新高考数学二轮复习 模块五 解三角形与平面向量（测试）（解析版）

模块五解三角形与平面向量（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0．故选：B．2．在SKIPIF1<0中，点D，E分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．两式相减，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．3．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．3SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．16【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0成等差数列，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故选：B.4．在△SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：B5．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则此三角形的解的情况是（

）A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解但解的个数不确定【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0只能为锐角，即SKIPIF1<0，故该三角形只有一解．故选：A.6．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依题意平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，建立如图所示平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以原点为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆上，SKIPIF1<0表示以原点为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆上的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离，所以，根据圆的几何性质可知：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0与原点的距离.故选：C7．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0对应边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且角SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为角SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.8．已知在SKIPIF1<0所在平面内，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立；SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0的最大时,即SKIPIF1<0最小时，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】易知SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故A错误；易知：SKIPIF1<0，故B正确；易知SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，故D正确.故选：BCD10．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，下列与SKIPIF1<0有关的结论，正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是等腰直角三角形C．若SKIPIF1<0是锐角三角形，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积，则SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对于A中，因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以A正确；对于B中，因为SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；对于C中，由SKIPIF1<0是锐角三角形，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是锐角三角形，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递减函数，所以SKIPIF1<0，所以C正确；对于D中，如图所示，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点，所以点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离的SKIPIF1<0倍，所以SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离的SKIPIF1<0，由三角形的面积公式，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ACD.11．如图，已知SKIPIF1<0的内接四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0B．该外接圆的半径为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】对于A，连接AC，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四边形ABCD的面积为SKIPIF1<0，A正确；对于B，设外接圆半径为R，则SKIPIF1<0，故该外接圆的直径为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，B正确；对于C，连接BD，过点O作SKIPIF1<0于点G，过点B作SKIPIF1<0于点E，则由垂径定理得：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影长为1，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向，故SKIPIF1<0，C正确；对于D，由C选项可知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由对称性可知：DO为SKIPIF1<0的平分线，故SKIPIF1<0，由A选项可知：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0为锐角，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D错误.故选：ABC12．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上中点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0面积为1，则三条高的乘积的平方的最大值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对于A项，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0显然不符题意，或者SKIPIF1<0也不符合题意，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B项，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故B错误；对于C项，由余弦定理知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得等号，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D项，不妨设SKIPIF1<0三边上的高分别SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据余弦定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得等号，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在圆的内接四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】3【解析】连接SKIPIF1<0，如图：在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.14．某校数学建模社团对山西省朔州市的应县木塔的高度进行测量.如图，该校数学建模社团成员在应县木塔旁水平地面上的SKIPIF1<0处测得其顶点SKIPIF1<0的仰角分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米，则该校数学建模社团测得应县木塔的高度SKIPIF1<0米.【答案】70【解析】设SKIPIF1<0米，则SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.故答案为：SKIPIF1<0.15．在SKIPIF1<0中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<06【解析】如图所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为6.故答案为：SKIPIF1<0；616．如图，在圆内接四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为圆的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形；以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立如下图所示的平面直角坐标系：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0的值【解析】（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.18．（12分）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,因SKIPIF1<0为锐角三角形，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．19．（12分）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对边的长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的一点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0．由正弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，代入可得SKIPIF1<0.20．（12分）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，求SKIPIF1<0的余弦值．【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由正弦定理得SKIPIF1<0．因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．21．（12分）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0长为1.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.【解析】（1）由题可知SKIPIF1<0，由勾股定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）方法一：由题可知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，②在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，③将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，④由①④得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的长为2.方法二：作SKIPIF1<0的角平分线，交SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIP