《移码与浮点表示》课件

移码与浮点表示计算机如何存储和表示数字？移码和浮点表示是两种常用的数字表示方法。数制的表示十进制十进制使用0到9这十个数字。每个数字的位置代表一个权值，从右到左依次为1、10、100等。二进制二进制使用0和1这两个数字。每个数字的位置代表一个权值，从右到左依次为1、2、4、8等。十六进制十六进制使用0到9以及A到F共16个数字。每个数字的位置代表一个权值，从右到左依次为1、16、256等。八进制八进制使用0到7这八个数字。每个数字的位置代表一个权值，从右到左依次为1、8、64等。位权和二进制位在计算机中，数字是以二进制形式存储的。每个二进制位都有一个对应的位权，它表示该位的值乘以2的幂次方。例如，十进制数10可以表示为二进制数1010，其中最高位的位权为23，最低位的位权为20。因此，1010可以表示为1×23+0×22+1×21+0×20=8+2=10。移码的表示及特点移码表示将真值加上一个常数得到移码。常数的大小等于该数的最高位的值乘以2的n次方，其中n为该数的位数。特点符号位和数值位统一便于比较大小便于溢出判断移码算术运算1加法运算移码加法与普通二进制加法相同，直接相加，最高位进位舍弃。2减法运算将减数的移码转换为补码，然后与被减数的移码进行加法运算。3乘法运算移码乘法与普通二进制乘法相同，直接相乘，最后根据符号位进行调整。4除法运算移码除法与普通二进制除法相同，直接相除，最后根据符号位进行调整。移码算术运算是在移码表示的基础上进行的，它具有以下特点：运算规则简单、便于硬件实现、适合于计算机内部进行数据处理。补码的表示及特点表示范围补码能够表示负数，扩展了计算机的表示范围，可以处理正负数运算。符号位最高位作为符号位，0代表正数，1代表负数，简化了运算逻辑。运算方便补码运算规则简单，加减运算统一，不需要区分正负数，方便计算机处理。溢出判断补码运算可以利用最高位的进位判断运算结果是否溢出，方便错误处理。补码算术运算1加法运算直接将两个补码相加2减法运算将减数的补码取反加一，并与被减数相加3溢出判断符号位是否发生变化，如果变化则发生溢出补码算术运算基于二进制运算，通过对补码进行加减运算来实现算术运算。由于符号位也参与运算，无需特殊处理负数的加减运算，简化了计算机的硬件设计。浮点数的表示符号位表示浮点数的正负性，0代表正数，1代表负数。指数部分表示浮点数的基数部分，决定浮点数的范围。尾数部分表示浮点数的有效数字部分，决定浮点数的精度。浮点数的标准表示1符号位表示数值的正负，用一位二进制位表示，0表示正数，1表示负数。2指数位表示浮点数的指数，用若干位二进制位表示，决定数值的范围。3尾数位表示浮点数的有效数字，用若干位二进制位表示，决定数值的精度。浮点数的表示范围浮点数的表示范围受到指数部分的位数限制，影响着可以表示的最大和最小值。10^38最大值单精度浮点数的最大值约为3.4×10^3810^-38最小值单精度浮点数的最小值约为1.4×10^-4510^308最大值双精度浮点数的最大值约为1.8×10^30810^-308最小值双精度浮点数的最小值约为4.9×10^-324浮点数的精度有限的位数浮点数使用有限的位数来表示小数部分。舍入误差精度受限，导致舍入误差，影响计算结果的准确性。影响因素浮点数的精度受指数位和尾数位的位数影响。浮点数的运算对阶将两个浮点数的阶码调整到一致，使它们的尾数能够进行加减运算。尾数运算对阶完成后，根据运算符进行尾数的加减乘除运算。规格化运算结果可能出现非规格化的形式，需要将其规格化，确保结果的正确性和精度。舍入由于浮点数的表示精度有限，运算结果可能需要舍入，以保证结果的有效性。浮点数的舍入错误1精度限制浮点数表示的精度有限，导致舍入误差。2舍入模式不同的舍入模式会导致结果略微不同，如四舍五入或向下取整。3累积误差多次运算后，舍入误差会累积，可能导致最终结果严重偏差。浮点数的上溢和下溢上溢当浮点数的值超过了其表示范围的最大值时，就会发生上溢。例如，在单精度浮点数中，如果计算结果超过了3.402823×1038，则会发生上溢。下溢当浮点数的值小于了其表示范围的最小值时，就会发生下溢。例如，在单精度浮点数中，如果计算结果小于了1.175494×10-38，则会发生下溢。浮点数标准的发展1早期浮点数标准早期浮点数标准通常由不同的计算机厂商定义，导致程序移植性和数据交换问题。2IEEE754标准1985年，IEEE754标准成为浮点数表示的行业标准，解决兼容性和精度问题。3扩展和改进近年来，随着对更高精度和性能的需求，IEEE754标准不断扩展和改进，以满足新兴应用。IEEE754浮点数标准统一标准IEEE754标准，也被称为“浮点数标准”，由美国电气与电子工程师协会（IEEE）制定。广泛采用该标准被几乎所有现代计算机系统所采用，为浮点数的表示和运算提供了统一规范。精度与范围标准定义了单精度（32位）和双精度（64位）两种格式，分别提供不同的精度和表示范围。运算规则标准还规定了浮点数的各种运算规则，包括加、减、乘、除以及特殊值处理等。IEEE754单精度浮点数符号位单精度浮点数使用1位表示符号，其中0表示正数，1表示负数。指数位使用8位来存储指数，采用移码表示，偏移量为127。尾数位使用23位存储尾数，采用规格化表示，隐含的最高位始终为1。IEEE754双精度浮点数符号位表示数值的正负，占1位。指数位表示浮点数的指数部分，占11位。尾数位表示浮点数的尾数部分，占52位。中间值和舍入模式11.舍入模式舍入模式决定了如何处理浮点数运算过程中产生的中间值，例如，将一个数四舍五入到最近的浮点数。22.舍入方向舍入方向可以是向上、向下、向零、向偶数等，不同的舍入方向会导致不同的结果。33.中间值在浮点数运算中，中间值是指在最终结果产生之前生成的临时数值。44.舍入精度舍入精度是指舍入模式应用于中间值的程度，例如，舍入到小数点后几位。浮点数的运算法则浮点数加法对阶，尾数相加，规格化。浮点数减法将减数符号取反，转为加法运算。浮点数乘法尾数相乘，阶码相加，规格化。浮点数除法尾数相除，阶码相减，规格化。浮点数加法运算1对阶将两个浮点数的阶码对齐2尾数相加将对阶后的两个浮点数的尾数相加3规格化将结果规格化，保证尾数的最高位为14舍入将结果舍入到指定的精度浮点数加法运算的过程类似于整数加法运算，但需要额外的步骤来处理阶码和尾数的差异。例如，将两个浮点数1.234e+2和5.678e+1相加。首先，对阶，将两个浮点数的阶码对齐，得到1.234e+2和0.5678e+2。然后，将两个浮点数的尾数相加，得到1.8018e+2。最后，将结果规格化，得到1.8018e+2。浮点数减法运算1对阶将两个操作数的指数部分对齐，使它们具有相同的指数，以便于进行减法运算。2尾数相减对阶完成后，对两个操作数的尾数部分进行减法运算。3规格化减法运算的结果可能需要进行规格化，以确保结果满足浮点数的标准表示形式。浮点数乘法运算1符号位异号则结果为负，同号则结果为正2尾数相乘将两个尾数相乘，并对结果进行规格化3阶码相加将两个阶码相加，并加上两个尾数相乘后产生的进位4舍入处理由于结果可能会超出浮点数的表示范围，需要进行舍入处理浮点数的乘法运算比较复杂，需要考虑符号位、尾数、阶码等多个因素。由于浮点数的表示范围和精度有限，在进行乘法运算时，可能会出现舍入错误或溢出错误。浮点数除法运算对阶将两个浮点数的指数部分调整到一致，以便进行除法运算。尾数相除将两个浮点数的尾数部分进行除法运算，得到结果的尾数部分。指数运算将结果的指数部分根据除法运算规则进行计算，得出结果的指数部分。规格化对结果的尾数部分进行规格化处理，使其满足浮点数的表示规范。浮点数的特殊值零浮点数表示的零值可以是正零或负零，由符号位决定。它们在数值上相等，但表示不同的极值或边界情况。无穷大浮点数表示的无穷大，用于表示超出浮点数表示范围的数值，例如除以零或计算结果超过了浮点数的最大值。NaNNaN表示“非数字”，用于表示无法表示为有效数值的结果，例如0除以0或计算结果超出浮点数的最大值。特殊值的应用特殊值在浮点数的计算和处理中扮演重要角色，例如在异常检测、边界处理、数据分析等方面。浮点数的比较精度限制浮点数的精度有限，可能导致比较结果不精确，例如两个接近的浮点数可能会被视为相等。特殊值NaN和无穷大等特殊值需要特殊处理，比较时要谨慎。比较方法直接比较，但可能导致精度问题使用容差值，比较两个浮点数之间的差值是否小于容差值使用特定函数，例如`isclose()`或`allclose()`浮点数的应用科学计算用于表示非常大的数字或非常小的数字，例如天体物理学、量子物理学。图形处理用于表示像素的颜色、位置、大小等信息，例如图像处理、计算机图形学。金融领域用于表示货币金额、利率、投资回报率等信息，例如股票交易、银行业务。人工智能用于表示神经网络模型的参数，例如机器学习、深度学习。浮点数的优缺点优点广泛应用于科学计算、图形处理等领域，效率高。可表示很大的范围，方便处理各种数据。缺点精度有限，存在舍入误差。无法准确表示某些数值，可能导致结果偏差。浮点数的发展趋势11.精度提高未来浮点数将继续提高精度，更准确地表示真实世界的数字。22.扩展范围浮点数表示范围将进一步扩展，以处理更大的数字和更小的数字。33.硬件加速随着硬件技术的进步，浮点数运算将得到加速，提高效率和性能。44.标准统一浮点数标准将更加统一，减少不同平台之间的数据兼容性问题。总结与思考移码和补码移码和补码是计算机中重