2024-2025学年新教材高考数学第4章数列2.1等差数列的概念第2课时含解析选修2

PAGEPAGE12等差数列的概念(第2课时)素养目标学科素养1.能够依据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质．2．能够运用等差数列的性质解决有关问题．(重点、难点)3．能够运用等差数列的学问解决简洁的实际问题.1.数学运算；2．逻辑推理情境导学某展会期间，人流如织，总参观人数超过7000万．依据有关部门统计，某展馆7月上旬平均每天参观人数为20万，在后面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天削减1万人，在这段时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是与等差数列单调性有关的问题，让我们进一步相识等差数列的有关性质吧！1．(1)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q∈R)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成公差为md的等差数列．(1)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项是否还构成等差数列？提示：是．变更了首项，公差不变．(2)等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列？提示：是．公差为原来的2倍．2．(1)等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特殊地，若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则am＋an＝2at.推断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(×)(2)若数列{an}为等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差数列．(√)(3)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t，则am＋an＋ap＝3at.(×)1．已知{an}是等差数列，则下列数列中的{bn}也为等差数列的是()A．bn＝aeq\o\al(2,n) B．bn＝eq\f(1,an)C．bn＝a3n D．bn＝|an|C解析：{a3n}为等差数列，公差为原来的3倍．2．已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a9＝1，则a17的值为()A．20 B．18C．15 D．17B解析：∵a7＋a19＝a9＋a17＝19，∴a17＝18.3．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为()A．7 B．5C．3 D．1D解析：{2an－3bn}的公差为2d1－3d2＝4－3＝1.4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.10解析：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5.∴a2＋a8＝2a5＝10.【例1】(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值；(2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值；(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值．解：(1)(方法一)设{an}的公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))故a25＝a1＋24d＝4＋24×eq\f(3,2)＝40.(方法二)因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40.(方法三)因为5,15,25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40.(2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28.(3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41.若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质：(1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特殊地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.1．若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：∵a15＝8，a60＝20，∴d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(12,45)＝eq\f(4,15).∴a75＝a60＋15d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.2．已知{an}是等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵{an}是等差数列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝234.3．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解：设b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列，∴39＋b3＝2b2＝66，∴b3＝66－39＝27，即a3＋a6＋a9＝27.【例2】某公司经销一种产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的缘由，其利润每年比上一年削减20万元．依据这一规律，假如公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设第n年的利润为an万元，则a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴每年的利润可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20，∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．由an＝220－20n<0，得n>11.故从第12年起，该公司经销此产品将亏损．1．解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即细致阅读材料，细致理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即推断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．2．在利用数列方法解决实际问题时，肯定要弄清首项、项数等关键问题．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解：用数列{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.梯子中间各级的宽度从上而下依次是40cm,47cm，54cm，61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.【例3】已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式．解：(方法一)依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a1a2a3＝66，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝18，,a1a1＋da1＋2d＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝5.))∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.(方法二)设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，,a－daa＋d＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝±5.))又∵{an}是递减等差数列，∴d<0，∴a＝6，d＝－5.∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.∴an＝11＋(n－1)(－5)＝－5n＋16.【例4】在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数．解：记数列2,5,8，…，197为{an}，由已知，数列{an}的首项为2，公差为3，∴通项公式为an＝3n－1.记数列2,7,12，…，197为{bm}，则bm＝5m－3，若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同，即an＝bm，∴3n－1＝5m－3，∴n＝eq\f(5m－2,3)＝m＋eq\f(2m－1,3).又n∈N*，∴必需有m－1＝3k，即m＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5m－3≤197，∴1≤m≤40，∴m＝1,4,7，…，40.∴两数列的相同项为2,17,32，…，197.记两数列的相同项构成的数列为{cn}，则{cn}的通项公式为cn＝15n－13，共有eq\f(40－1,3)＋1＝14个相同项．(1)等差数列的设项技巧：已知三个数成等差数列时，设为a－d，a，a＋d；已知四个数成等差数列时，设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(2)两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．1．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．解：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))化简，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).))所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.2．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，它们有多少个共同项？解：设两数列的共同项组成新数列{an}，则{an}是首项为11的等差数列．∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的公差分别为3与4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别为302与399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25.∵n∈N*，∴所给两数列有25个共同项．1．已知{an}是等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝48，则a6＋a7＝()A．12 B．24C．20 D．16B解析：由等差数列的性质可得2(a3＋a10)＝48，所以a3＋a10＝24，故a6＋a7＝a3＋a10＝24，故选B．2．在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，则3a12－a18的值为()A．24 B．36C．48 D．60C解析：设等差数列的公差为d，因为a3＋a6＋a9＋a12＋a15＝120，由等差数列的性质得a9＝24，所以3a12－a18＝3(a1＋11d)－(a1＋17d)＝2a1＋16d＝2(a1＋8d)＝2a9＝48.故选C．3．在等差数列{an}中，a1＝3，a4＝24，则a7＝()A．32 B．45C．64 D．96B解析：依据等差数列的性质有a1＋a7＝2a4，a7＝2a4－a1＝48－3＝45.故选B．4．已知等差数列{an}满意a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，则有()A．a1＋a11>0B．a2＋a10<0C．a3＋a9＝0D．a6＝6C解析：因为a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，所以由等差数列的性质得到5(a3＋a9)＋a6＝0，所以5(a3＋a9)＋eq\f(1,2)(a3＋a9)＝0，所以a3＋a9＝0.故选C．5．在等差数列{an}中，a12＝23，a42＝143，an＝239，求n及公差d.解：由题意可得，d＝eq\f(a42－a12,42－12)＝eq\f(143－23,30)＝4，∴a1＝－21.∵an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝239，解得n＝66.综上，n＝66，d＝4.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题．假如条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a1，d的方程组求解；假如条件与结论存在明显的特点，一般运用性质解决较为简捷．课时分层作业(四)等差数列的概念(第2课时)(60分钟100分)eq\f(基础对点练,基础考点分组训练)学问点1等差数列的性质1．(5分)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于()A．8 B．4C．6 D．12A解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.∴m＝8.2．(5分)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝()A．10 B．16C．20 D．24C解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20.3．(5分)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为()A．0 B．37C．100 D．－37C解析：∵{an}，{bn}是等差数列，∴{an＋bn}是等差数列．∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，∴数列{an＋bn}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100.得分4.(5分)已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________.n＋1或－n＋9解析：∵a3＋a5＝2a4＝10，∴a4＝5.∵a2a6＝(a4－2d)·(a4＋2d)＝25－4d2＝21，∴d2＝1.∴an＝n＋1或an＝－n＋9.学问点2等差数列的实际应用5．(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为()A．1升 B．eq\f(67,66)升C．eq\f(47,44)升 D．eq\f(37,33)升B解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))则a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，故第5节的容积为eq\f(67,66)升．6．(5分)过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，则k的取值不行能是()A．4 B．5C．6 D．7A解析：将x2＋y2＝10x化为(x－5)2＋y2＝52，表示圆心为C(5,0)，半径r＝5的圆．设A(5,3)，则AC＝3，故a1＝8，ak＝10.∴10＝8＋(k－1)d，∴k＝eq\f(2,d)＋1.∵eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,2)，∴5≤eq\f(2,d)＋1≤7，即5≤k≤7.学问点3等差数列的综合问题7.(5分)已知等差数列{an}满意a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,2)＝36，则a11的值为________．11解析：∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，∴a5＝2.∵aeq\o\al(2,8)－aeq\o\al(2,2)＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，∴d＝eq\f(3,2).∴a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.8.(5分)正项数列{an}满意a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.eq\r(19)解析：∵2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)，∴{aeq\o\al(2,n)}成等差数列，首项aeq\o\al(2,1)＝1，公差为aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＝3，∴aeq\o\al(2,n)＝3n－2，∴an＝eq\r(3n－2).∴a7＝eq\r(21－2)＝eq\r(19).9.(5分)在等差数列－5，－3eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________.eq\f(3,4)n－eq\f(23,4)解析：新数列的公差d＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(1,2)＋5))＝eq\f(3,4)，∴an＝－5＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)n－eq\f(23,4).eq\f(实力提升练,实力考点拓展提升)10.(5分)(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则()A．公差d＝－4B．a2＝7C．数列{an}为递增数列D．a3＋a4＋a5＝84BC解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.11．(5分)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝eq\f(2π,3)，则tan(a3＋a7)的值为()A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)D解析：∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝eq\f(2π,3).∴tan(a3＋a7)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).12．(5分)假如点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有()A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0C解析：∵3n－an－24＝0，∴an＝3n－24.∴a7＋a9＝2a8＝0.13．(5分)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>0C解析：∵等差数列{an}的公差为d，∴an＋1－an＝d.又∵数列{2a1an}为递减数列，∴eq\f(2a1an＋1,2a1an)＝2a1d<1，∴a1d<0.14.(5分)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值是________．16解