2025版零基础数学一轮复习第01讲 等式与不等关系

第01讲等式与不等关系1.等式的性质条件结论性质1:如果a=b性质2:如果a=b,b=c那么a=c性质3:如果a=b那么a±c=b±c性质4:如果a=b那么ac=bc性质5:如果a=b,c≠0那么2.不等式的基本性质条件结论性质1:对称性如果a>b性质2:传递性如果a>b,b>c那么a>c性质3:可加性如果a>b那么a±c>b±c性质4:可乘性如果a>b,c>0那么ac>bc性质5:加法法则如果a>b,c>d那么a+c>b+d性质6:乘法法则性质7:乘方法则如果a>b>0那么a">b">0性质8:开方法则如果a>b>0那么Na>"b>03.比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步，一结论”,这里的“变形”一步最为关键.里的“变形”一步最为关键.注1:有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；作差，予以比较；注2:含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断.注意分类合理恰当.作商法：注注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.例题1.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入”的是()A.80+20n≥300B.80+20n≤300c.80+20(n-1)≥300D.80+20(n-1)≤300【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过n年之后，方案B的投入为80+20(n-1),故经过n年之后，方案B的投入不大于方案A的投入，即80+20(n-1)≤300题型归类练宽、高分别为a、b、c(单位：cm),这个规定用数学关系式可表示为()A.a+b+c≤MB.a+b+c>M【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.【详解】∵长、宽、高之和不超过Mcm,2.某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为()【分析】利用题设条件即得.【详解】数学成绩x不低于100分表示为x≥100,英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200<y+z<240,即(2)如果a<b<0,那么下面不等式一定成立的是()A.a-b>0B.ac<bcA.a²>b²c.|a|>|6|又a²-b²=(a-b)(a+b),所以a²-b²>0,所以a²>b²成立，,所以2.若a,b,c为实数，且a<b,则下列不等关系一定成立的是()A.ac²<bc²C.ab<b²D.a+c<b+c【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.例题1.下列四个代数式①4mn,②m²+4n²,③4m²+n²,④m²+n²,若m>n>0,则代数式的值最大的【答案】③【分析】利用作差法比较大小即可.【详解】∵m>n>0,令②-①得：m²+4n²-4mn=(m-2n²>0,∴②>①,令③-②得：4m²+n²-m²-4n²=3m²-3n²>0,∴③>②,令③-④得：4m²+n²-m²-n²=3m²>0,∴③>④,∴代数式的值最大的是③.故答案为：③例题2.已知c>1,且x=√c+1-√c,y=√c-√c-1,则x,y之间的大小关系是()A.x>yB.x=yC.x<yD.x,y的关系随c而定【详解】由题设，易知x,y>0,又1.(多选)对于实数a,b,c,正确的命题是()【答案】ABD【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A,因为a>b,所以对选项C,令a=2,b=3,满足,不满足a>0,b<0.2.随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为()A.第一种B.第二种C.两种一样D.不确定【答案】A【分析】设第一次的油价为x₁,第二次的油价为x₂,且x₁≠x₂,计算出两种加油方式的平均油价，比较大小后可得出结论.【详解】设第一次的油价为x₁,第二次的油价为x2,且x₁≠x₂,第一种加油方式的平均油价为第二种加油方式的平均油价为A.(-2,0)B.(0,2)C.(-8,6)D.(-6,8)【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为0<x<4,0<y<6,所以0<2x<8,-6<-y<0,所以-6<2x-y<8,例题2.(多选)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则4x+y可能取的值为()A.1B【分析】令4x+y=m(x+y)+n(2x-y),根据,求得m,n的值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由题意，实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,令4x+y=m(x+y)+n(2x-y),,解得m=2,n=1,所以4x+y=2(x+则-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9,所以2≤4x+y≤15.题型归类练【分析】根据同向不等式的结算规则求解即可得出答案.【详解】根据题意，4≤4a≤8,-8≤-2b≤-42.(1)已知2<x<3,2<y<3,求x-y和的取值范围；(2)已知2<x+y≤4,-1<x-y<3,求3x+y的取值范围.【答案】(1)-1<x-y<1,;(2)3<3x+y<11.【分析】(1)根据不等式的性质求解(2)由待定系数法配凑后求解【详解】(1)∵2<y<3,∴-3<-y<-2又∵2<x<3,∴(2)设3x+y=a(x+y)+b(x-y),得1.下列说法正确的为()A.x与2的和是非负数，可表示为“x+2>0”B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且a+c>b且b+c>a”D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度t可表示为“7℃<t<13℃”【解题思路】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.对于B,应表示为“x<y”,故A,B,D错误.2.下列不等式正确的是()C.若a+b>0,c-b>0,则a>cD.若a>0,b>0,m>0,且a<b,则【解题思路】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.【解答过程】对于A,当c=0,a=-1,b=2时满足ac²≥bc²,但a<b,但a<c,对于C,由不等式的基本性质易知a+c>0,当a=-1,,c=2时满足a+b>但a<c,对于D,,,,故D正确.3.若a>b>1,若m=a²-b,n=b²-a,则m与n的大小关系是()A.m>nB.m=nC.m<nD.m≥m【解题思路】利用作差法分析判断.【解答过程】由题意可得：m-n=(a²-b)-(4.已知a,b,c,d均为实数，下列不等关系推导成立的是()A.若a>b,c<d=a+c>b+dB.若a>b,c>d=ac>bdC.若bc-ad>0,D.若a>b>0贝则选项D判断正确.A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)【解题思路】利用不等式的性质得到-3y的范围，再和x的范围相加即可.【解答过程】:-3<y<1,A.{yl0≤y≤9}B.{yl-5≤y≤4}C.{y|1≤y≤13}D.{y|0≤y≤13}得利用不等式的性质进行运算即可得答案.则{7.同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢?()A.爸爸B.妈妈C.一样D.不确定【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解.,8.比较大小：【解题思路】(1)利用做差法比较大小即可；(2)利用做差法比较大小即可.【解答过程】(1)因为a²+b²-2(a-b-1)=(a-1)²+(b+1)²≥0,所以a²+b²≥2(a-b-1);(2)因为a<0,b<0,所以【解题思路】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.【解答过程】因为2<a<3,-2<b<-1,所以2+(-2)<a+b<3+(-1),所以ab的取值范围是(-6,-2).10.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好