21.3 实际问题与一元二次方程（练习题+答案解析）

221.3实际问题与一元二次方程▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓一、选择题（共8小题）1．（2023秋•交口县期末）据国家统计局发布的《2023年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为A． B． C． D．2．（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是A． B． C． D．3．（2023秋•怀仁市期末）如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是A． B． C． D．4．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为A． B． C． D．5．（2023秋•仁寿县期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则秒后，的面积等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或46．（2023秋•武隆区期末）将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为A． B． C． D．7．（2024•阿城区三模）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是A． B． C． D．8．（2024•临沭县一模）苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间．该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为，则依题意可列方程为A． B． C． D．二、填空题（共8小题）9．（2024春•姜堰区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的，设圆的半径为，可得方程．10．（2024春•东阳市期中）为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为，则可列方程．11．（2024春•莱芜区期末）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，那么到会的人数是．12．（2023秋•岳阳期末）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为．13．（2024•鹿城区校级开学）某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来的100元涨到144元，则平均每次涨价的百分率为．14．（2024春•任城区校级期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为．15．（2024春•文登区期末）某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程．16．（2024春•北京期末）随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份的销售量为9.68万台，若销售量的月平均增长率相同，均为，则可列方程为．三、解答题（共8小题）17．（2023秋•邻水县期末）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．（1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；（2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．18．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？19．（2024•宝安区校级模拟）2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．（1）求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率．（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？20．（2024春•安庆期中）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．（1）若的面积是面积的，求的值？（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．21．（2024春•南岗区校级月考）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元个，露天车位1000元个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？22．（2024•凉州区二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？23．（2024春•田阳区期末）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．（1）无盖方盒盒底的长为，宽为（用含的式子表示）．（2）若要制作一个底面积是的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长．24．（2024春•栖霞市期末）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．（1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率；（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？

一、选择题（共8小题）1．【答案】【分析】利用2023年全国居民人均可支配收入年全国居民人均可支配收入年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：．2．【答案】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得：，即．故选：．3．【答案】【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论．【解答】解：设小路的入口宽度为，由题意可得：，故选：．4．【答案】【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．【解答】解：由题意得，．故选：．5．【答案】【分析】设秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设秒后，的面积等于4，由题意得：，，则，，，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），即1秒后，的面积等于4，故选：．6．【答案】【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，则根据题意，列出关于的方程为：．故选：．7．【答案】【分析】如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，然后根据第二季度共生产零件182万个可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为、，．故选：．8．【答案】【分析】设第二、三季度投入资金的平均增长率为，根据该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，列出方程即可．【解答】解：设第二、三季度投入资金的平均增长率为，则．故选：．二、填空题（共8小题）9．【分析】根据正方形面积是圆面积的，列出方程即可．【解答】解：设圆的半径为，由题意得．故答案为：．10．【答案】．【分析】设受益学生人次的平均增长率为，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解．【解答】解：设受益学生人次的平均增长率为，根据题意得：．故答案为：．11．【答案】11．【分析】设到会的有人，根据参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了55次，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设到会的有人，由题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），故答案为：11．12．【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程即可．【解答】解：依题意，得：，故答案为：．13．【答案】．【分析】设平均每次涨价的百分率为，利用增长率问题可得，然后解方程求出，再进行检验确定答案．【解答】解：设平均每次涨价的百分率为，根据题意得，，解得，，（舍去），答：平均每次涨价的百分率约为．故答案为：．14．【分析】设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：设运动时间为，则，，依题意，得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）．故答案为：2．15．【答案】．【分析】利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故答案为：．16．【答案】．【分析】设月平均增长率为，根据三月及五月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故答案为：．三、解答题（共8小题）17．【答案】（1）；（2）21万元．【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为辆，利用该汽车企业2022年新能源汽车销售总量该汽车企业2020年新能源汽车销售总量该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率），可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论；（2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为辆，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为；（2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据题意得：，整理得：，解得：，，又要尽量让利于顾客，．答：下调后每辆汽车的售价为21万元．18．【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据题意得：，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）（人．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．19．【分析】（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为，根据2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；（2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【解答】解：（1）设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为；（2）设该款吉祥物降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．20．【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系列方程求出的值，但方程无解．【解答】解：（1），，，整理得，解得．答：当时的面积为面积的；（2）当时，，整理得，△，此方程没有实数根，的面积不可能是面积的一半．21．【答案】（1）该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆；（2）小区最多可建室内车位21个．【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为，根据某小区2012年底拥有家庭轿车辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆列一元二次方程求出的值，进一步计算即可；（2）设该小区可建室内车位个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，据此列一元一次不等式组，求出的取值范围，据此即可解答．【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为，根据题意可得：，解得：或（舍去），（辆．答：该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆．（2）设该小区可建室内车位个，则露天车位个，根据题意可得：，解得：，为整数，小区最多可建室内车位21个．答