统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业40空间几何体的表面积和体积理

课时作业40空间几何体的表面积和体积[基础落实练]一、选择题1.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面绽开图，已知扇形所在圆的半径R＝eq\r(5)，扇形弧长l＝4π，则该圆锥的表面积为()A.2πB．(4＋2eq\r(5))πC．(3＋eq\r(5))πD．8π＋eq\r(5)2．[2024·杭州市教学质量检测]某几何体有三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)3．[2024·贵州高三测试]如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的eq\f(1,2)(中间连接的细管长度忽视不计).当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为()A．4eq\r(5)πB．8eq\r(5)πC．32eq\r(17)πD．16eq\r(17)π4．[2024·北京昌平区检测]《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有()A.21斛B．34斛C．55斛D．63斛5．[2024·沂水县第一中学高三模拟]阿基米德是古希腊宏大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的状况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球(与圆柱的两底面及侧面都相切的球)的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)6．[2024·普宁市其次中学检测]三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝30°，△APC的面积为3，则三棱锥P­ABC的外接球体积的最小值为()A．eq\f(32\r(3)π,3)B．eq\f(4\r(3)π,3)C．8eq\r(6)πD．32eq\r(6)π7．[2024·四川雅安市测试]在四面体ABCD中，已知平面ABD⊥平面ABC，且AB＝AD＝DB＝AC＝CB＝4，其外接球表面积为()A．eq\f(40,3)πB．eq\f(80,3)πC．16πD．20π二、填空题8．设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B、C)，若BC＝4eq\r(3)，三棱锥A­PBC的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为________．9．[2024·贵州省思南中学高三月考]我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形态是一种上大下小的正四棱台(两个底面都是正方形的四棱台)，假如一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为________平方分米．10．如图是一个以ABE为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为CDF，已知AD＝4，BC＝AE＝BE＝2，EF＝3且∠AEB＝90°，则所得的几何体的体积为________．[素养提升练]11．[2024·河南省高考适应性测试]棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内随意运动，则其不能到达的空间的体积为()A．32－eq\f(22,3)πB．48－12πC．28－eq\f(4,3)πC．20－eq\f(13,3)π12．[2024·长春市高三质量监测]“中国天眼”是我国具有自主学问产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图)，已知“中国天眼”的形态为冠(球冠是球面被平面所截面剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高)，设球冠底面圆的半径为r，球冠的高为h，则球的半径R＝________．13.[2024·云南曲靖一中高三模拟]如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．已知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的体积为36π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为________．14．现须要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形态是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形态是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？15.如图所示，菱形ABCD的边长为2，将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD′⊥平面ACB，求此时空间四面体ABCD′体积的最大值．课时作业40空间几何体的表面积和体积1．解析：设圆锥底面圆半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，∴圆锥的表面积S表＝S底面圆＋S侧＝πr2＋eq\f(1,2)lR＝π×22＋eq\f(1,2)×4π×eq\r(5)＝（4＋2eq\r(5)）π.答案：B2．解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且其中一条侧棱垂直于底面，所以其体积V＝eq\f(1,3)×12×1＝eq\f(1,3).答案：B3．解析：细沙在上部容器时的体积V＝eq\f(1,3)×π×42×8＝eq\f(128π,3)，流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为h1，则eq\f(1,3)×π×82·h1＝eq\f(128π,3)，所以h1＝2，下部圆锥形沙堆的母线长l＝eq\r(82＋22)＝2eq\r(17)，故此沙堆的侧面积S侧＝π×8×2eq\r(17)＝16eq\r(17)π.答案：D4．解析：设圆锥的底面eq\f(1,4)圆的半径为r，则eq\f(π,2)r＝8，解得r＝eq\f(16,π)，故米堆的体积为eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×（eq\f(16,π)）2×5＝eq\f(320,3π)（立方尺）.∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴eq\f(320,3π)÷1.62≈21（斛）.答案：A5．解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则圆柱的表面积为S＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，球的表面积为S球＝4πR2.所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为eq\f(4πR2,6πR2)＝eq\f(2,3).答案：C6．解析：设AC＝x，因为△APC的面积为3，所以PA＝eq\f(6,x)，∠ABC＝30°，利用正弦定理得eq\f(AC,sin30°)＝2x＝2r，所以三角形ABC外接圆半径为r＝x，PA⊥平面ABC，所以球心O到平面ABC的距离为d＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(3,x)，设球O的半径为R，则R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(x2＋\f(9,x2))≥eq\r(2×3)＝eq\r(6)，当且仅当x＝eq\r(3)时，等号成立，故三棱锥P­ABC的外接球体积的最小值为eq\f(4,3)π（eq\r(6)）3＝8eq\r(6)π.答案：C7.解析：四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因AB＝AD＝DB＝AC＝CB＝4，则DE⊥AB，CE⊥AB，有AB⊥平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面ABD⊥平面ABC，则∠CED＝90°，而O1E＝O2E＝eq\f(1,3)CE＝eq\f(2\r(3),3)，O1A＝O1C＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(4\r(3),3)，即有四边形OO1EO2是正方形，则O1O＝O1E＝eq\f(2\r(3),3)，Rt△OO1A中，∠OO1A＝90°，则OA＝eq\r(OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(15),3)，所求外接球的表面积S＝4π·OA2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(15),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(80π,3).答案：B8.解析：设圆锥AO的外接球球心为M，则M在直线AO上，设球M的半径为r，则4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝（2eq\r(3)）2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.当AO＝6时，圆锥AO的体积为V＝eq\f(1,3)π×（2eq\r(3)）2×6＝24π；当AO＝2时，圆锥AO的体积为V＝eq\f(1,3)π×（2eq\r(3)）2×2＝8π.答案：24π或8π9．解析：由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为O1，下底面中心为O2，由棱台的性质可知：外接球的球心O落在线段O1O2上，设外接球的半径为R，|OO2|＝h，则|OO1|＝3－h，因为O1O2垂直于上下底面，所以|OO2|2＋|O2B|2＝R2即h2＋（eq\r(2)）2＝R2，所以|OO1|2＋|O1A|2＝R2即（3－h）2＋（2eq\r(2)）2＝R2，联立解得h＝eq\f(5,2)，R2＝eq\f(25,4)＋2＝eq\f(33,4)，所以该方斗的外接球的表面积为33π.答案：33π10．解析：如图，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE­DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE­DMN的体积减去四棱锥D­CMNF的体积．因为VABE­DMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×4＝8，VD­CMNF＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×2))×2＝2，所以几何体的体积为VABE­DMN－VD­CMNF＝8－2＝6.答案：611．解析：由题意知，小球球心活动的区域是棱长为2的正方体区域，小球在8个顶点处不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球，其体积为8－eq\f(4,3)π，小球在12条棱剩余部分不能到达空间相当于3个棱长为2的正方体分别挖去一个底面半径为1，高为2的圆柱，其体积为3×（8－2π）＝24－6π，所以小球不能到达的空间体积为8－eq\f(4,3)π＋24－6π＝32－eq\f(22,3)π.答案：A12.解析：依据题意，作出示意图如图，设O，O′分别为球心与底面圆的圆心，则O′O＝eq\r(R2－r2)，所以h＝R－eq\r(R2－r2)，得eq\r(R2－r2)＝R－h，所以R＝eq\f(h2＋r2,2h).答案：eq\f(h2＋r2,2h)13．解析：设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝36π，解得：R＝3.∵正四棱柱底面正方形外接圆半径r＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋a2)＝eq\f(\r(2),2)a，又R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(h,2)＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(9－\f(1,2)a2)，解得：h＝eq\r(36－2a2)，∴正四棱柱侧面积S＝4ah＝4aeq\r(36－2a2)＝eq\r(16a2（36－2a2）)，∵2a2（36－2a2）≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2＋36－2a2,2)))eq\s\up12(2)＝324（当且仅当2a2＝36－2a2，即a＝3时取等号），∴S≤eq\r(8×324)＝36eq\r(2)，即正四棱柱侧面积的最大值为36eq\r(2).答案：36eq\r(2)14．解析：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24（m3）；正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3），所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3），故仓库的容积是312m3.15．解析：取AC中点O，连接D′O（