适用于新教材2025版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数课时规范练14函数模型及其应用北师大版

课时规范练14基础巩固组1.某商场对顾客实行购物实惠活动,规定一次购物付款总额:(1)假如不超过200元,则不赐予实惠;(2)假如超过200元但不超过500元,则按标价赐予9折实惠;(3)假如超过500元,其500元内的按第(2)条赐予实惠,超过500元的部分赐予7折实惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款()A.413.7元 B.513.7元 C.546.6元 D.548.7元答案:C解析:某人两次去购物,分别付款168元与423元,依据商场的实惠规定,168元的商品未实惠,而423元的商品是按九折实惠后的,则实际商品价格为423÷0.9=470(元),假如他一次性购买同样的商品,即总价格168+470=638(元)的商品时,应付款500×0.9+(638-500)×0.7=450+96.6=546.6(元),故选C.2.(2024·黑龙江哈尔滨高三检测)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激励教化,它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能,使成果在原来的基础上有不同程度的提高,特殊对于成果在中等偏下的学生来讲,其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师依据历年成果在中等偏下的学生经验“百日冲刺”之后的成果改变,构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位:天)增加总分数f(t)(单位:分)的函数模型:f(t)=kP1+lg(t+1),k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最终一次模考总分,且f(60)=16A.440分 B.460分 C.480分 D.500分答案:B解析:由题意得f(60)=kP1+lg61≈kP2.79,∴kP2.79≈16P,∴k≈2.796=0.4653.(2024·江西南昌高三检测)茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代探讨结果显示,饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃,68℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).依据生活常识,从这三个函数模型中选择一个,模拟茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的关系,并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少须要等待的时间为()(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.2.72分钟 B.2.82分钟C.2.92分钟 D.3.02分钟答案:B解析:依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,得到80=20+ba,68=20+ba2,解得a=45,b=75,因此20+75·45t≤60⇒44.2024年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域平安着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采纳弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60m/s,则至少还须要“打水漂”的次数为()(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.4 B.5 C.6 D.7答案:C解析:设石片第n次“打水漂”时的速率为v(n),则v(n)=100×0.9n-1.由100×0.9n-1<60,得0.9n-1<0.6,则(n-1)ln0.9<ln0.6,所以n-1>ln0.6ln0.9=lg0.6lg0.9=lg2+lg3-5.(2024·浙江温州模拟)物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过肯定时间t(单位:min)后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)12

th,其中Ta称为环境温度,h为常数.现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡,放在21℃的房间中,假如咖啡降到37℃须要16min,那么这杯咖啡要从37℃降到25℃,还须要答案:16解析:由题意知Ta=21℃.令T0=85℃,T=37℃,得37-21=(85-21)·12

16h,∴h=8.令T0=37℃,T=25℃,则25-21=(37-21)12

t综合提升组6.(2024·河南郑州高三检测)在国家大力发展新能源汽车产业政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2024年年底新能源汽车保有量为1500辆,2024年年底新能源汽车保有量为2250辆,2024年年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)依据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1),y=ax+b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2024年年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆,求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式;(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2024年年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆,预料到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)解:(1)依据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),由题意得a·b0=1500,a·b1=2250(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得,50000(1-r)5=50000(1-10%),解得1-r=0.915.设从2024年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆,则有y=50000(1-r)x=50000(0.915)x,设从2024年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车,则有1500·化简得3·32x>100(0.915)x,所以lg3+x(lg3-lg2)>2+x5(2lg3-1),解得创新应用组7.长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾难风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪须要、降低防洪风险,水利部门须要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位状况.假设某次联合调度要求如下:(ⅰ)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];(ⅱ)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;(ⅲ)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:①y=-120x2+6x;②y=10x;③y=10x50;④y=则满意此次联合调度要求的函数解析式的序号是.

答案:②④解析:①y=-120x2+6x=-120(x2-120x)=-120(x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180,超过了范围,不符合题意;②y=10x为增函数,且x∈[0,100],y∈[0,100],且x≤10,则x≤10x,符合题意;③y=10x50,当x=50时,10x50=10<50,不符合题意;④y=100sinπ200x,当x∈[0,100]时,π200x∈0,π2,故该函数在[0,100]上单调递增,又y=100sinπ200x∈[0,100],设g(x)=100sinπ200x-x,x∈[0,100],g'(x)=100·π200·cosπ200x-1,x∈[0,100],即g'(x)=