚会的11个节目的演出依次，除第1个节目和最终1个节目已确定外，还有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，3个舞蹈节目要求不能相邻，2个曲艺节目出场前后依次已定，共有________种不同排法．3．[选修2－3·P26学问改编]计算C73＋C74＋(三)易错易混4．(分类不清)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．5．(不会用间接法)现有6个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不同时相邻的排法有________种．(四)走进高考6．[2024·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者安排到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只安排到1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，则不同的安排方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一排列问题[基础性、应用性][例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必需站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．听课笔记：反思感悟1．求解排列应用题的主要方法干脆法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事务分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事务分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时留意捆绑元素的内部排列(如本例(3))插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中(如本例(4))间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)依据特别元素(位置)优先支配进行分步，即先支配特别元素或特别位置．(2)依据特别元素当选数量或特别位置由谁来占进行分类．【对点训练】1．[2024·甘肃兰州实战模拟]某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，假如对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A.C.A2．[2024·福建龙岩质检]若用1，2，3，4，5，6，7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性都不同的六位数，则这样的六位数共有________个(用数字作答)．考点二组合问题[基础性、应用性][例2]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．听课笔记：反思感悟两类含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必需非常重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用干脆法分类困难时，用间接法求解．【对点训练】1．[2024·昆明市“三诊一模”质量检测]小华在学校里学习了二十四节气歌，准备在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨6个春季节气中一共选出3个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出1个，则小华选取节气的不同方法种数是()A．90B．180C．220D．3602.[2024·广州市综合测试]如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源．在古代传闻中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数．若从4个阴数和5个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为()A．30B．40C．44D．70考点三排列、组合的综合应用[综合性、应用性][例3](1)2024年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了探讨这些初选名字的内涵，支配从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则全部不同的分析状况有()A.4704种B．2800种C．2688种D．3868种(2)一次表彰大会上，支配支配5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有________种．()A．36B．48C．72D．120听课笔记：反思感悟解排列、组合综合应用题的思路【对点训练】1．[2024·江苏南京市高三调研]将4名志愿者全部支配到某社区参与3项工作，每人参与1项，每项工作至少有1人参与，则不同的支配方式共有()A．24种B．36种C．60种D．72种2．现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有()A．10种B．14种C．20种D．28种微专题37排列组合中的分组安排问题思想方法分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不简洁得分，在解题过程中简洁掉入陷阱，本文结合一些典型问题谈谈如何避开掉进分组问题中的陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后安排．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应留意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．一、不等分组问题[例1]7人参与志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？(1)分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；(2)选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人．解析：(1)先从7人中选出1人，有C最后由剩下的4人为一组，有由分步乘法计数原理得分组方法共有C(2)可“选分同步”：先从7人中选出2人，有C有C也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有C7名师点评解决此类“完全非匀称分组”问题时，由于分组的不等分与组合数的相乘不产生冲突，不会出现重复计数的问题，因此只要分开就可以干脆达到完全非匀称分组的目的，无须考虑重复问题．[变式训练1]将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．二、整体均分问题[例2]国家教化部为了发展贫困地区教化，在全国重点师范高校免费培育教化专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培育的教化专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的安排方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42答案：90名师点评对于整体均分，解题时要留意分组后，不管它们的依次如何，都是一种状况，所以分组后肯定要除以Ann(n为均分的组数)，[变式训练2]将9名高校生志愿者支配在星期五、星期六、星期日3天参与社区公益活动，每天分别支配3人，每人参与一次，则不同的支配方案共有________种．(用数字作答)三、部分均分问题[例3]10个人参与义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有________种．(用数字作答)解析：由于分成2人、2人、2人、4人的四个组对应的种数分别为C的分组方案共有C答案：3150名师点评对于“部分匀称分组”问题，只需考虑由于部分匀称分组中的无序与组合数相乘中产生的依次而导致的重复问题，在部分匀称分组中，假如有m个分组的元素是匀称的，都有对应的全排列数Amm或m！种[变式训练3]4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有________种．其次节排列与组合积累必备学问一、1．排成一列2．不同排列不同组合n！1三、1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：先把4个音乐节目，2个曲艺节目，进行全排列A66，由于2个曲艺节目出场前后依次已定，故有12答案：756003．解析：原式＝C答案：2104．解析：分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有C答案：305．解析：假如6个人随意排有A66＝720(种)排法；其中甲，乙，丙排在一起的排法有A44答案：5766．解析：依据题设中的要求，每名志愿者只安排到1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，可分两步进行支配：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；其次步，将分好的4组支配答案：C提升关键实力考点一例1解析：(1)从7人中选5人排列，有A7(2)分两步完成，先选3人站前排，有A7(3)解法一(特别元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有解法二(特别位置优先法)首尾位置可支配另6人中的两人，有A6(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4(5)(插空法)先排女生，有A男生，有A对点训练1．解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站在前排并与中国领导人相邻，有A计数原理，共有A答案：D2．解析：分两步进行，第一步，先从1，3，5，7中选3个进行排列，有A43＝24种排法；其次步，将2，4，6这3个数插空排列，有答案：288考点二例2解析：(1)方法一至少有1名女生入选包括以下几种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C方法二“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有所以“至少有1名女生入选”的选法有C(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，故有C2(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C为对点训练1．解析：根据题意，选出的3个节气可以是2个冬2个春季节气，对应的方法种数都是答案：B2．解析：由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，若从这9个数中随机选取3个数，且选取的3个数之和为奇数，则这3个数可以为1个奇数和2个偶数或3个均为奇数，所以不同的选取方法有C答案：B考点三例3解析：(1)①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有C②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8个初选名字中选出3个，再进行排列，有C21③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有A84＝1680种∴不同的分析状况共有336＋2688＋1680＝4704种．解析：(2)先排高一年级学生，有A有②若高一学生中间无高三学生，有C答案：(1)A(2)B对点训练1．解析：先取2人为一组有C42种取法，