《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计一、教学目标：

教学目标：

知识与技能目标:

（1）知识目标：

理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；

了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，并能用通项公式解决一些简单的实际问题．

（2）过程与方法目标:

会判断一个数列是等差数列，会用等差数列通项公式，由an，a1，n，d的三个量求另外一个量．

经历等差数列的探究过程，发展学生观察分析、归纳总结能力，及知识、方法的迁移能力．

（2）情感与态度目标：

通过对等差数列定义的研究，养成学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

通过对等差数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神．

二、教学的重点、难点

重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.

2.等差数列的通项公式的推导及应用.

难点：1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；

2.从方程的观点看通项公式并解决一些简单的实际问题．

三、课型:新授课

四、教具学具准备:多媒体、课件.

五、教学方法:启发发现法、诱导思维法、类比分析法、分组讨论法、讲练结合法．

六、教学过程：

（一）创设情境引入课题(约2分钟)

通过上节课学习内容，引入本节课.前面我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法—通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映了数列的特点，本节课我们来研究一

个特殊的数列．

幻灯片展示两则小故事，引导阅读两则小故事，激发学生学习的兴趣,引入新课．

1．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…

（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）

2．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…

（问：多少天后他的单词量达到3000？）

学生仔细观察，认真思考．

（板书课题）

（教学设想：创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到

一般的认知能力．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．）

（二）、新课探究，推导公式

1.等差数列的概念．(约10分钟)

引导学生观察下面几组列数，并分析它们的共同特点，归纳出等差数列的定义．

观察下面几组列数，并分析它们的共同特点：

38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.

10500,10000,9500,9000,8500,8000,7500.

2，2，2，2，2，2，2，2……

学生积极思考，找出上述数列的共同特点．师生共同归纳出等差数列的定义．

定义：一般地,如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

数学语言：an－an－1=d

（d是常数，n≥2，n∈N*）

师生共同分析等差数列的定义，对等差数列进一步的理解，培养学生的观察归纳能力．

强调定义的理解：

第二项起；

每一项与它的前一项的差,不能颠倒；

“同一个常数”，可以是整数，也可以是0和负数；

求公差d时，可以用d=an–an－1，也可以用d=an+1–an；

d=an–an－1或d=an+1–an是证明或判断等差数列的依据；

公差d∈R，当d=0时，数列为常数列，d>0时,数列为递增数列，d<0时,数列为递减数列．

练习：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d.

(1)3，0，-3，-6，-9；

(2)

(3)lg1，lg2，lg4，lg8，lg16；

(4)

(5)

(6)–1，1，-1，1，–1，1．

（教学设想：通过练习，加深对概念的理解）

2．等差数列的通项公式：(约8分钟)

方法一：不完全归纳法

如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：

即：

即：

即：

……

［提出问题］：如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么这个等差数列的通项公式如何表示？

由此可得：

验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就

是等差数列{an}的通项公式.

［教师此时指出］：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明］．

在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法-叠加法：

方法二：叠加法

将这（n－1）个等式左右两边分别相加，则可得：

an-a1=(n-1)d

an=a1+(n-1)d

验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而

它就是等差数列{an}的通项公式.

由此得到等差数列的通项式

an=a1+(n-1)d

an第n项

a1首项

n项数

d公差

强调理解：

已知a1与d,可以求得数列中的任一项，也可以检验某数是否为该数列中的一项；

在an，a1，n，d这四个变量中，知道其中三个量就可以求余下的一个量，即知三求一.

（三）应用例解:(约15分钟)

例1.(1)求等差数列8，5，2,……的第20项．

(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13……的项？如果是，是第几项？

(1)分析：由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20，强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字．

解：由题意得，a1=8,d=-3

∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49

(2)分析：实际上是求一个方程的正整数解的问题．这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立．

解：由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401

an=a1+(n-1)d

-401=-5+(n-1)×(-4)

∴n=100

∴-401是这个数列的第100项．

例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d．

分析：等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系．当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量．

解：由题意，

即

解之得a1=-2

d=3.

思考:已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组．现在能求出任一项吗？比如能求出a25吗？

解：由上面所解得：

若不求首项只求公差，能求出a25吗？这种题型有简便方法吗？

通项公式的推广公式：

思考：已知等差数列{an}中，am,d是常数，如何任一项an的值.试求an的值.

解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：

-得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d

∴an=am+(n-m)d

由此得到通项公式的推广公式：an=am+(n-m)d

注意本公式当m≠n有一个变式：

强调理解：已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项.

例3.已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12和a3n.

分析：已知等差数列中的a3和a9，可以先利用公式求出公差d，再用公式求出a12和a3n.

解:由公式得：

(四)．练习反馈强化目标(约8分钟)

P113练习第1题和第2题．

（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问，教学设想：对学生进行基本技能训练,培养学生的计算速度和计算能力.）

（五）归纳小结提炼精华(约2分钟)

本节课我们主要学习了：

1.等差数列的概念及数学表达式：an-an-1=d(n≥2)，要会由定义判定一个数列是否等差数列.

2.等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d（n∈N*），能灵活应用通项公式（应用方程的思想，会知三求一）.

3.还要注意对一个重要的推广公式an=am+(n-m)d的理解与应用．

（六）课后作业运用巩固．

（1）课本P114习题3.2第1，2，3题．

（2）预习课本P112-113.

预习提纲：1.例三，例四，如何由等差数列的定义及通项公式解决实际问题；

2.什么是数列的等差中项，它有哪些性质？

3.