《工程制图与计算机绘图》课件第3章

第3章立体、截交线及切口3.1平面立体

3.2回转体

3.3立体截交线及切口

3.1平面立体

一、平面立体投影图的画法

从图3-1(b)所示三棱锥的三面投影中可以看出，立体上有些线段(或表面)的投影成为该立体投影的最外轮廓线(封闭的线框)，如正面投影s'a'、a'b'c'、c's'。这些轮廓线一定是可见的，并且确定了立体的投影范围，它们是立体对某一投影面的可见部分和不可见部分的分界线。在投影轮廓范围以内的线段的可见性可利用重影点来判别。

为了尽量反映立体表面的实形和便于画图，常将立体的底面、对称平面(或轴线)放置成平行或垂直于某一投影面的位置，如图3-1所示三棱锥的底面为水平面。图3-1三棱锥表示法根据有关标准和规定，用正投影法所绘制出的物体图形称为视图。我们把立体的正面投影、水平投影和侧面投影

分别称为主视图、俯视图和左视图。

画立体的投影图有以下规定：

(1)由于立体的投影与它对投影面的远近无关，因此立体的投影图一般不画投影轴。

(2)立体的投影图形对称时，用细点画线表示对称中心线。

(3)可见轮廓线画成粗实线，不可见轮廓线画成细虚线。当细虚线与粗实线重合时，只画粗实线。当细点画线与细虚线重合时，只画细虚线。图3-2为省去投影轴后三棱锥的三面视图。如果把视图上X轴方向的尺寸称为“长”，Y轴方向的尺寸称为“宽”，Z轴方向的尺寸称为“高”，则三视图对应关系如下：

主视图与俯视图——长对正。

主视图与左视图——高平齐。

俯视图与左视图——宽相等。

各视图反映立体的位置关系如下：

主视图反映了立体的上下和左右位置关系。

俯视图反映了立体的前后和左右位置关系。

左视图反映了立体的前后和上下位置关系。图3-2三视图对应关系

二、平面立体表面上的点和线

由于平面立体的各表面都是平面，因此在平面立体表面上取点和线与在平面上取点和线的方法完全相同。

如图3-3(a)所示，已知三棱锥表面上D点的正面投影d'和K点的水平投影k，求作它们的另外两个投影。

首先作D点的两个投影：由点D的正面投影d'(可见)，可知点D在三棱锥表面SAB上，通过点D作平行于AB的辅助线,即可作出点D的水平投影d。由点D的正面投影及水平投影即可作出其侧面投影d''。图中用量取点D到点B的Y坐标尺寸(点D在点B后方)的方法作出d''，最后判断可见性，d、d''均可见。由点K的水平投影(可见)可知K点在三棱锥的SBC表面上，通过K点在SBC上作辅助线S1，即可作出点K的另外两个投影。在侧面投影上，因SBC表面不可见，故k''也不可

见，k'可见。

图3-3(b)中已知直线MN的水平投影mn，求作它的另外两个投影。其中，M点在三棱锥的棱SA上，N点在三棱锥表面SAB上。作出M、N点的正面投影及侧面投影，用直线连接同面投影(m'、n'和m''、n'')即得。因表面SAB的三面投影均可见，所以MN的三面投影也均可见。图3-3在平面立体表面上取点、线

3.2回转体

将母线(直线或曲线)绕轴线旋转，即形成回转面。由回转面或者回转面和平面围成的立体称为回转体。图3-4所示为圆柱、圆锥(母线为直线)、圆球、圆环(母线为圆)等回转

体。

母线在旋转时的任一位置称为素线。母线上任一点(如图3-4中的A点)的轨迹称为纬圆(或者回转圆)，纬圆所在平面必垂直于轴线。图3-4回转曲面和回转体(a)圆柱；(b)圆锥；(c)圆球；(d)圆环

一、圆柱体

圆柱体由圆柱面和上、下底面围成，圆柱面由直母线绕与它平行的直线旋转而成。

1.圆柱体投影图的画法

画圆柱体投影时，一般选择轴线垂直于某个投影面，如图3-5所示，轴线垂直于H面。

轴线铅垂放置的圆柱体水平投影为圆。它是圆柱面在H面上的积聚性投影，也是底面的投影。用垂直相交的细点画线画出圆的中心线。

圆柱体正面投影为矩形，矩形左、右两边a'a'1、b'b'1是圆柱面对V面的外形轮廓线，也是圆柱面最左和最右的素线投影。外形轮廓线也称为转向素线，它把圆柱面分成前、后两部分，前半部分正面投影可见，后半部分正面投影不可见,转向素线是可见的。矩形的上、下两边为圆柱体上、下底面(水平面)的积聚性投影。圆柱体轴线平行于V面，用细点画线表示轴线的投影。

圆柱体侧面投影也是矩形，矩形上、下两边也是圆柱体上、下底面的积聚性投影。矩形左、右两边是圆柱面对W面的转向素线，c''c''1是圆柱面的最前素线的投影，d''d''1是圆柱面的最后素线的投影。前、后转向素线把圆柱面分为左、右两部分，左半个圆柱面的侧面投影可见，右半个圆柱面的侧面投影不可见。用细点画线表示轴线的投影。图3-5圆柱体的表示法

2.圆柱体表面上的点和线

在圆柱表面上取点，可利用圆柱面对某一投影面的积聚性进行作图。如图3-6(a)所示，已知圆柱表面上点E的正面投影e'，并且可见，求作它的水平投影及侧面投影。由点E的正面投影可知，E点在圆柱面右前部分，利用圆柱面水平投影的积聚性，可作出点E的水平投影e。根据点的投影规律可作出点E的侧面投影e''，并且不可见。

图3-6(b)中，已知线段EH的正面投影e'h'，求作它的水平投影及侧面投影。根据圆柱面的形成原理，EH线段既不是直线也不是圆弧(是一段椭圆弧)。作EH的投影时，须作出它上面的一系列点的投影，然后用曲线光滑连接各点的同面投影即可。EH的水平投影重合在圆柱面的水平投影上。需要注意，线段跨过圆柱面转向素线的点(如M)的投影必须作出，因为它是线段在侧面投影上可见与不可见的分界点。图3-6在圆柱表面上取点、线

二、圆锥体

圆锥体由圆锥面和底面围成，如图3-7所示。圆锥面由直线绕与它相交的直线旋转而成。图3-7圆锥体的表示法

1.圆锥体投影图的画法

轴线铅垂放置的圆锥体的水平投影为圆，用垂直相交的细点画线画出圆的中心线。

圆锥体的正面投影及侧面投影均为等腰三角形。正面投影三角形的两边s'a'和s'b'为圆锥面对V面的转向素线，分别是圆锥面最左、最右的素线投影。左、右转向素线的前半个圆锥面的正面投影可见，后半个圆锥面不可见。侧面投影三角形的两边s''c''和s''d''为圆锥面对W面的转向素线，分别是圆锥面最前、最后的素线投影。前、后转向素线的左半个圆锥面的侧面投影可见，右半个圆锥面不可见。正面投影及侧面投影中，等腰三角形的底边为圆锥体底面的投影。用细点画线表示轴线的投影。

2.圆锥体表面上的点和线

在圆锥面上取点可以采用两种方法：

(1)素线法。如图3-8(a)所示，已知圆锥面上点F的水平投影f，求作点F的正面投影及侧面投影。作图时，过锥顶S

和点F作圆锥面的一条辅助素线SE，则F点在该素线上。先在水平投影上过f确定SE的水平投影se，再作SE的正面投影及侧面投影。根据点在直线上的投影规律，即可作出f'及f''。因点F在圆锥面的左、前部分上，所以点F的正面投影及侧面投影均可见。

(2)纬圆法(回转圆法)。在图3-8(a)中，过点F作辅助纬圆，其水平投影为半径等于sf的圆(水平圆)。纬圆水平投影与圆锥面最右素线的交点为a，正面投影a'在最右边的转向

素线上，于是可作辅助纬圆的正面投影及侧面投影。由点F在此纬圆上，即可作出点F的正面投影及侧面投影，如图3-8(a)所示。

如图3-8(b)所示，若已知线段FH的正面投影f'h'，求作它的另外两个投影。作图时可作线段上一系列点的水平投影及侧面投影，其中侧面投影转向素线上的点M必须作出，然后用曲线依次光滑连接各点的同面投影，并判别可见性。图3-8在圆锥表面上取点、线

三、圆球体

圆球体由圆球面围成。圆球面由圆(母线)绕直径旋转而成。

1.圆球体投影图的画法

圆球体的三面投影都是圆。用垂直相交的细点画线画出圆的中心线，如图3-9(b)所示。圆球体在三个投影面上的轮廓素线均为大小相等的圆，其直径与球的直径相同。图中水平轮廓素线——圆B称为赤道圆，与赤道圆垂直的圆称为经线(如A、C)。在图3-9(b)中，赤道圆将球面分成上、下两部分，在水平投影中，上半个球面可见，下半个球面不可见。经线A是对V面的轮廓素线，它把球面分成前、后两部分，在V面投影中，前半个球面可见，后半个球面不可见。经线C是对W

面的轮廓素线，它把球面分成左、右两部分，在W面投影中，左半个球面可见，右半个球面不可见。图3-9圆球体的表示法

2.圆球体表面上的点和线

在圆球面上取点，只能用平行于某个投影面的辅助纬圆来作图。

如图3-10(a)所示，已知圆球面上点E的水平投影，并且可见，求作它的另外两个投影。作图时，可以通过点E在球面上作辅助水平纬圆，其水平投影是以oe为半径的圆。该圆与正面(或者侧面)轮廓素线的交点确定了该圆正面(或者侧面)投影的位置，投影均为水平直线，由此即可作出e'及e''。由水平投影知点E在球面的前、右、上部分，故e'可见，e''不可见。同样，也可以通过E点在球面上作正平辅助纬圆或侧平辅助纬圆。图3-10在圆球表面上取点、线在球面上取线的作图方法如图3-10(b)所示。若已知球面上线段EH的水平投影eh，可以用辅助纬圆的方法作线段上一系列点的正面投影及侧面投影，然后用曲线顺次光滑连

接各点的同面投影即可。图中线段跨越正面轮廓素线的N点和跨越侧面轮廓素线的M点的两投影必须作出，因为它们分别是线段EH的正面投影及侧面投影上可见与不可见的分界点。

四、圆环体

圆环体由圆环面围成。圆环面由圆(母线)绕圆外直线(该直线与圆同面)旋转而成。

圆环体投影图的画法如图3-11所示。

圆环面上取点只能用纬圆法。图3-11圆环体的表示法

3.3立体截交线及切口

一、平面立体截交线与切口

平面与平面立体相交，截交线是三角形或封闭的平面多边形。

［例3-1］如图3-12所示，用正垂面P截去三棱锥头部，求截交线的投影。

解分析与作图。由于截切平面为正垂面，故截交线正面投影重合在正垂面的正面迹线上，迹线PV与s'a'、s'b'、s'c'的交点即为截交线各顶点的正面投影1'、2'、3'。根据点在直线上的投影规律，即可作出截交线顶点的水平投影1、2、3及侧面投影1''、2''、3''。用直线连接相应两点的同面投影即得所求截交线的投影，最后判别可见性。图3-12三棱锥截交线的投影

［例3-2］求作图3-13(a)所示四棱台切口的投影。

解分析与作图。由图3-13(a)正面投影知，四棱台切口由左、右两个侧平面和一个水平面截切而成，故分别作出各截切平面的截交线即可。

投影作图如图3-13(b)所示。若水平面与四棱台完全截交，则截交线为矩形，截交线顶点即为水平面与各棱线的交点。因水平面仅截棱台的中间部分，故截交线仅有中间部分线段。水平截切平面的侧面投影不可见；侧平面截交线的水平投影积聚成一直线段，例如ab。同理可作出另一侧平面的水平投影，连接有关线段，即完成切口的投影。图3-13四棱台切口二、回转体截交线与切口

平面与回转体的截交线一般是闭合的平面曲线，或者是曲线与直线围成的平面图形。

圆柱体、圆锥体、圆球体与不同位置的平面相交，其截交线投影图见表3-1、表3-2和表3-3。表3-1圆柱体截交线表3-2圆锥体截交线表3-3圆球体截交线平面与回转体相交时，为便于截交线投影作图，一般将截切平面放置成特殊位置——投影面平行面或投影面垂直面。作截交线投影时，须充分利用截切平面的投影特性，并熟练

掌握求截交线上的点(立体表面与截切平面的共有点)的作图方法。

作回转体截交线投影的方法是：根据表3-1、表3-2和表3-3确定截交线的形状特点；根据投影分析作截交线上的特殊点；用基本几何体表面取点、取线的投影作图方法作截交线上适当的中间点；判断可见性并用线段(直线或曲线)光滑连接各点的同面投影。

1.圆柱体截交线与切口

［例3-3］求正垂面与圆柱体的截交线，如图3-14所示。图3-14平面斜切圆柱

解分析与作图。由表3-1，圆柱被平面斜切时截交线为椭圆。因截切平面为正垂面，故截交线的正面投影重影在截切平面的正面投影上；截交线的水平投影重影在圆柱面的积聚性投影上；侧面投影一般为椭圆，但不反映实形。

作图过程如下：

(1)作截交线上的特殊点。如图3-14(b)中的A点(最低点,椭圆长轴端点)、B点(最高点，椭圆长轴端点)、C点(最前点，椭圆短轴端点)、D点(最后点，椭圆短轴端点)。

(2)作截交线上的一般点。如图中E、F点，可以根据点既在截切平面上又在圆柱面上的原理作出。

(3)用曲线光滑连接各点的侧面投影。

［例3-4］求作图3-15(a)所示套筒上部切口的投影。

解分析与作图。由表3-1，圆柱被平行于轴线和垂直于轴线的平面截切后，截交线分别为直线和圆弧。图3-15(b)所示为实心圆柱体切口的投影：在侧面投影上，圆柱面最前和最后轮廓素线在切口内的部分被切掉，截交线(直线)向轴线方向“退缩”。图3-15(c)所示为圆筒切口的投影：其内圆柱面对正面及侧面的投影轮廓素线画成细虚线，在侧面投影上，侧平面与水平面的交线在圆筒厚度(实体)方向上应画出一段细虚线。图3-15套筒切口的投影

2.圆锥体截交线与切口

［例3-5］求正垂面与圆锥体的截交线，如图3-16(a)所示。

解分析与作图。由表3-2可知，正垂面与圆锥体的截交线为椭圆，其中Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ分别为椭圆长、短轴的端点。投影作图如图3-16(b)所示。作图步骤如下：

(1)作特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ各点投影。其中点Ⅰ、Ⅱ分别在圆锥面正面轮廓素线上，Ⅴ、Ⅵ点分别在圆锥面侧面轮廓素线上。由于椭圆长、短轴互相垂直平分，故Ⅲ、Ⅳ点正面投影重影成一点，且平分1'2'。Ⅲ、Ⅳ点的另外两个投影可用纬圆法或素线法作出，图中采用纬圆法。

(2)用纬圆法或素线法作截交线上的一般点，如Ⅶ、Ⅷ点。

(3)用曲线光滑连接各点的同面投影。截交线的水平投影及侧面投影均可见。图3-16圆锥被平面斜截

［例3-6］求图3-17(a)所示圆锥体切口的投影。

解分析与作图。由图3-17(b)所示的正面投影可知，圆锥体切口由左、右两侧平面及一个水平面截切而成。由表3-2可知，侧平面与圆锥面的截交线为双曲线，水平面与圆锥面的截交线为圆。侧平面与圆锥面的截交线投影作图如图3-17(c)所示：截交线的侧面投影反映实形(双曲线)，水平投影为直线，其中A、B、C是截交线上的特殊点，其投影必须作出。D、E是截交线上的一般点，可用纬圆法作出它们的投影。

在图3-17(b)中，水平截切平面与圆锥面的截交线的水平投影为前、后两段圆弧，其中Ⅱ、Ⅲ两点为两类截交线的交点，称为截交线的结合点。侧面投影线段2''3''