专题38 直线的方程-2025年高考数学二轮复习考点突破(原卷)

高中数学精编资源2/2专题38直线的方程8题型分类1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．（一）1.正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．2.直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．3.一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．题型1：求直线的倾斜角1-1．（2024高二上·江苏无锡·期末）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是．1-2．（2024高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是1-3．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．1-4．（2024·湖南·模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（

）A． B． C． D．1-5．（2024高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么.1-6．（陕西省渭南市白水县2023~2024学年高一上学期期末数学试题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．题型2：求直线的斜率2-1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直2-2．（2024高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（

）A． B． C．1 D．02-3．（2024高二上·广东）如图，若直线的斜率分别为，则（

）

A． B．C． D．2-4．（2024高二下·广东广州·期末）在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．2-5．（2024高三·全国·专题练习）设，则（

）A． B． C． D．2-6．（2024·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A． B． C． D．题型3：三点共线问题3-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．123-2．（2024高二上·黑龙江·期末）若三点，，共线，则实数的值是（

）A．6 B． C． D．23-3．（2024高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为A．1 B． C． D．题型4：过定点的直线与线段相交问题4-1．（2024高一下·浙江宁波·期中）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．4-2．（2024高一下·广东惠州·期末）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4-3．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或或（二）求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．题型5：求直线的方程5-1．（2024高三·全国·专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（

）A． B．C． D．5-2．（2024高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或5-3．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（

）A． B． C． D．5-4．（2024高二上·福建漳州·期中）在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．5-5．（2024高二·全国·课后作业）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（三）1.（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说.（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式.在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.2.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．题型6：直线与坐标轴围成的三角形问题6-1．（2024高三·河北衡水·周测）若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为．6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.6-3．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.6-4．（2024高三上·江苏无锡·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.（1）当取得最小值时，求直线的方程；（2）求面积的最小值.（四）若直线与直线的夹角为，则.题型7：两直线的夹角问题7-1．（2024高三上·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于7-2．（2024高三·全国·课后作业）直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为.7-3．（2024高三·上海·专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是．（五）解含有参数的直线恒过定点问题的方法方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．题型8：直线过定点问题8-1．（2024高二上·上海徐汇·期中）已知实数满足，则直线过定点.8-2．（2024高三上·福建南平·阶段练习）直的方程为，则该直线过定点．8-3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则．

一、单选题1．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·山东淄博·期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．（2024高二·全国·课堂例题）过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（

）A．1 B．5 C． D．4．（2024高二上·吉林白城·期中）直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（

）．A． B． C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（2024高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或07．（2024高三·全国·课后作业）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．8．（2024高二·全国·课后作业）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．10．（2024高二·全国·课后作业）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（

）A．斜率为2的一条直线B．斜率为的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）11．（2024高二上·北京海淀·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程是（

）A． B．C． D．12．（2024高二上·天津滨海新·阶段练习）方程表示的直线可能是（

）A． B．C． D．13．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．14．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A． B．C． D．15．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．120° D．150°16．（2024高三·全国·课后作业）若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)17．（2024高三·全国·课后作业）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·湖北荆门·阶段练习）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°19．（2024·北京丰台·一模）已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（）A．1 B． C． D．﹣320．（2024高一下·湖南长沙·期末）直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．21．（2024高一下·四川达州·期末）已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题22．（2024高三·全国·专题练习）下列说法是错误的为（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．23．（2024高三·全国·专题练习）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（

）A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α124．（2024高二上·山东青岛·期中）若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（

）A． B．C． D．三、填空题25．（2024高三上·上海宝山·阶段练习）已知直线，则与的夹角大小是.26．（2004·重庆）曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）27．（2024高二·全国·课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为．28．（2024·陕西咸阳·二模）直线恒过定点A，则A点的坐标为．29．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为.30．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：．31．（2024高二上·四川成都·期中）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为．32．（2024高二·江苏·专题练习）已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是.33．（2024高二上·黑龙江伊春·阶段练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是.34．（2024高二上·全国·专题练习）P(x，y)在线段上运动，已知，则的取值范围是.35．（2024高二上·山西晋城·期中）若某直线经过A（，），B（1，）两点，则此直线的倾斜角为.36．（2024高二上·山东日照·阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是．37．（2024高二·全国·课后作业）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为条．38．（2024高一·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为.39．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）若点三点共线，则的值为．40．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为，.41．（2024高三·全国·专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为；42．（2024高三·全国·专题练习）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为；43．（2024高三·全国·专题练习）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为．44．（2024高三·上海·专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为．45．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l与直线的斜率相等，直线l与x轴的交点为，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为．46．（2024高三·全国·专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是．四、解答题47．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．48．（2024高二上·北京怀柔·期中）已知直线经过点，为坐标原点．(1)若直线过点，求直线的方程，并求直线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)如果直线在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．49．（2024高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.50．（2024高二上·江西吉安·阶段练习）过点的动直线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点.（Ⅰ）求(为坐标原点)的面积最小值，并求取得最小值时直线的方程.（Ⅱ）设是的面积取得最小值时的内切圆上的动点，求的取值范围.51．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知直线：．（1）求经过的定点坐标；（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；②当取最小值时，求直线的方程．52．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线经过定点P．(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．53．（2024高二上·上海杨浦·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．

(1)若的面积为4，求直线l的方程；(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．54．（2024高三·全国·对口高考）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨