辽宁省大连市滨城2025届高三数学上学期期中‖试卷含解析

Page22辽宁省大连市滨城2024届高三数学上学期期中（‖）考试试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，是虚数单位，若复数为纯虚数，则（）A.0 B.1或-1 C. D.1【答案】D【解析】【详解】为纯虚数，，即.故选：.2.已知集合，，，则C中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【详解】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C3.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【详解】充分性：当时，直线与即为：与，所以两直线平行.故充分性满意；必要性：直线与平行，则有：，解得：或.当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；当时，直线与即为：与，所以两直线平行，不重合；所以或.故必要性不满意.故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.故选：A4.已知函数若，则m的值为（）A. B.2 C.9 D.2或9【答案】C【解析】【详解】∵函数，，∴或，解得.故选：C.5.将函数的图象向右平移个单位长度，再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增【答案】D【解析】【详解】函数的图象向右平移个单位长度可得：，再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍，可得，对A，的最小正周期为，故A错误；对B，所以不是函数的对称轴，故B错误；对C，因为，所以，所函数是先减再增，故C错误；对D，因为，所以，所以在区间上单调递增，故D正确；故选：D.6.济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物爱护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处运用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若，，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】过作，设圆弧AC的圆心为O，半径为，则，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故选：A.7.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵D在线段BC上，且，∴，又为线段AD上一点，若与的面积相等，∴，为的中点，如图建立平面直角坐标系，则，∴，∴.故选：D.8.已知数列，，，，，，，，，，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为，则满意且的n的最小值为（）A.47 B.48 C.57 D.58【答案】C【解析】【详解】将数列分组为（），（，），（，，），（，，，），…，设满意的首次出现在第m组的第x个数的位置上，则，此时数列共有项数为，即得，解得由于，而，故，又,故符合条件的m,的最小值为11，则满意且的n的最小值为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设m，n是两条不同直线，是平面，m，n不在内，下列结论中正确的是（）．A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】ABC【解析】【详解】A选项，由于，所以存在直线且，由于，所以，所以，所以A选项正确.B选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B选项正确.C选项，若，，则存在，，由于，所以，所以C选项正确.D选项，若，，则可能与平行，D选项错误.故选：ABC10.下列不等关系中肯定成立的是（）A. B.C.， D.，【答案】ABC【解析】【详解】A.因为，所以，故正确B.因为在上递增，则，因为在上递减，则，所以，故正确；C.因为，所以，，故正确；D.当时，，故错误；故选：ABC11.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4 B.C.△NAB面积的最小值为6 D.若直线AB的斜率为，则【答案】ABD【解析】【详解】由题意知,设直线AB方程,，联立，可得，，故，则，故当时，的最小值为4，故A正确；又，即M点纵坐标为2m,故，当时，轴，NF在x轴上，此时;当时,，，故，综合可知，,故B正确；又点N到直线AB的距离为，故，当时，取最小值4，故C错误；若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，则，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正确，故选：ABD12.在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为线段，CD，CB上的动点（E，F，G均不与点C重合），则下列说法正确的是（）A.存在点E，F，G，使得平面EFGB.存在点E，F，G，使得C.当平面EFG时，三棱锥与C-EFG体积之和的最大值为D.记CE，CF，CG与平面EFG所成的角分别为，，，则【答案】ACD【解析】【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，对于A，因为平面，平面，所以，又因，所以平面，又平面，所以，当时，，此时，要使平面EFG，只需即可，，则，则，即，当时，，故存点E，F，G，使得平面EFG，故A正确；对于B，，则，要使，只须要即可，，，，则，故，因为，所以，所以，所以不存在点E，F，G，使得，故B错误；对于C，因为平面EFG，所以，，则，则，所以，要使最大，则，此时，所以体积之和的最大值为，故C正确；对于D，由B，，则，因为，所以到平面的距离满意，所以，所以，，，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则__________．【答案】【解析】【详解】.故答案为：14.已知，分别为双曲线的左､右焦点，点P在双曲线上，若，，则双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】【详解】不妨假设点P在双曲线右支上，则，由于，，故，故，而，故，故答案为：15.已知有序数对，满意，有序数对满意，定义，则D的最小值为__________．【答案】##【解析】【详解】对于有序数对，整理得，令，则对于有序数对，整理得，令，则，依据切线的性质，当取最小值时，必有，令，得到，代入，得，故点到直线的距离设为，即的最小值为，则所求的的最小值为故答案为：16.在高为2的直三棱柱中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.【答案】##【解析】【详解】因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，所以，所以，又因为AB⊥AC，所以设，所以.，因为，所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值，而，当且仅当“”时取等.当时，底面△ABC周长最小，所以，所以，所以此时△ABC周长的最小值：.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，设数列的前n项和，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为，，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，则，所以，①，②①②得．所以．又因为，所以是递增数列，所以，所以．18.在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范围．注：假如选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】选择条件①．∵，∴由正弦定理，得．∵，∴，∴，∴，即，∴．∵，∴，∴．选择条件②．由，得，∴．则由余弦定理，得．∵，∴．选择条件③．∵，∴，结合，得．由正弦定理，得，即．则由余弦定理，得．∵，∴．【小问2详解】∵，∴．∵为锐角三角形，且，∴，∴．又，∴，∴．由正弦定理，得，∴，∴，∴，即a的取值范围为．19.在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】证明：因为，，所以，则，所以，即，因为平面ABC∥平面，平面ABC⊥平面，所以平面平面，因为平面平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】解：如图，以为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，取x=1，则，又因为x轴⊥平面ABC，所以取平面ABC的法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）推断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？【答案】(1)(2)是等比数列，理由见解析.(3)至少经过6年，绿洲面积可超过60%．【解析】【详解】（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，两边取常用对数得：，所以，∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．21.已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）若，椭圆C上四点M，N，P，Q满意，，求直线MN的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：由题意可知，c=1，设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，得，解得（舍），，所以椭圆方程为.【小问2详解】设，，，，，因为，所以，即，又，都在椭圆上，所以，，即，②-①得，即……③，又，同理得……④④-③得，所以.22.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【详解】解：（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以．①当时，在区间上恒成立，所以函数的单调递增