人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．解一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝11 C．（x+4）2＝21 D．（x﹣4）2＝213．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是A． B． C． D．4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒5．抛物线与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．06．若a是方程的一个解，则的值为A．3 B． C．9 D．7．如图，已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则圆心O到弦AB的距离弦心距是A．3 B．4 C．5 D．88．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=1，BP=5，∠APC=30°，则CD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．69．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或310．如图所示，在等边中，点D是边AC上一点，连接BD，将绕着点B逆时针旋转，得到，连接ED，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确结论的序号是A．①② B．①③ C．②③ D．①②④二、填空题11．一元二次方程的根是______．12．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．13．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．14．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．15．已知实数x，y满足，则的最大值是______．16．如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在AB边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是______．三、解答题17．解方程：18．已知抛物线经过点，，请求出该抛物线的顶点坐标．19．如图，在中，，将尧点A按逆时针方向旋转后得当时，求的度数．20．如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为？21．如图，点O在的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若，，，求的半径r．22．如图，在中，，将绕顶点B逆时针方向旋转至的位置，AB与相交于点D，AC与，分别交于点E，F．求证：；若，求证：四边形是菱形．23．某民俗村为了维护消费者利益，限定村内所有商品的利润率不得超过，村内一商店以每件16元的价格购进一批商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出件，每天销售该商品所获得的利润为y元．求y与x的函数关系式；若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？求商店每天销售该商品可获得的最大利润．24．在和中，，，．如图1，点D在BC上，求证：，．将图1中的绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为为锐角，线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN．请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；若，求．25．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫中心对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.符合条件的是第一个,第三个图形和第四个故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是轴对称图形及中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形及中心对称图形.2．D【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：∵x2-8x=5，

∴x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，

故选D．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．3．A【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，，解得：，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能得出关于k的不等式是解此题的关键．4．B【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，即可解答本题．【详解】由题意可得：当x10.5时，y取得最大值．∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，∴t=10时，y取得最大值．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．A【详解】解：∵抛物线解析式，令，解得：，∴抛物线与轴的交点为（0，4），令，得到，∴抛物线与轴的交点分别为（，0），（1，0）．综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．故选A．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，解一元一次、二次方程．6．C【详解】由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，故选C.7．B【解析】【分析】过点O作于点D，连接OA，先根据垂径定理求出AD的长，再由勾股定理即可得出OD的长．【详解】解：过点O作于点D，连接OA，，，．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．C【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=1，BP=5可计算出半径OA=3，则OP=OA-AP=2，接着在中根据直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．【详解】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，

∴HC=HD，

∵AP=1，BP=5，

∴AB=6，

∴OA=3，

∴OP=OA-AP=2，

在中，∵∠OPH=30°，

∴∠POH=30°，

∴，

在中，∵OC=3，OH=1，

∴CH=，

∴．

故选C．【点睛】本题考查的知识点是垂径定理和勾股定理以及含30度的直角三角形的性质，解题关键是注意利用勾股定理进行作答．9．D【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】当时，有，解得：，，当时，函数有最小值1，或，或.故选：.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键.10．D【分析】由题意可得∠EAB=∠ACB=∠ABC=60°，BD=BE，∠DBE=60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠AEB=∠BDC．∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BE=BD，∠DBE=60°，∠EAB=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠ABC=60°，△BED是等边三角形，∴AE∥BC．∵△BED是等边三角形，∴∠DEB=60°，故①②正确；∵∠AED+∠ADE+∠EAD=180°，∴∠AED+∠ADE=180°－120°=60°，∴∠ADE＜60°．∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，∴∠BDC≠∠ADE，故③错误；∵∠AEB=∠BDC，∠AEB=∠AED+∠BED，∠BDC=∠BAC+∠ABD，∴∠AED=∠ABD，故④正确．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练运用这些性质解决问题是解答本题的关键．11．，【分析】先求出的值，然后根据求根公式解答即可.【详解】∵∆=()2-4×(-6)=32>0,∴，∴，.故答案为，.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法公式法，先求出∆的值，然后根据求解即可.12．【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【详解】∵y=x2-4x-4=（x-2）2-8，∵将抛物线y=（x-2）2-8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x-2+3）2-8+5．即y=（x+1）2-3，故答案为y=（x+1）2-3．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．13．11【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：，解得：，舍去，即参加聚会的有11名同学，故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．14．7或1．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．【详解】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，

过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，

∵AB∥CD，∴OE⊥AB，

∴E、F分别为CD、AB的中点，

∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，

在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，

根据勾股定理得：OF=3cm，

在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，

根据勾股定理得：OE═4cm，

则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；

当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，

同理可得EF=4cm+3cm=7cm，

综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．故答案为：7或1．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．15．10【分析】由x2﹣3x+2y=6，可得2y=6-x2+3x，代入x+2y，利用二次函数的性质求解.【详解】解：由实数x、y满足x2﹣3x+2y=6,，可得2y=6-x2+3x，x+2y=x+6-x2+3x=-x2+4x+6；令Z=x+2y=-x2+4x+6，可得当x=2时，Z有最大值为10，故答案为:10【点睛】x的最高次幂是2,x+2y的最高次幂是1,应用x表示出2y,进而表示出x+2y,得到关于x的二次函数,利求二次函数性质求出最大值.16．【解析】【分析】首先证明，是等边三角形，推出是直角三角形即可解决问题．【详解】解：，，，，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明，是等边三角形，属于中考常考题型．17．，.【分析】先将原方程化为一般形式，然后利用公式法解方程即可；【详解】解：原方程可化为，，，．，方程有两个不相等的实数根，即，；【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是了解一元二次方程的求根公式，难度不大．18．抛物线的顶点坐标为．【分析】将已知点的坐标代入函数的解析式后即可确定其解析式，然后确定抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：根据题意，得解得，当时，，这条抛物线的顶点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的性质及图象上的点的坐标特征，解题的关键是了解二次函数的对称轴方程．19．90°【分析】先依据平行的性质可求得的度数，然后再由旋转的性质得到为等腰三角形，，再求得的度数，最后依据求解即可．【详解】解：，．由旋转的性质可知：，．，，．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、平行线的判断，求得的度数是解题的关键．20．长为12m，宽为8m．【分析】设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为，根据“一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为，依题意，得

，化简，得

，解这个方程，得

，，当时，舍去，当时，，答：所建矩形鸭舍的长为12m，宽为8m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．21．2【分析】过点O作于点在和中，由勾股定理，得，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：过点O作于点F．，，，，在和中，由勾股定理，得，即，解得负值舍去，．的半径为2．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．22．(1)见解析；（2）见解析.【分析】根据等腰三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理得到≌，从而证得；由旋转的性质得到，根据得到，，从而证得

，，证得四边形是平行四边形，由于，即可得到四边形是菱形．【详解】解：，．将绕顶点B逆时针方向旋转至的位置，≌，，．在和中，≌，．，，，，．

，，四边形是平行四边形．，四边形是菱形．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（1）；（2）20；（3）400.【分析】根据：每件盈利销售件数总盈利额；其中，每件盈利每件售价每件进价;建立等量关系；由每天销售该商品要获得280元的利润，结合列方程解出即可；根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：．．由，得．此方程整理，得．解这个方程，得，．由题意可知，，．答：每件商品的售价应定为20元．，，当时，y随x的增大而增大．当时，y的值最大，此时．答：商店每天销售该商品可获得的最大利润为400元．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．24．（1）见解析；（2）；②.【分析】证明≌，可得，

根据直角三角形两锐角互余可得：，所以；先证明≌，得，，再证明，根据三角形的中位线定理得：，，，，所以，；证明≌得

根据周角定义和直角可得的值．【详解】证明：如图1，延长AD交BE于F．在和中，，≌．，．，，，．解：，．理由是：如图2，连接BE，AD，交于点Q，，，即，在和中，，≌，，，，，，是AE的中点，P是ED的中点，，，同理得：，，，．由知，又，．在和中，≌．，，．【点睛】本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会利用三角形全等的性质解决问题，属于中考压轴题．25．（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．【分析】（1）利用待定系数法即可求得a，k，b的值，根据图象即可得出不等式的解集；（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根据S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入数据即可得S△APB与m的二次函数关系式，利用二次函数求最值的方法求