计算方法课后答案：第五章习题答案修改稿

第五章习题答案

20%+24+3e=24

1.用Jacobi迭代法求解方程组，％+8/+刍=12取初值x®=（0,0,0）,问Jacobi

2Xf-3X2+15X3=30

迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于KT'?

解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两边得

136(n1

玉=-------X,+—0----_--3、

10、20510~20

133

芍=--X.,迭代矩阵〃=--0

88、288

21「23

一行占+y+20

&=J1515

由于II5||z=1v1,故Jacobi迭代法收敛。

品—IIQ

II丫⑴_y(°)||

由公式及||x⑴一«。)||

InIIBIL

10-6(1斗

ln(|xl06)_ln(3xl06)

In------------

可得K〉------2_

=m3«13.57

In-

33

所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于10t

1OR-2X2-2XJ=18X[-3X2+2X3=20

2.设方程组(1乂—2玉+10”内=。-5

(2〉4x)+1lx2-x3=33

X

-2X2+33=16$+3%+12X3=36

①考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性;

②用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组，要求卜㈤一彳㈠）1GO-"时

迭代终止。

r

0(1、

5

510

£1

解：⑴①0城）4-0.05

510

1

]_2

丫(*+1)0Y⑻<3>

人3331巧?

13

因为悯L=,故Jacobi迭代法收敛。

0--

00055

又：B=L+UL=-00,U=00—

510

12八000

--0

(33)

k/

17

-,一

所以Gauss-Seidel的迭代矩阵G=(U-L)U=0一

275540

-

07525

因为IIG||广2京5=51<1.故Gauss-Seidel迭代法收敛。

②据方程组的Jacobi迭代格式：

取工⑼二(0,0,0),，计算求得x⑴=(0.100000,0.050000,0.333333)。

x(2>=(0.176667,0.103333,0.400000)7,x<3)=(0.200667,0.125333,0.46llll)7,

x(4)=(0.217289,0.136244,0.483778)，,x⑸=(0.224004,0.141836,0.496593/,

x(6)=(0.227686,0.144460,0.502559)7,x(7)=(0.229404,0.145793,0.505535/,

x(8)=(0.230266,0.146434,0.506997/,x<9)=(0.230686,0.146753,0.50771l)r,

x(,0)=(0.230893,0.146908,0.508064)7,,x(,,)=(0.230994,0.146985,0.508236)7,

x(,2)=(0.231044,0.147023,0.508321)T,x(,3)=(0.231068,0.147041,0.508363)7.

由于||x(⑶一%(⑵lb0.41xlCT4410已因此，所求的解为

x；B0.231068,x；®0.147041,X；«0.508363.

另据Gauss-Seidel迭代格式为：

(z)=j_⑶,”)+，

1525310

«"2"")=+—X3")+0.5k=0,1，….

-5103

铲)」铲)+21)+1

3333

取x©=(0,0,0)、计算求得x⑴=(0.100000,0.070000,0.413333)。

x(2)=(0.196667,0.130667,0.486000)\x(3)=(0.223333,0.143267,0.503289)7,

x(4)=(0.229311,0.146191,0.50723l)r,x(5)=(0.230684,0.146860,0.508134)r,

x(6)=(0.230999,0.147013,0.50834l)r,x<7)=(0.231071,0.147048,0.508389)7.

由于||x⑺-x⑹忆xO/ZZxlCT4V]OT,因此，所求的解为

x：*0.231071,芯«0.147048,x；«0.508389.

’8-32、

⑵①因为系数矩阵A=411-1是严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和

、6312,

Gauss-Seidel迭代法均收敛。

3」、/\

人］0人］5

8~4

2

__4

②此方程组的Jacobi迭代格式为：龙伏叫—0+3

八2~TiH

丫(E)0

<X3>L-24

取x(°)=(O,O,O『可求得

*二(2.50000,3.00000,3.00000),

彳⑴)=(2.99998,1.99998,1.00002)，

x(,2)=(2.99999,2.00001,1.00002)7

由于忸2)一小胃vOBxlCT4故所求解为：x；«2.99999,x；«2.0000l,x；«1.00002

(A+1)3㈤1(k\,5

82432

铲)=_?f)+白⑶

据Gauss-Seidel迭代格式：4+3

+3

取/°)=(0,0,0)「求得：

x⑴=(2.50000,2.09091,1.22727)，

x⑹=(2.99993,2.00000,1.00004)7

x(7)=(2.99999,2.0000(),1.00001)7

由于卜⑺一/(6)|«06xl()T,故所求解为：x；«2.99999,x；»2.00000,x；«1.00001

玉+

0.4X2+0.4X3=1%1+2X2-2X3=1

3.设方程组(1)<0.4%+工2-0・8凡=2(2)「E]+x2+x3=]试考察此方程组的Jacobi

0.4.+0.8X2+.=32xx+2X2+XJ=1

迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

'0-0.4-0.4、

解：⑴所给方程组的Jacobi迭代矩阵B=-0.400.8

「0.4-0.80/

20.40.4

因为卜/一回=0.42一0.8=；P+0324=0解得：％=°，4.3=i°4"

0.40.82

则p(B)=0.4也<1,所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。

‘0-0.4-0.4、

所给方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵G=00.160.96

、00.032-0.608,

因为|/1/一6|=；1(/12+0.448/1一0.128)=0解得：4=0,%J=-0.224±VO.178176

则p(G)。0.65<1所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法收敛。

「0-22、

⑵Jacobi迭代矩阵3=-12-3

-202

A2-2

因为氏/一网=121=23=0

222

则夕(8)=0<1,所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。

,0-22、

Gauss-Seidel迭代矩阵6=02-3

<002,

22-2

因为设/-3=02-23=丸(几一2)2=0解得:

00Z-2

4=0,43=2则。（3）=2>1,所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法不收敛。

-Xj+8X2+0工3=7

4.如何对方程组一人+0%+9巧=8进行调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收

9工］-x2-x3=l

敛？试对调整后得方程用Gauss-Seidel迭代法求解，要求当卜的一小川］<lOj时迭

代终止。

9%-x2-x3=7

解：调整后为：（一%+8々+0当=7

+0x2+9X3=8

这是按行严格对角占优方程组，故Gauss-Seidel迭代法收敛。

7

+

9-

Gauss-Seidel迭代格式为：，

18

(A

-X+

9-.9-

x(,)=(0.7778,0.9722,0.9753)

如//x⑵=(09942,0.9993,0.9994)/

取x(°)=(0,0,0)求得：'7

x(3)=(0.9999,1.OOOOJ.0000)7

=(1.0000,1.0000,1.oooo)r

(4)

L-x⑶II«10-3所以x：R1op00g工1.0000,x；»1.0000

18

5.讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组Ar=人的收敛性，如果收敛，比

0.50.5、

较哪种方法收敛较快，其中（1）4=10.5

0.51,

0

解：⑴Jacobi迭代法迭代矩阵B二0

1

2

0

-3

-=23--=0,所以夕（3）=更<1,Jacobi迭代收敛。

2

212）疵

j_

2

2、

00

3

Gauss-Seidel迭代矩阵6=00

~2

11

00

12；

2

A0

3

J=几？（2一卷）=0所以P（G）=£<1，Gauss-Seidel迭代收敛

|2Z-G|=02

00

因为L萼

故Gauss-Seidel迭代法较Jacobi迭代法收敛快。

12V12

'0-0.5-0.5、

⑵Jacobi迭代法迭代矩阵B=-0.50-0.5

—0.5-0.50）

20.50.5

|2Z-B|=0.520.5=（4+1）（4-OS）?=0所以夕（8）=1,八8日迭代不收敛。

0.50.5A

Gauss-Seidel迭代:

-2-0.5-0.5

|(7-2(/-L)|=-0.52-2-0.5=2(22-0.6252+0.125)=0

—0.54-0.52-2

4=°，4.3R03125±0.165i所以夕(G)=0.4775vl,Gauss-Seidel迭代收敛。

a\3

6.设方程组Ar=b的系数矩阵A=1a2，试求能使Jacobi迭代法收敛的。的取

「32

值范围。

_3

0

_2

解：当。#0时，Jacobi迭代矩阵8=0

2

0

Iaa

由|A/-B|=zfA2H—j-=0得4=0,43=±亮

2

故p（B）=时,由0（B）vl,得时＞2时,Jabico迭代法收敛。

00a0、

7.设方程组Ax=/?,系数矩阵为A=b10b试给出能使Guass-Seidel迭代收敛的

0a5,

充要条件。

a

00

-lo

abh

解：Gauss-Seidel迭代矩阵G=0

100-To

a2bab

0

50050；

a

0

To

abb

\AI-G\=0A------

10010川嗡卜。

crbab

0A---------

50050

由MG）建<1'得Guass-Seidel迭代收敛的充要条件是随|〈竽。

，2-11]㈤0

8.给定方程组111w=1证明：解此方程组的Jacobi迭代法发散，而

11一2八七，J

Gauss-seidel迭代法收敛。

/00.5-0.5

证明：Jacobi迭代矩阵8=-10-1

、0.50.50

\AI-B\==4（义2+125）=0解得：^=0,43=±VL25z

所以夕（8）=J宙>1,Jacobi迭代法发散。

’00.5-0.5、

又Gauss-seidel迭代矩阵为G=0-0.5-0.5

\00-0.5;

可见，G的特征值为4=。，4=4=一0・5

所以p（G）=0.5<l»Gauss-seidel迭代法收敛。

9.设求解方程组Ar=6的Jacobi迭代法的迭代矩阵为3=L+U（L,U分别为上、下三

角矩阵），求证当忆忏眼口<1时解此方程组的Gauss-seidel迭代格式收敛。

证明：Gauss-seidel迭代矩阵为G=（1—L）TU

设义是G任一特征值，x是G的属于义的特征向量，即Gx=Ax

于是Ux=—L）x<=>（t/+AL）x=Ax

||（U+狗朝胭n|刈|浜（M+风冲网

从irn

n阿引u||+WM

故有凶工"JI<1np（G）<1»G—S法收敛。

1一L

10.用SOR迭代法求解方程组（取0=1.46）

VI0-5时迭弋终止。

染叫=(1-1.46)染)+1.46(0.5+0.5炉)

工产)=(1-1.46)/)+1.46(0.5铲)+0.5炉)

解：SOR迭代公式为:

彦旬=(1一1.46)4)+1.46(0.5+0.5铲)+0.5城))

#+|)=(1_1.46)4)+1.46(0.54川)

取初值幺°）=（0,0,0）。迭代可得:

”=(0.73()000,0.532900,1.119017,0.816882)'

x(,7)=(1.200007,1.400008,1.600004,0.800000)r

x(,8)=(1.200003,1.400001,1.599999,0.799999)7

•・•卜(⑻一'⑺[=0.7x1O_5<10-5,所以所求解

(1.200003,1.400001,1.599999,0.799999)，

4内-x2=1

11.用SOR迭代法求解方程组(分别取=1.03,啰==1.1)«-X]+4%-刍=4要求

-x2+4xj=-3

当归-x⑹L〈5xl()f时迭代终止，并且对每一个力值确定迭代次数(精确解为

染+i)=(1一©)染+3(0.25+0.25冲)

解：SOR迭代公式为：.

乂1)=(1一3)率+@(-0.75+0.25x产))

取0=1.03,初值/°)=(0,0,0)丁，迭代5次达到精度要求

x(5)=(O.5(XXX)45,l.(XXXX)l7,-0.4999997)，

取3=1,初值/°)=(0,0,0)丁，迭代6次达到精度要求

x(6)=(0.5000026,1.0000013,-0.4999997)7

取3=1.1,初值x(°)=(0,0,0)’.迭代6次达到精度要求

x⑹=(0.50(X)036,().9999985,-0.5(XXXX)l)7

12.设矩阵A非奇异，试证明Gauss-seidel迭代法求解方程组47加=人时是收敛的。

证明：A非奇异，对ArwO.

对任一给定n维向量xwO,恒有AxwO.从而

(八,AX)=(AX)T(AX)=xT(ArA)X>0.

即ArA正定，又ArA对称，所以Gauss-seidel迭代法收敛。

」aq

13.证明矩阵A=a1a对于一是正定的，而Jacobi迭代法只对一,vav!

,2