2024-2025学年福建省福州市高二上学期阶段一考试数学检测试题

2024-2025学年福建省福州市高二上学期阶段一考试数学检测试题单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1．若直线x+y﹣1＝0是圆（x﹣m）2+（y﹣1）2＝1的一条对称轴，则m＝（）A．0 B．1 C．2 D．42．“a＝1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x+y＝0互相垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．向量，，且，若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或4．下列命题正确的是（）A．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l∥α B．若，则存在唯一的实数λ，使 C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D．若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为5．已知正方体ABCD﹣EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（）A． B． C． D．6．已知点A（2，﹣3），B（﹣5，﹣2），若直线l：mx+y+m﹣1＝0与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．B． C． D．7．点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时l的直线方程分别为（

）A．； B．；C．； D．；8.边长为1的正方体中，，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线l：，则下列结论正确的是（）A．直线l的倾斜角是30°B．过点与直线l平行的直线是C．直线到直线l的距离为D．若直线m：，则l⊥m10．下列说法正确的是（）A．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面 B．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则 C．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为1，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线 D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则向量在基底下的坐标为11．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，则下列说法中正确的是（）A．长方体外接球的表面积等于7π B．P是线段BD上的一动点，则PA+PB1的最小值等于3 C．点A1到平面点C1BD的距离等于 D．二面角A1﹣BD﹣A的正切值等于2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．两条直线2x+3y﹣k＝0和x﹣ky+12＝0的交点在y轴上，那么k的值是．13．已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为已知P，Q分别在直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣4，6），B（5，﹣1），则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知ΔABC的顶点为，，，求：（1）边AC上的中线所在直线的方程；（2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.16．(15分)如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求平面A1BD与平面A1DC1的夹角的余弦值．17．（15分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线必过定点M；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值．18.（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作．（1）若，，求的斜60°坐标；（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．①若，求向量的斜60°坐标；②若，且，求．19.（17）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”．现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，