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文档简介
百校联盟2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,在区间上单调递减的是()A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合,则=()A. B. C. D.4.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.5.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.6.函数的一个单调递增区间是()A. B. C. D.7.在钝角中,角所对的边分别为,为钝角,若,则的最大值为()A. B. C.1 D.8.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()A. B. C. D.9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.10.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.11.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.6312.若干年前,某教师刚退休的月退休金为6000元,月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼,目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元,则目前该教师的月退休金为().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.14.直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是______.15.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是_______.16.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,椭圆的长轴长为,点、、为椭圆上的三个点,为椭圆的右端点,过中心,且,.(1)求椭圆的标准方程;(2)设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点(异于、),且满足,试讨论直线与直线斜率之间的关系,并求证直线的斜率为定值.18.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.19.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数在上的值域;(Ⅱ)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.20.(12分)等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.21.(12分)随着改革开放的不断深入,祖国不断富强,人民的生活水平逐步提高,为了进一步改善民生,2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等.其中前两项的扣除标准为:①赡养老人费用:每月扣除2000元②子女教育费用:每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下:级数一级二级三级四级每月应纳税所得额(含税)不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025(1)现有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要赡养老人,除此之外,无其它专项附加扣除.请问李某月应缴纳的个税金额为多少?(2)为研究月薪为20000元的群体的纳税情况,现收集了某城市500名的公司白领的相关资料,通过整理资料可知,有一个孩子的有400人,没有孩子的有100人,有一个孩子的人中有300人需要赡养老人,没有孩子的人中有50人需要赡养老人,并且他们均不符合其它专项附加扣除(受统计的500人中,任何两人均不在一个家庭).若他们的月收入均为20000元,依据样本估计总体的思想,试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望.22.(10分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由每个函数的单调区间,即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增,而在递减.故选:C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题.2、A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系3、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的补集,然后求【详解】,所以.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.4、B【解析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.5、D【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.6、D【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式,再根据三角函数单调区间的求法,求得的单调区间,由此确定正确选项.【详解】因为,由单调递增,则(),解得(),当时,D选项正确.C选项是递减区间,A,B选项中有部分增区间部分减区间.故选:D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,数形结合思想,应用意识.7、B【解析】
首先由正弦定理将边化角可得,即可得到,再求出,最后根据求出的最大值;【详解】解:因为,所以因为所以,即,,时故选:【点睛】本题考查正弦定理的应用,余弦函数的性质的应用,属于中档题.8、A【解析】
将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可.【详解】解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相同,∵四面体所有棱长都是4,∴正方体的棱长为,设球的半径为,则,解得,所以,故选:A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题,解决本题的关键在于,巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙转化,属于中档题.9、C【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.11、B【解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.12、D【解析】
设目前该教师的退休金为x元,利用条形图和折线图列出方程,求出结果即可.【详解】设目前该教师的退休金为x元,则由题意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故选D.【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.14、;【解析】
求出圆心坐标,代入直线方程得的关系,再由基本不等式求得题中最小值.【详解】圆:的标准方程为,圆心为,由题意,即,∴,当且仅当,即时等号成立,故答案为:.【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查圆的标准方程,解题方法是配方法求圆心坐标,“1”的代换法求最小值,目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”.15、(1,)【解析】
在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2],等价转化为与的图像在(1,)上恰有两个交点,考虑相切状态可求a的取值范围.【详解】由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点考查临界情形:与切于,.故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,把已知条件进行等价转化是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.16、.【解析】分析:由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解:由题意可知了,比赛可能的方法有种,其中田忌可获胜的比赛方法有三种:田忌的中等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的下等马,田忌的上等马对齐王的中等马,结合古典概型公式可得,田忌的马获胜的概率为.点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)利用题中条件先得出的值,然后利用条件,结合椭圆的对称性得到点的坐标,然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值,从而确定椭圆的方程;(2)将条件得到直线与的斜率直线的关系(互为相反数),然后设直线的方程为,将此直线的方程与椭圆方程联立,求出点的坐标,注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标,最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把点代入椭圆方程,求得,所以椭圆方程为;(2)由题易得直线、斜率均存在,又,所以,设直线代入椭圆方程,化简得,其一解为,另一解为,可求,用代入得,,为定值.考点:1.椭圆的方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.两点间连线的斜率18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)把代入,可得,令,求出其在上的值域,利用对数函数的单调性即可求解.(Ⅱ)根据对数函数的单调性可得在上单调递增,再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.【详解】(Ⅰ)当时,,此时函数的定义域为.因为函数的最小值为.最大值为,故函数在上的值域为;(Ⅱ)因为函数在上单调递减,故在上单调递增,则解得,综上所述,实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质,属于中档题.20、(1),;(2).【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式;(2)求出数列的通项公式,再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.【详解】(1)依题意得:,所以,所以解得设等比数列的公比为,所以又(2)由(1)知,因为①当时,②由①②得,,即,又当时,不满足上式,.数列的前2020项的和设③,则④,由③④得:,所以,所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质,错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.21、(1)李某月应缴纳的个税金额为元,(2)分布列详见解析,期望为1150元【解析】
(1)分段计算个人所得税额;
(2)随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率,列出分布列,求期望即可.【详解】解:(1)李某月应纳税所得额(含税)为:296
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