新教材2025版高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列的前n项和公式学生用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时等比数列的前n项和公式【课标解读】1.能在详细的问题情境中，发觉数列的等比关系，并解决相应的问题．2．能够运用所学学问解决等差数列与等比数列的综合应用问题．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．留意问题是求什么(n，an，Sn)．批注(1)在归纳或求通项公式时，肯定要将项数n计算精确．(2)在数列类型不易辨别时，要留意归纳递推关系．【夯实双基】1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公细致算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是()A．86里 B．172里C．96里 D．192里2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末起先每年偿还肯定金额，预料五年内还清，则每年应偿还()A．a1+γ1+γ5C．aγ1+γ51+3．已知数列{an}是公比为q的等比数列，若2a1＝a3a4，且a5是a4与2的等差中项，则q的值是()A．1B．2C．－1或1D．－2或24．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1等比数列前n项和在几何中的应用例1侏罗纪蜘蛛网是一种特别有规则的蜘蛛网，如图，它是由多数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则()A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋5)mC．Sn＝3(3＋5)m D．Sn可以取100m[听课记录]【方法总结】此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关学问解决，要留意步骤的规范性．巩固训练1如图，在边长为2的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1，B1，C1，D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm＝6332，则m题型2等比数列前n项和公式的实际应用例2某制糖厂第一年制糖5万吨．假如平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.6＝0.20，lg1.1＝0.041.)[听课记录]【方法总结】解决数列应用题时，一是明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是明确是求an，还是求Sn.巩固训练2一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上上升度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？题型3等差数列与等比数列的综合问题例3[2024·广东汕尾高二期末]记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝－3，S3＝9.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，推断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列并说明理由．[听课记录]【方法总结】解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能干脆套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要留意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．巩固训练3[2024·湖南师大附中高二期末]已知等差数列{an}满意a2＝4，a1＋a5＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，b32＝a6，bn＋1>bn，求满意第2课时等比数列的前n项和公式新知初探·课前预习[夯实双基]1．解析：设此人第n天走的路程为an里，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比数列{an}，依题可知，公比为12，所以378＝a11-故选D.答案：D2．解析：设每年偿还x万元，则x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，所以x1-1+γ51-1+γ＝a(1＋故选B.答案：B3．解析：由2a1＝a3a4解得a6＝2.因为a5是a4与2的等差中项，所以2a5＝a4＋2.把a6＝2代入得：2a5＝a4＋a6，消去a4得：2q＝1＋q2，解得q＝1.故选A.答案：A4．解析：明显q≠1此时应有Sn＝A(qn－1)又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－1答案：－1题型探究·课堂解透例1解析：由题意，从外到内正方形的边长依次为a1＝m，a2＝2m32+m32＝5m3，a3＝25m3×32+5m3×Sn→3(3＋5)m.故选B.答案：B巩固训练1解析：因为SABCD＝22SA1B1C依题意可得an＋1＝12an，且a1＝1，所以{an}是以1为首项，1所以Sn＝1·1-12n1-12所以6332＝2[1－(12)m]，即(12)m＝1答案：6例2解析：设该糖厂第n年的产量为an(n∈N*)万吨，由题意得a1＝5，an+1所以{an}是以5为首项，1.1为公比的等比数列，所以前n年总产量Sn＝51-1.1所以50(1.1n－1)＝30，即1.1n＝1.6，两边同取对数可得lg1.1n＝lg1.6，整理得n＝lg1.6lg1.1所以大约5年，可使总产量达到30万吨．巩固训练2解析：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意，得an＋1＝45an；因此，数列{an}是首项a1公比q＝45的等比数列，热气球在前n分钟内上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11-qn1即这个热气球上升的高度不行能超过125m．例3解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公比为q，因为S2＝－3，S3＝9，所以a1+a所以an＝a1qn－1＝3·(－2)n－1.(2)因为q＝－2，所以Sn＝a1qn-1所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，理由如下：因为Sn＋1＝1－(－2)n＋1，Sn＋2＝1－(－2)n＋2，所以Sn＋1＋Sn＋2－2Sn＝[1－(－2)n＋1]＋[1－(－2)n＋2]－2[1－(－2)n]＝1＋2·(－2)n＋1－22·(－2)n－2＋2·(－2)n＝0，即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn，所以Sn＋1，Sn