《高等微波网络》课件第2章

第2章网络基础

2.1微波网络的基本概念2.2工作特性参量2.3A参数2.4S参数2.5无耗互易网络的几个重要定理2.6参考面移动对网络参数的影响2.7散射矩阵的别列维奇表示法

2.1微波网络的基本概念

微波网络是由有限个元件连接而成的一种结构。这些元件可以是集总元件(如电阻、电容、电感等)，也可以是分布参数元件(如传输线、波导等)。微波网络可以看做是一个黑箱，如图2.1-1所示。它通过端口与外界进行能量或信息的交换，如果对它作n个激励，它就有n个响应，则该网络就称为n维或n端口网络。图2.1-1n端口网络2.1.1复频率与复平面

在电路理论中，傅立叶变换完成的是时域到频域的变换，而拉普拉斯变换则完成时域到s域的变换。实际上，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊情况，在拉普拉斯变换中令σ=0，拉普拉斯变换就变为傅立叶变换。反之，将傅立叶变换中的jω变为σ+jω，即将定义域从虚轴变换到复数域中，则傅立叶变换就变为拉普拉斯变换。这种定义域的扩展又称为解析延拓，其中s=σ+jω称为复频率，对应的以σ为横轴、jω为纵轴的平面称为复平面。2.1.2赫维茨(Hurwitz)多项式

所有零点都位于复频率s复平面的左半平面内的实系数多项式称为赫维茨(Hurwitz)多项式。

1.赫维茨多项式的性质

设赫维茨多项式的一般形式为：

它具有以下几个性质:

(1)所有系数都是正实数；

(2)幂次齐全；

(3)当它只有奇部或只有偶部时，其所有的根都共轭地出现在s复平面的jω轴上；(2.1.1)

(4)满足模值定理:(2.1.2)

2.赫维茨多项式的判断准则

准则1:赫维茨多项式可分解为偶部E(s)和奇部O(s)，由奇部和偶部的比值可得电抗函数:

式中的商和qi(i=1，…，n)都是正数。(2.1.3)式(2.1.3)是采用辗转相除的方法得到的，如果一个多项式的奇部和偶部的比值能够不中断地辗转除尽，且所得的商都是正数，则此多项式就一定是赫维茨多项式。

准则2:若矩阵

为正定矩阵，则以矩阵中的元素作为系数的多项式为赫维茨多项式。(2.1.4)2.1.3正实函数

1.正实函数的定义

若函数G(s)满足:

(1)在s的右半平面解析；

(2)若s是实数，则G(s)是实函数；

(3)Res＞0，ReG(s)>0，

则G(s)为正实函数。

2.正实函数的性质

正实函数具有下列一些性质:

(1)正实函数的导数也是正实函数。

(2)正实函数之和仍为正实函数。

(3)正实函数的复合函数仍为正实函数。

3.正实函数的判断法则

对于函数

式中，E1(s)和E2(s)为偶部，O1(s)和O2(s)为奇部。(2.1.5)若G(s)满足:

(1)s为实数时，G(s)为实函数；

(2)E1(s)+E2(s)+O1(s)+O2(s)为Hurwitz多项式；

(3)当s=jω时，E1(jω)E2(jω)－O1(jω)O2(jω)＞0，则G(s)为正实函数。2.1.4有界实矩阵与有界实函数

对于一个m阶方阵Y(·)，其元素均为复变量s的函数，若Y(·)满足:

(1)在Res>0处，Y(·)的所有元素都是解析的；

(2)对于正实的s，Y(s)是实的；

(3)对于Res>0，I-Y+(s)Y(s)是非负定的埃尔米特矩阵，则Y(·)为有界实矩阵。

一个1×1阶的有界实矩阵称为有界实函数。2.1.5网络函数及其性质

网络函数可用来描述网络的特性，在时域内可以用冲激响应表征网络的特性，在频域内可以用网络函数表征网络的特性。既然冲激响应和网络函数都可以用来表征网络的特性，那么它们之间必然有密切的联系，这一联系就是网络函数是冲激响应的拉氏变换。

1.网络函数的定义及其分类

响应与激励之比定义为网络函数，用符号H表示，它是联系响应与激励的量。在图2.1-2(a)的单口网络中，激励和响应在同一个端口，则网络函数为策动点函数。策动点函数有两种定义:一是激励为U，响应为I，即

称为策动点导纳函数。

另一种定义是激励为I，响应为U，即

称为策动点阻抗函数。(2.1.6)(2.1.7)图2.1-2单口网络和双口网络图2.1-2(b)的双口网络中，当激励和响应在不同的端口上时，网络函数称为转移函数。

可见，网络函数分为两大类，策动点函数和转移函数。当激励A(s)是复指数信号时，响应信号B(s)也是复指数信号

的形式，网络函数H(s)便是复频率s的函数，定义为(2.1.8)

2.网络函数的一些性质

尽管转移函数和策动点函数的定义不同，其性质也有所差别，但由于它们都是网络函数，因此它们也应具有一些共同的性质。这些性质包括：

(1)网络函数是实有理函数。集总、线性、时不变网络的网络函数是一实系数的有理函数，形式上是两个实系数的多项式之比，形如(2.1.9)式中ai、bj都是实数，s是复频率变量。如果将分子、分母多项式写成因式形式，则得出另一种表示式:

(2)网络函数零点和极点的分布关于实轴对称。

(3)稳定网络的网络函数分母是Hurwitz多项式。

(4)策动点函数是正实函数。(2.1.10)

2.2工作特性参量

微波网络端口的特性，通常都用其输入量和输出量之间的关系来表示，而不考虑网络中电磁场的分布。输入量和输出量可以是电压和电流，也可以是功率。由于网络的端接条件不同，输入与输出间的关系也不同。虽然网络的参量矩阵已完全描述了网络的固有特性，但在实际中，为了更直接地描述网络的传输、衰减和反射等工作特性以及便于网络分析与综合，还常采用工作特性参量，常用的有电压传输系数、工作衰减、插入相移和输入驻波比等，它们都是频率的函数。

1.电压传输系数τ

电压传输系数τ的定义为：

在输出端口接匹配负载的条件下输出端口反射波电压b2与输入端口入射波电压a1之比，即

根据s21的物理意义可知，τ就是s21。τ也可用归一化A参数a表示为(2.2.1)(2.2.2)

2. 工作衰减LA

工作衰减LA也称插入损耗，其定义为输出端口接匹配负载时，输入端口的输入波功率与负载吸收功率之比，即(2.2.3)因为，所以(2.2.4)常用分贝(dB)来表示工作衰减，即

可见，工作衰减等于电压传输系数模平方的倒数。因为网络是无源的，|τ|≤1，所以LA总是正分贝数。为了看清LA的物理意义，将式(2.2.5)重新表示为(2.2.5)(2.2.6)上式右边第一项是网络的实际输入功率(入射波功率减去反射波功率)与匹配负载吸收功率之比，表征了网络自身损耗引起的衰减。当网络无耗时因为|s21|2=1－|s11|2，所以其自身衰减为0分贝。上式右边第二项

为入射波功率与实际入射功率之比，是由于输入端口不匹配引起的，因此称为网络的反射衰减。当输入端口匹配时s11=0，则反射衰减为0分贝。

3. 插入相移θ

插入相移θ定义为输出端口接匹配负载时，输出端口反射波对于输入端口入射波的相移。因此它也就是电压传输系数τ的相角，即

θ=argτ=args21

(2.2.7)

4. 输入驻波比ρ

输入驻波比定义为输出端口接匹配负载时，输入端口的驻波比，即(2.2.8)

2.3A参数

2.3.1A参数的定义和基本性质

一般地，A参数定义为输入电压U1、电流I1和输出电压U2、电流I2的一组线性关系：

由A参数的定义以及传输线理论可以得到无耗传输线段的A矩阵，如表2.3.1所示。(2.3.1)表2.3.1无耗传输线段的A矩阵

A参数具有以下性质。

1. 互易网络

互易网络A矩阵的行列式值为1，即

detA=1(2.3.2)

2．级联网络

如图2.3-1所示级联传输系统，总网络的A矩阵是各个网络Ai矩阵的依次乘积，即(2.3.3)

3. 负载阻抗Zl与输入阻抗Zin的关系

由A参数定义，计及Zin=U1/I1，而Zl=U2/I2，易得

【例2.3.1】矩形波导H面90°拐角可表示为如图2.3-2所示网络。若输入功率为P0，终端接匹配负载，求系统反射系数Г和负载吸收功率Pl。(2.3.4)图2.3-2例2.3.1网络图解微波问题多数采用归一化参数，即所有阻抗对特性阻抗Z0归一，或导纳对Y0归一，一般用所表示的参数的小写字母表示。如a表示归一化的A。

可以把H面90°拐角看做是两个串联电抗和一个并联导纳级联而成。根据A矩阵性质，有

注意到上式满足互易条件。T1参考面的归一化输入阻抗为对应的反射系数为

结果算得负载吸收功率为

Pl=P0(1－|Γ|2)=0.8P0

从这个例子可以看出：不少微波问题中，电压、电流仅作为中间量出现。一旦把a参数转化为输入阻抗的形式，即可从反射系数Г研究功率的传输问题。

【例2.3.2】考虑两相距λg的H面90°拐角所组成的U形拐角，如图2.3-3所示网络。若输入功率为P0，终端接匹配负载，求系统反射系数Г和负载吸收功率Pl。图2.3-3例2.3.2网络图解这个问题可看做两只90°拐角的级联。利用例2.3.1的结果，有

这两个例子的结果表明，每只H面90°拐角反射20％的功率，而把两只拐角级联，则总反射功率达50%。可见，网络级联后的相互作用是十分重要的。2.3.2最佳传输问题

很多事物存在“二重性”。上面的例子启示我们:有无可能利用相互作用达到最佳传输?

【例2.3.3】任意U形拐角是由两只H面90°拐角和一段电长度为θ的传输线构成的。试求θ与反射和传输功率的关系。具体结构如图2.3-4所示。图2.3-4任意U形拐角和等效网络解总的A矩阵相当于三个元件的级联，即

由完全类似的步骤，得

容易得到负载功率PL与P0的关系为求最佳和最劣传输所对应的θ，可对上式分母求导并令其为零，即d(5+4sinθcosθ+3cos2θ)/dθ=0。于是，最佳传输有

θ=n×180°+116.565°

这时，所对应的反射系数模|Γ|min=0。

最劣传输有

θ=n×180°+26.565°

这时所对应的反射系数模|Γ|max=0.7454。

负载吸收功率曲线如图2.3-5所示。图2.3-5任意U形拐角功率传输曲线我们的兴趣主要不在例子本身，而在于所处理的方法和能够引出的重要概念。由上面的例子已经知道：一只90°拐角存在反射，两只级联则反射更大。但是把这两只拐角和传输线段放在一起，则在适当条件下，可以做出反射很小的元件。这正是充分利用以反抵反相互作用的结果。

实际上，H面90°拐角可以做成如图2.3-6的形式。

适当选择Lm，可以得到一定带宽的小反射元件。推荐的Lm＝0.38λg或0.55a。图2.3-6H面90°拐角可以设想，能够设计并利用多个反射点，使它们相互作用的结果有利于最大传输，各反射点之间由传输线段相连。根据这一思想，出现了多节阻抗变换器设计。这将在第4章中加以介绍。

由此可见，传输线段对于微波网络所起的作用远不是低频电路中导线那样的“配角”，而是在这里担当举足轻重的“角色”。这正是由微波波动特性所确定的。

2.4S参数

2.4.1S参数的基本性质

多端口网络采用S参数来描述较为方便。S参数是联系入射波和散射波的一组线性关系。对于如图2.4-1的n端口网络，有(2.4.1)或写成紧凑形式

b=Sa

(2.4.2)

S参数有下列基本性质:

(1)互易性。

对于互易网络，有

Sij=Sji(i，j＝1，2，3，…，n)

(2.4.3)图2.4-1n端口网络

(2)无耗性。定义

E=Pin－Psc

(2.4.4)

其中，Pin和Psc分别表示网络全部的入射功率和散射功率。由S参数定义有

其中上标“+”表示共轭转置矩阵。(2.4.5)(2.4.6)无耗网络能量守恒，入射功率应等于散射功率，即

E=a+{I－S+S}a=0

(2.4.7)

其中I为单位阵。式中对任何激励a都成立，故有

S+S=I

(2.4.8)这个性质常称为无耗网络的幺正性。

(3)双口网络输入反射系数与负载反射系数的关系。考虑如图2.4-2所示的双口网络，容易得到Γin和ΓL的关系为(2.4.9)图2.4-22.4.2两个相同无耗网络组成的级联反射

考虑两个相同的无耗网络，中间由传输线段θ连接组成网络的级联反射。假定终端负载无反射(ΓL＝0)，如图2.4-3所示。

由于ΓL＝0，由式(2.4.9)得到图2.4-3中右面网络的输入端反射系数为S11，该反射系数经传输线段θ后，变为

S11e－j2θ，把其带入式(2.4.9)，得到(2.4.10)图2.4-3两个相同无耗网络组成的级联由无耗网络的幺正性条件，容易得到

于是有

上式中已应用了互易网络条件，且均表示对应Sij的相角。若再引入参量

(2.4.15)(2.4.11)则有

或

其中(2.4.16)(2.4.17)这样，十分明显，当时，|Γin|取最小，且

|Γin|min=0这时所对应的最佳传输条件为(2.4.18)当时，|Γin|取最大，且(2.4.19)这时所对应的最劣传输条件为

θm=θp+90°

(2.4.20)

无论是何种情况，最佳传输和最劣传输所对应的θ都互差90°的奇数倍。因为式(2.4.18)和式(2.4.20)均可再任意加180°×n。

【例2.4.1】采用S参数研究例2.3.3的任意U形拐角的功率传输问题。

解可把任意U形拐角看做是两只H面90°拐角组成的级联反射，且每只拐角都是对称网络。由例2.3.1知右侧拐角的输入反射系数为0.4427ej116.585°，令其为网络的S11，即

S11=0.4427ej116.585°

计及式(2.4.18)，并考虑到S11=S22，于是有

这时，所对应的|Γin|min=0。而最劣传输条件为

θm=θp－90°=26.565°

这时

与a矩阵分析结果完全一致。2.4.3广义散射参数

一般情况下所定义的S参数取决于网络本身，而不受外界电路的影响，但在电路理论中，它将随端口所接负载的不同而不同。

图2.4-4表示与电源电路相连接的n端口网络N，其参考阻抗矩阵为(2.4.21)图2.4-4n端口网络端口电压、端口电流和电源电压分别为

n端口网络的阻抗矩阵为(2.4.22)(2.4.23)它们分别是实频率下对应量在整个复平面的解析延拓。

而对于所有复频率s，最佳匹配条件是Z(s)=z(-s)=z*(s)。

用Ui(s)和Ii(s)表示入射电压和入射电流，它们是在共轭匹配情况下的实际电压和电流，即(2.4.24)(2.4.25)式中

是电源阻抗的偶部，也叫做z(s)的准埃尔米特部分。

在非共轭匹配的情况下，将有反射电压和反射电流，分别用Ur(s)和Ir(s)表示，即(2.4.26)(2.4.27)根据传输线理论，实际工作电压和电流分别为

电流散射矩阵和电压散射矩阵的定义为

容易推得(2.4.28)(2.4.29)(2.4.30)此式说明，一般情况下，电流散射参数和电压散射参数是不同的，这使实际使用很不方便，我们可以通过归一化将它们统一起来。

考虑任一端口k上的有理阻抗zgk(s)的准埃尔米特部分rk(s)，容易看出，rk(s)是偶函数，它为两个偶多项式之比。这就意味着rk(s)的极点和零点对于实轴和虚轴呈象限对称。因此，可将rk(s)分解为如下因式:

rk(s)=hk(s)h*k(s)

(2.4.31)实现上式唯一分解的条件是:

(1)rk(s)在开LHS的极点属于hk(s)，在开RHS的极点属于h*k(s)。

(2)rk(s)在开RHS的零点属于hk(s)，在开LHS的零点属于h*k(s)。

(3)rk(s)在jω轴上的零点均等分配给hk(s)和h*k(s)。

归一化入射波和归一化反射波的定义为(2.4.32)归一化散射矩阵S(s)定义为

b(s)=S(s)a(s)

(2.4.33)

最后得到(2.4.34)

2.5无耗互易网络的几个重要定理

【定理2.5.1】无耗互易双端口网络具有如下基本性质：(1)若一个端口匹配，则另一个端口自动匹配；

(2)若网络是完全匹配的，即两个端口均匹配，则必然是完全传输的；

(3)s11、s21和s22的相角只有两个是独立的，已知其中的两个相角，则第三个相角便可确定。

【定理2.5.2】无耗互易三端口网络不可能完全匹配，即三个端口不可能同时都匹配。

2.6参考面移动对网络参数的影响

如图2.6-1所示，已知由参考面T1，T2，NA1AD，Tn所构成网络的散射矩阵为S，由参考面T1′，T2′，…，Tn′所构成的网络的散射矩阵为S′，Ti′与Ti之间的传输线段的电长度为θi(i=1，…，n)。图2.6-1参考面移动对网络的影响根据S矩阵定义，有

不同参考面上归一化入射波和反射波的关系为

即(2.6.1)其中diag表示对角矩阵，于是

即所以

各矩阵元之间的关系为

可以看出，参考面的移动只是改变了矩阵元的相位。

2.7散射矩阵的别列