新教材2025版高中数学本册过关检测新人教A版必修第二册

本册过关检测一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2024·河北邯郸高一期末]在复平面内，复数z＝eq\f(1,1＋3i)(i为虚数单位)对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限2．[2024·湖南郴州高一期末]底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为()A．eq\r(6)πB．12πC．2eq\r(3)πD．2eq\r(6)π3．[2024·山东滨州高一期末]在△OAB中，点P满意eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，则()A．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))B．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))4．[2024·江苏苏州高一期末]某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采纳分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．16B．18C．27D．365．[2024·山东枣庄高一期末]抛掷两个质地匀称的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为()A．eq\f(1,7)B．eq\f(1,11)C．eq\f(5,36)D．eq\f(1,12)6．[2024·山东青岛高一期末]下列说法正确的为()A．互斥事务肯定是对立事务，对立事务不肯定是互斥事务B．事务A与事务B中至少有一个发生的概率肯定比A与B中恰有一个发生的概率大C．事务A与事务B中同时发生的概率肯定比A与B中恰有一个发生的概率小D．设A，B是一个随机试验中的两个事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)7．[2024·山东淄博高一期末]已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\f(1,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\f(1,3).若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋3b))＝()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．48．[2024·福建福州高一期末]A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB＝5，BC＝3，cos∠BAC＝eq\f(4,5)，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为()A．6eq\r(13)B．2eq\r(13)C．6eq\r(39)D．2eq\r(39)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．[2024·辽宁渤海高校附中高一期末]一组数据6，7，8，a，12的平均数为8，则此组数据的()A．众数为8B．极差为6C．中位数为8D．方差为eq\f(22,5)10．[2024·广东珠海高一期末]设P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则下列结论不正确的是()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0C．eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝011．已知α，β，γ是不同的平面，a，b是两条不重合的直线，下列说法不正确的是()A．若a⊂α，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥βB．若a⊥b，a⊥α，则b∥αC．若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥βD．若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ12．[2024·湖北武汉高一期末]在一个质地匀称的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事务A为“两次记录的数字之和为偶数”，事务B为“第一次记录的数字为偶数”；事务C为“其次次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是()A．事务B与事务C是互斥事务B．事务A与事务B是相互独立事务C．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)D．P(ABC)＝eq\f(1,8)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2024·山东济南高一期末]在一次校内歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95.则这组数据的75%分位数是________．14．[2024·湖北武汉高一期末]若复数z满意eq\f(z＋i,1－2i)＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝________．15．[2024·湖南衡阳高一期末]已知向量a＝(1，0)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．16．[2024·辽宁锦州高一期末]已知四边形ABCD是圆内接四边形，AB＝1，BC＝CD＝eq\r(2)，DA＝eq\r(3)，对角线AC与BD交于点O，则BD＝________；OB＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2024·广东揭阳高一期末]已知a＝(1，2)，b＝(－3，1).(1)设a，b的夹角为θ，求cosθ的值；(2)若向量a＋kb与a－kb相互垂直，求k的值．18．(12分)[2024·山东德州高一期末]如图，在圆锥PO中，AB是底面的一条直径，C为底面圆周上一点．(1)若D为AC的中点，求证：BC∥平面POD；(2)若AС＝ВС，求证：РС⊥АB.19．(12分)[2024·河北沧州高一期末]某报社发起“建党100周年”主题征文竞赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，准备以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在[15，65]内，依据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．(1)估计这60名作者年龄的平均数；(同一组数据用该组所在区间的中点值作代表)(2)估计这60名作者年龄的中位数；(结果保留整数)(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社依据各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参与座谈会，若从参与座谈会的年龄在[15，35)的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15，25)的概率．20．(12分)[2024·湖北十堰高一期末]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c,a)＝eq\f(sinA＋2sinBcosA,2sinA).(1)求B的大小；(2)若b＝2eq\r(2)，△ABC的面积为2eq\r(3)，求△ABC的周长．21.(12分)[2024·广东肇庆高一期末]甲、乙、丙三人进行摔跤竞赛，竞赛规则如下：①每场竞赛有两人参与，另一人当裁判，没有平局；②每场竞赛结束时，负的一方在下一场当裁判；③累计负两场者被淘汰；④当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直至其中一人累计负两场被淘汰，另一人最终获得冠军，竞赛结束．已知在每场竞赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为eq\f(2,3)，乙胜丙的概率为eq\f(1,2)，各局竞赛的结果相互独立．经抽签，第一场竞赛甲当裁判．(1)求前三场竞赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场竞赛就决出冠军的概率；(3)求甲最终获胜的概率．22．(12分)[2024·河北石家庄高一期末]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角B­EN­M的正切值为eq\r(5)？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．本册过关检测1．解析：∵z＝eq\f(1,1＋3i)＝eq\f(1－3i,（1＋3i）（1－3i）)＝eq\f(1－3i,10)＝eq\f(1,10)－eq\f(3,10)i，∴在复平面内，复数z＝eq\f(1,1＋3i)对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，－\f(3,10)))，位于第四象限．故选D.答案：D2．解析：由圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的表面积为S＝π×2×4＋π×22＝12π.故选B.答案：B3．解析：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，故选A.答案：A4．解析：设老年职工有x人，则160＋2x＋x＝430，解得x＝90；因为样本中有青年职工32人，所以抽样比为eq\f(32,160)＝eq\f(1,5)，所以样本中的老年职工人数为eq\f(1,5)×90＝18.故选B.答案：B5．解析：抛掷两个质地匀称的骰子，总的基本领件有6×6＝36(个)，其中点数之和是6的有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为eq\f(5,36).故选C.答案：C6．解析：对A，互斥事务不肯定是对立事务，对立事务肯定是互斥事务，故A错误；对B，当事务A与事务B为对立事务时，事务A与事务B中至少有一个发生的概率和A与B中恰有一个发生的概率相等，故B错误；对C，当A＝B时，事务A与事务B中同时发生的概率等于A与B中恰有一个发生的概率，故C错误；对D，设A，B是一个随机试验中的两个事务，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)正确，故D正确．故选D.答案：D7．解析：因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，所以(a＋b)2＝(a－b)2，所以a·b＝0，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋3b))＝eq\r(（2a＋3b）2)＝eq\r(4|a|2＋9|b|2＋12a·b)＝eq\r(4×\f(1,4)＋9×\f(1,9)＋0)＝eq\r(2).故选A.答案：A8．解析：在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(16＋AC2,10AC)＝eq\f(4,5)，解得AC＝4，则AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC.设球心到平面ABC的距离为d，则d＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(39),2).当AD为直径时AD取得最大值，点D到平面ABC的距离为2d，故四面体ABCD的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·(2d)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×eq\r(39)＝2eq\r(39).故选D.答案：D9．解析：由题可得eq\f(6＋7＋8＋a＋12,5)＝8，∴a＝7，∴此组数据众数为7，极差为12－6＝6，中位数为7，方差为eq\f(（6－8）2＋（7－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（12－8）2,5)＝eq\f(22,5).故选BD.答案：BD10．解析：由eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))知：P为AC中点，故eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))≠0，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))≠0，B正确，A、D错误；eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，C错误．故选ACD.答案：ACD11．解析：对于A，若a⊂α，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β或a与β相交但不垂直，故A不正确；对于B，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故B不正确；对于C，若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β或α与β相交，故C不正确；对于D，因为α⊥γ，所以平面α与平面γ所成的二面角为直二面角，因为β∥α，所以平面β与平面γ所成的二面角也为直二面角，即β⊥γ，故D正确．故选ABC.答案：ABC12．解析：对于A，事务B与事务C不是互斥事务，因为它们有可能同时发生，如，第一次和其次次都是数字4，故选项A错误；对于B，对于事务A与事务B，P(A)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2×4,4×4)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)＝P(A)·P(B)，事务A与事务B是相互独立事务，故选项B正确；对于C，P(C)＝eq\f(4×2,4×4)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2×4,4×4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)，故选项C正确；对于D，事务ABC表示第一次记录的数字为偶数，其次次记录的数字为偶数，故P(ABC)＝eq\f(2×2,4×4)＝eq\f(1,4)，故D错误．故选BC.答案：BC13．解析：依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整为第5个数，即95.答案：9514．解析：∵z＝(1＋i)(1－2i)－i＝1－2i＋i＋2－i＝3－2i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋2i.答案：3＋2i15．解析：由已知2a＋b＝(4，－2)，因为c∥(2a＋b)，所以－2－4λ＝0，λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)16．解析：四边形ABCD是圆的内接四边形，则∠BAD＋∠BCD＝π，则cos∠BAD＋cos∠BCD＝0，又AB＝1，BC＝CD＝eq\r(2)，DA＝eq\r(3)，则eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＋eq\f(CB2＋CD2－BD2,2CB·CD)＝0，即eq\f(1＋3－BD2,2×1×\r(3))＋eq\f(2＋2－BD2,2×\r(2)×\r(2))＝0，解之得BD＝2.又BC＝CD＝eq\r(2)，则△BCD为等腰直角三角形，则∠CBD＝eq\f(π,4).且由∠BAD＝eq\f(π,2)，BC＝CD，故∠DAC＝∠BAC＝∠CBD＝eq\f(π,4).则△OAB∽△ODC，可得eq\f(OB,OC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,\r(2))，则OC＝eq\r(2)OB.由OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC·coseq\f(π,4)，即2OB2＝OB2＋2－2OB，解得OB＝－1＋eq\r(3)或OB＝－1－eq\r(3)(舍).答案：2eq\r(3)－117．解析：(1)因为a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))·cosθ，所以cosθ＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(1×（－3）＋2×1,\r(12＋22)×\r(（－3）2＋12))＝eq\f(－1,\r(5)×\r(10))＝－eq\f(\r(2),10).(2)由a＝(1，2)，b＝(－3，1)可得a＋kb＝(1，2)＋k(－3，1)＝(1－3k，2＋k)，a－kb＝(1，2)－k(－3，1)＝(1＋3k，2－k)，因为向量a＋kb与a－kb相互垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝(1－3k)(1＋3k)＋(2＋k)(2－k)＝0，即2k2＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),2).18．证明：(1)因为O，D为AB，AC的中点，所以OD∥BC.又因为OD⊂平面РОD，BC⊄平面POD.所以ВС∥平面POD；(2)连接OC.因为AB是底面的一条直径，所以О是AB的中点，又因为AC＝BC，所以ОС⊥АB.因为PO⊥圆面O，且AB⊂圆面О，所以РО⊥АB.因为PO∩OC＝O，PO，OC⊂平面РОC，所以АВ⊥平面POC.因为PC⊂平面POC，所以РС⊥АB.19．解析：(1)由频率分布直方图可知10×(0.01＋0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，所以m＝0，035.样本平圴数的估计值eq\o(x,\s\up6(－))＝20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5.(2)因为前两组频率之和为0.1＋0.15＝0.25，前三组频率之和为0.25＋0.35＝0.6，所以中位数在[35，45)中，中位数的估计值为35＋10×eq\f(0.5－0.25,0.35)＝35＋eq\f(50,7)≈42.(3)由题可知抽出的20篇文章的作者中，年龄在[15，25)的有2人，记为a1，a2，年龄在[25，35)的有3人，记为b1，b2，b3，现从这5个人中选出2人，全部不同的结果有10种：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3；至少有1人的年龄在[15，25)内对应的不同的结果有7种：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3.所以所求概率P＝eq\f(7,10).20．解析：(1)由正弦定理得eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sinA＋2sinBcosA,2sinA)，所以sinA＋2sinBcosA＝2sinC＝2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB，得sinA＝2sinAcosB，因为0<A<π，所以sinA≠0，得cosB＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2eq\r(3)，得ac＝8，由余弦定理cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，得a2＋c2－8＝ac，得(a＋c)2＝3ac＋8＝32，得a＋c＝4eq\r(2)，所以△ABC的周长为6eq\r(2).21．解析：(1)记事务A为甲胜乙，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，事务B为甲胜丙，则P(B)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，事务C为乙胜丙，则P(C)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，前三场竞赛结束后，丙被淘汰的概率为P1＝P(Ceq\o(A,\s\up6(－))C)＋P(CAB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,36).(2)只需四场竞赛就决出冠军的概率为P2＝P(Ceq\o(A,\s\up6(－))Ceq\o(A,\s\up6(－)))＋P(eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(CABA)＋P(eq\o(C,\s\up6(－))BAB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2