辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试数学（理）试题

2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）A．B．C．D．4．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（）A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面5．若实数满足，则的最大值为（）A．3B．4C．6D．86．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A．B．1C．D．7．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．48．已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．如果下面程序框图运行的结果，那么判断框中应填入（）A．B．C．D．10．函数，若，，，则有（）A．B．C．D．11．直线与圆有公共点，则的最大值为（）A．B．C．D．212．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为．14．若，则．15．在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为．16．已知是双曲线的左焦点，过点倾斜角为30°的直线与的两条渐近线依次交于两点，若，则的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列满足，数列的前项和记为，且.（1）分别求出的通项公式；（2）记，求的前项和.18．某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入；（2）在2011年至2017年中随机选取三年，记表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数，求的分布列和.19．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，底面，分别是的中点.（1）证明：直线平面；（2）设二面角为30°，且，，求四棱锥的体积.20．已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.21．设函数在开区间内有极值.（1）求实数的取值范围；（2）若，.求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线的极坐标方程为，曲线.（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设点是曲线上的动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标.23．选修45：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：.2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题15:CAACB610:CDCAD11、12：BB二、填空题13．1814．15．16．2三、解答题17．解：（Ⅰ）因为所以当时，；当时，所以，故设，则所以，则所以因此，即（Ⅱ）由（1）知即所以18．解：（Ⅰ）由题，，，代入得，当时，（千元）可取0，1，2，3.，则的分布列为：0123则19．解：（Ⅰ）取中点，连结.因为是中点，所以且又因为且，且是的中点，所以且.所以四边形是平行四边形.于是.又平面，平面因此平面.（Ⅱ）四棱锥底面是平行四边形，且，所以，又因为，所以两两互相垂直以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则.连结，由.是中点.又平面.又平面.即平面的法向量.设，所以.设平面的法向量为.由，.令.由二面角为所以，即，解得所以四棱锥的体积.20．解：（Ⅰ）由题意，，根据椭圆定义，所以所以，因此，椭圆（用待定系数法，列方程组求解同样给分）（Ⅱ）设直线，，由消去y得因为，所以即，解得所以，21．(Ⅰ)解：或时，由在内有解．令不妨设，则，，所以解得(Ⅱ)解:由或，由或，得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．由，得，由得，所以.因为，，所以因为（）令则所以在上单调