辽宁省沈阳市2025届高三数学上学期第一次模拟测试题含解析

辽宁省沈阳市2024届高三数学上学期第一次模拟测试题一､单选题（共8小题，每题5分）1.设复数满意（其中为虚数单位），则下列结论正确的是A. B.的虚部为C. D.的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由，得，∴，的虚部为1，，的共轭复数为，故选D．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知平面对量，满意，，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据及相关公式可得，再依据投影向量的计算公式求解.【详解】，，所以所以在上的投影向量为，故选：B.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和（差）的余弦公式化简可得，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，即，即即，即，所以，所以.故选：B4.函数，且，若在内无零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先通过降幂公式及协助角公式得到，再求出，由或结合即可求解.【详解】，当时，，则或，解得或，又，当，令，得，故；当，令，得；综上.故选：D.5.，，是的内角，，所对的边，若，则（）A.1011 B.2024 C.2024 D.2024【答案】D【解析】【分析】由余弦定理得，再由三角恒等变换及正弦定理得即可求解.【详解】因为，由余弦定理得，，由正弦定理可得.故选：D.6.已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满意的关系式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，依据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，依据两点间斜率公式，即可列出方程求解.【详解】记得,记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，即化简得，故选：C7.已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出的图象，令，则先探讨的零点，依据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而依据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出的图象如图，令，则先探讨的零点.当，即时，不合题意；当，即时，易得或，此时当或时均不满意有6个零点，不合题意；故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.①当时，与均无零点，不合题意；②当时：1.若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；2.若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；综上可得或.又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.故故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，须要换元先分析二次函数的零点状况，数形结合推断零点所在的区间，进而得出零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.8.已知定义在上的函数满意为的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，由条件推断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；，因为当时，，所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；考虑到，由，得，即，由在上单调递增，得解得，所以不等式的解集为，故选：B.二､多选题（共4小题，每题5分，全部选对得5分，选错0分，部分选对2分）9.的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则此三角形为等腰三角形C.若，，，则解此三角形必有两解D.若是锐角三角形，则【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理可求A，然后可推断A；依据角的范围干脆求解可推断B；正弦定理干脆求解可推断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可推断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD10.下列选项中正确的是（）A.若平面对量，满意，则的最大值是5；B.在中，，，O是外心，则的值为4；C.函数的图象的对称中心坐标为D.已知P为内随意一点，若，则点P为的垂心；【答案】ABD【解析】【分析】利用数量积的运算律及性质计算推断A；利用三角形外心及数量积计算推断B；求出函数的对称中心推断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示推断D作答.【详解】对于A，因，则，当且仅当时取等号，A正确；对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，则，同理有,所以，B正确；对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；对于D，点P在内，由得：，即，有，由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.故选：ABD11.已知函数，下列结论成立的是（）A.函数在定义域内无极值B.函数在点处的切线方程为C.函数在定义域内有且仅有一个零点D.函数在定义域内有两个零点，，且【答案】ABD【解析】【分析】求出定义域与导函数可推断A；利用导数的几何意义可推断B；利用函数单调性以及零点存在性定理可推断C；依据选项C可推断D.【详解】A，函数定义域为，，在和上单调递增，则函数在定义域内无极值，故A正确；B，由，则，又，函数在点处的切线方程为即，故B正确；C，在上单调递增，又，，所以函数在存在，使，又，即，且，即为函数的一个零点，所以函数在定义域内有两个零点,故C错误.D，由选项C可得，所以，故D正确.故选：ABD12.已知函数，则（）A.函数在上单调递增B.C.函数最小正周期为D.对【答案】ABD【解析】【分析】依据二倍角正弦公式化简，求导，推断函数单调区间即可推断A,验证函数周期为可推断C，由单调性及周期可推断B，利用三角函数的最值及有界性可推断D.【详解】，,在上根为，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故A正确；又，故函数是周期为的函数，故C错误；所以，，故，故B正确；，故D正确.故选：ABD三､填空题（共4道题，每题5分，双填第一空2分，其次空3分）13.若，则的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】依据，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，解得或（舍去），当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是2.故答案为：2.14.已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.【答案】【解析】【分析】依据给定条件，推理论证出函数的周期，再利用周期性计算作答.【详解】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，则，即，，有，因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，所以.故答案为：15.已知函数图象上随意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由将问题转化为在上是增函数，求导后参变分别得，构造函数求出最值即可求解.【详解】假设存在实数m，使得函数的图象上随意不同的两点连线的斜率都大于m，即，不妨设，则问题可以转化为，∴在上是增函数，∴，即在上恒成立，设，由，得，，得.可知在上是减函数，在上是增函数．∴的最小值为.∴存在m，且.故答案为：.16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则___________；若为锐角三角形，则的取值范围是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式，即可求出，结合，即可得出答案；进而可知，分别探讨或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案.【详解】因为，所以，，，，由，则，即，代入，可得，则，且，解得.由，①当时，且，若是锐角三角形，则，所以，不成立；②当时，且，所以，代入上式，可得，若是锐角三角形，则，所以，即，且，又，所以.故答案为：；.四､解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分）17.在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若D为BC的中点，且的面积为，AB=2，求AD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC，再借助平面对量求解作答.【小问1详解】在中，由正弦定理得，因，则，即有，而，，因此，，而，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，而AB=2，则，解得，因D为BC的中点，则，于是得，解得，所以AD的长为.18.已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且．（1）求数列、的通项公式；（2）记，若数列的前项和为，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立方程组求首项和公差，求出数列通项公式；退位相减求出数列的通项公式；（2）对数列进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证.【小问1详解】由已知得，解得，所以，当时，，①，当时，，②，由①②得.【小问2详解】由（1）知，所以19.已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求：（1）求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；（2）若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.【答案】（1）；（）；（）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、协助角将化为，然后依据函数性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；（2）利用函数平移变换得，利用函数的性质得到进行求解.【小问1详解】，当选条件①时，，解得；当选条件②时，，明显条件②不合理；当选条件③时，，即，解得；综上所述，条件①③能确定函数解析式，且；令，得，所以函数的单调递增区间为（）；令，得，，所以函数的对称中心坐标为，；【小问2详解】将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，再向右平移单位，得到函数的图象，即；因为，所以，因为在区间上的最小值为，所以，解得.所以的最大值为.20.已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）当时，推断的零点个数并说明理由；（3）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，干脆求切线方程；（2）首先求导，并推断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数推断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分别的方法，求的取值范围.【详解】（1）当时，，，，切线方程为，即（2）当时，，易知在单调递增，且，存在唯一零点，且当时，单调递减，当时，单调递增.对两边取对数，得：无零点.（3）由题意得，，即，即，易知函数单调递增，，0单调递增极大值单调递减，令，则，令得，列表得，.【点睛】关键点点睛：本题第三问考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键利用不等式等价于，并且通过视察不等号两边的形式，构造函数，并推断单调性，依据单调性解不等式，这样问题迎刃而解.21.如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，．（1）求b边的长度；（2）求的面积；（3）设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可；（2）依据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再依据三角形面积公式求出面积即可；（3）首先设，，（），依据三点共线公式得到，再依据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以依据函数值域的求解方法解决取值范围即可．【小问1详解】由已知条件可知：在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得，又【小问2详解】设为BC边上中线则①或由①，得【小问3详解】设，，（），依据三点共线公式，得（，为∠BAC）【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，须要肯定的分析和解决问题的实力．22.已知函数.（1）函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围：（2）求证：当时，；（3）若有两个不同的零点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）在定义域内恒成立只须要在定义域内满意，对进行分类探