专题31 圆的基本性质【二十个题型】（举一反三）（原卷版）

专题31圆的基本性质【二十个题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1圆的周长与面积相关计算】 1【题型2圆中的角度、线段长度计算】 3【题型3求一点到圆上一点的距离最值】 5【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】 6【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 7【题型6垂径定理在格点中的应用】 8【题型7垂径定理的实际应用】 10【题型8利用垂径定理求取值范围】 12【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】 13【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】 14【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】 15【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明】 16【题型13利用圆周角定理求解】 18【题型14利用圆内接四边形求角度】 19【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】 21【题型16利用圆的有关性质解决最值问题】 22【题型17利用圆的有关性质求取值范围】 24【题型18利用圆的有关性质解决多结论问题】 25【题型19圆有关的常见辅助线-遇到弦时,常添加弦心距】 27【题型20圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,常添加（画）直径所对的圆周角】 28【知识点圆的基本性质】1.圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．3.弧.弦.圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等4.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。【题型1圆的周长与面积相关计算】【例1】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（

）

A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π【变式1-1】（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′

【变式1-2】（2023·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′【变式1-3】（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（）A．22+1633π B．20+1633π【题型2圆中的角度、线段长度计算】【例2】（2023·广东清远·统考二模）如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则DE=（）．

A．2 B．455 C．65【变式2-1】（2023·江苏南京·统考二模）如图，在⊙O中，C是AB上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA=DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是（

）

A．∠C=13∠AOC B．∠C=12∠AOC【变式2-2】（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（

A．403 B．8 C．245【变式2-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于12OP长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交⊙O于点A，连接PA交MN于点B，连接OA、OB．若∠P=26°，则A．26° B．38° C．52° D．64°【题型3求一点到圆上一点的距离最值】【例3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【变式3-1】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，E为AC边上的任意一点，把△BCE沿BE折叠，得到△BFE，连接AF．若BC=6,AC=8，则AF的最小值为【变式3-2】（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A2,1到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为．最长距离为

【变式3-3】（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，正方形CDEF的边长为1，将正方形CDEF绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接AG，则线段AG的取值范围是

【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】【例4】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．

(1)求证：AEAF(2)若tan∠CAB=43，求(3)连接PC、PB，若∠ABC=30°，AB=23，求△PCF的面积．【变式4-1】（2023·江苏泰州·二模）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知

(1)求证：BE=DE；(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．【变式4-2】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，AB是的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．(1)求证：CB∥PD；(2)若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直径．【变式4-3】（2023·云南德宏·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AC=CF，连接FB，FD，FD交AB于点

(1)若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；(2)连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON⋅OP=OE⋅OM．【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例5】（2023·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是4,5，则弦BC的长度为．【变式5-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，⊙M经过原点O及A、B

(1)求⊙M的半径；(2)点C为弧OA上的一点，且满足∠COA=∠CBO，求C点坐标．(3)直线y=x与⊙M交于点O、N两点，求线段ON的长．【变式5-2】（2023·湖北黄冈·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)a>3，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是【变式5-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点C1,1为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C

(1)求出A，B两点的坐标；(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6垂径定理在格点中的应用】【例6】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．

（1）AM=；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式6-1】（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．

（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM【变式6-2】（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，CE的延长线经过格点D，则弧AE的长为（

）

A．3π4 B．π2 C．5π8【变式6-3】（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．（1）线段AC的长等于；（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）【题型7垂径定理的实际应用】【例7】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【变式7-1】（2023·北京西城·统考一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径【变式7-2】（2023·宁夏中卫·统考二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标O0，0，A

(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东45°，同时在监测点O测得C位于南偏东60°，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．【变式7-3】（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m【题型8利用垂径定理求取值范围】【例8】（2023·浙江宁波·一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为BD上一点，CF与AB交于点G，若FG>CG，则BF的长的范围为(

)

A．4<BF<42 B．C．42<BF<43【变式8-1】（2023·四川绵阳·二模）已知⊙O的弦AB=1.6，优弧上的点到AB的最大距离为1.6，直线l⊥AB，若⊙O上有4个不同的点到l的距离等于0.4，则点O到l的距离d的范围为．【变式8-2】（2023·广东佛山·统考二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5【变式8-3】（2023·广东广州·华南师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x−6与x轴、y轴分别交于点D、E，若△CDE面积为S，则S的范围是【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】【例9】（2023·四川成都·统考二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB，三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果AB=3，那么这个曲边三角形的周长是（）．A．π B．2π C．92π D．【变式9-1】（2023·江苏泰州·二模）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，则弧AE的度数为

【变式9-2】（2023·上海宝山·一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圆O的半径；(2)如果DE=3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【变式9-3】（2023·安徽合肥·一模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．

(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B、C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=______．(2)已知，如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】【例10】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较【变式10-1】（2023·甘肃平凉·三模）如图，在⊙O中，AB⏜=BC⏜=CD⏜，连接AC，CDA．AC=2CD B．AC<2CDC．AC>2CD D．无法比较【变式10-2】（2023·甘肃平凉·二模）如图所示，在⊙O中，AB=2CD，那么（A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．无法比较【变式10-3】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF=DE，连接CF并延长交OB于(1)求证：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分点，OA=23①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】【例11】（2023·江苏泰州·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（

）

A．2 B．7 C．23 D．【变式11-1】（2023·江苏泰州·一模）如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为．

【变式11-2】（2023·河南焦作·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是BC的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点．若OB＝2，则△DEF周长的最小值为．【变式11-3】（2023·河南·三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．

(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B、C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=______．(2)已知，如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明】【例12】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，圆O中，AB为弦，C为弧AB中点，连接OC交AB于D．

(1)求证：OC⊥AB；(2)如图2，弦EF∥弦GH，连接EG、FH，求证：EG=FH(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC、FG，若FG平分∠EFH,OD=3,GH=10，BC=25，求．【变式12-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D是AC的中点．

(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)若⊙O的半径为1，求AB【变式12-2】（2023·广东江门·统考二模）如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM=MD，连接OD，交AC于点N．(1)证明：OD⊥AC；(2)试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明．【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图1，AB为⊙O直径，点E是弦AC中点，连接OE并延长交⊙O于点D，

(1)求证：AD=(2)如图2，连接BD交AC于点F，求证：DE(3)如图3，在（2）条件下，延长BA至点G，连接GF，若∠DFG=45°，AG=2CF=4，求【题型13利用圆周角定理求解】【例13】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，BC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，A为CBD的中点，AE⊥BC于H并交⊙O于点E，若CD=3DF，AC=4，则⊙O的半径长为（

）

A．52 B．81313 C．4【变式13-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在⊙O中，直径AB=4，弦CD=2，连接AD，BC相交于点E，则∠AEC的度数是【变式13-2】（2023·天津滨海新·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．(1)如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；(2)如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径．【变式13-3】（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A3,0．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边△BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，BC=43，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC【题型14利用圆内接四边形求角度】【例14】（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，若∠AOB=70°，则∠APB的度数为（

）A．110° B．145° C．135° D．160°【变式14-1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，OD，若AE∥OD，且AE=OD，则∠BCD的度数为（）A．100° B．105° C．110°【变式14-2】（2023·江西九江·校考二模）如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD=125°，则∠A的度数是．

【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC=CD=AD，则∠C的大小为．

【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】【例15】（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABC=α，则A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°【变式15-1】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．【变式15-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝°．

【变式15-3】（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为；（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．【题型16利用圆的有关性质解决最值问题】【例16】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=213cm，AC=6cm．D是BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，

A．13−2 B．13 C．3 【变式16-1】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：如图，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分别是AC，AB边上的动点，DE=52，以DE为直径的⊙O交BC于点P，Q两点，求线段PQ

嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（

）A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48C．淇淇的说法有问题，当DE∥BC时，线段D．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值【变式16-2】（2023·浙江湖州·统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 【变式16-3】（2023·浙江宁波·统考一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，A（2，－1），以M（－1，0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B，连结BM并延长交⊙M于点C，动点P在线段BC上运动，长为53（1）求⊙M的半径长和点B的坐标；（2）如图2，连结AC，交线段PQ于点N，①求AC所在直线的解析式；②当PN=QN时，求点Q的坐标；（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值．

【题型17利用圆的有关性质求取值范围】【例17】（2023·湖北武汉·校考一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，BC=4DE，延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°【变式17-1】（2023·浙江杭州·三模）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是．【变式17-2】（2023·江苏南京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上的动点，AC=6，BC=8，经过C、D的⊙O交AC边于点M，交BC边于点N，且点M、N不与点C重合(1)若点D运动到AB的中点．①如图①，当点M与点A重合时，求线段MN的长；②如图②，连接MN，若MN∥AB，求线段(2)如图③，点D在运动过程中，⊙O半径r的范围为．【变式17-3】（2023·浙江宁波·一模）如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC上一个动点，连接PA，PC，且A−1,0，E（1）如图1，求点C的坐标和∠P的度数；（2）如图2，若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求PC+PDPA【题型18利用圆的有关性质解决多结论问题】【例18】（2023·湖北襄阳·二模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=63cm；③弦BC与⊙O直径的比为32；④四边形ABOCA．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【变式18-1】（2023·山东济南·统考一模）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝63cm；③sin∠AOB＝32；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（

A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【变式18-2】（2023·河北廊坊