数学建模习题集

数学一一探求模式

什么是数学？数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。在数

学中，我们研究客观世界中量性的规律性，也就是说，研究（量化）模式，所

以数学也是研究模式的科学，它涉及模式的观察，猜测的检验以及结果的估

计。例如，人们对勾股定理的认识过程就经过一个探求模式的过程.在我国

最早详细记载勾股定理的首推《周髀算经》，它大约写于公元前235年至公

元前145年之间。书的开篇就以商高回答周公何题的形式提出：“数之法出

于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三、股

修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘得三、四、五，两矩共长二

十有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所由生也。”他所说的是，

条线段分成3：4:5所构成的三角形是直角三隹形，这样的三角形内接于圆

且弦为直径，同时还有等式32+42=52成立（见图1）。这说明商高通过观察

个别直角三角形勾、股、弦之间的量值关系，已经发现了勾股定理的特殊情

况.《周髀算经》又在“陈子曰”下说：“若求斜至R者，以H下为勾，日

高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日。”这就是说，

科至日（茏）=府’而（见图2）

上式就是勾股定理的一般形式。它说明陈子已通过观察特殊的一些直角

三角形的勾、股、弦之间的量值关系，发现了一般规律，从而提出了上述的

勾股定理。

图1

A勾

在数学上，对于某个数学问题通篇观察一些特殊情形，从中发现规律而

提出的一般性猜测，必须进行验证才能确认它成立。对勾股定理的证明，世

界上有许许多多方法，在我国是以赵爽（公元3世纪三国东吴人）在《周髀算

经》注中所撰写的《勾股圆方图注》为最早。赵爽画了一张他所谓的“弦图”

（图3）,其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中

黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。由于四个朱实加上一个黄实

就等于弦实，所以有下式成立：

4Xgab+（b-a）1=cl,

即

a2+b2=c2o

这样，赵爽就用割补法证明了勾股定理。

A

EB3

除了边长分别为3、4和5的直角三角形外，是否还有其他的三边长都是

整数的直角三角形呢？

公元三世纪魏晋时期，我国古代数学家刘徽进一步研究了三条边长都是

整数的直角三角形。他发现，还有许多直角三角形，它们的边长也都是整数,

例如，5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、

29；…。

若以x、y、z分别表示勾、股、弦，那么用代数的语言来说，以上各组

数都是不定方程

x2+y2=z2

的整数解。满足这个不定方程的整数解(x、y、z)就叫做勾股数。

刘徽不仅举出了不少勾股数，而旦用出入相补原理证明了勾股数的一般

形式是

2mn,n2-m2,n2+m2.

其中n,m(n>m)是任意整数(在古希腊差不多与刘徽同时的数学家刁番都也

独立地证明了这一结果)。这就解决了不定方程x?+y2=z?的整数解问题。然

而，人类对模式的探求永远也不会中止，1637年，法国数学家费尔马对上述

问题，也就是将一个平方数分为两个平方数的问题，发生了兴趣。他进一步

地探求，能否将一个三次方幕分为两个三次方易之和，将一个四次方幕分

为两个四次方事之和，或者更一般地将一个n次方幕分为两个n次方察之和？

他在刁番都著作《算术》拉丁文译本的空白处写了一段简短的笔记，给出一

个否定的结论：“不可能把一个正整数的二次方幕分成两个二次方幕的和，

一个四次方冢分成两个四次方累的和；或者一般地说，不能把任意一个次数

大于2的正整数的方塞分成两个同次方幕的和。”接着他又写道：“我发现

了这个论断的证明，但是书上的空白太窄了，写不下。”这就是著名的费尔

马猜想。这个猜想可以用不定方程表示：设n>2,不定方程

xn+yn=zn

除了xyz二0外没有其他整数解。费尔马关于这一猜想的证明(如果真有的话)

从未被人找到过。三百多年来，许多数学家都曾为求得其证明而努力。人们

开始只能对于许多给定的n来证明费尔马猜想成立，贝西(1605—1675)利用

费尔马的提示给出了n=4的证明，后来瑞士数学家欧拉(1707—1783)又

证明了n=3的情形，1857年德国数学家库默尔(1810—1893)创立了理想数理

论，证明了对于小于100的奇素数，费尔马猜想成立。他所建立的理想数理

论为代数数论奠定了基础，成了许多数学分支的重要工具。对费尔马猜想的

最终证明虽然难度极大，但是，人们相信，随着现代数学理论的发展，这个

堡垒必将会被攻破。

1993年夏季，美国数学家威尔斯（Awiles）从椭圆曲线的方向来证明费公

马猜想，论文发表以后，人们发现了在他的证明中有一个小漏洞。1994年9

月威尔斯和另一位数学家泰勒（RTaylor）弥补了这个漏洞，最终完成了费尔

马猜想的证明，数学家们梦寐以求的目标终于达到了。

由上面的例子可以看到探求模式的过程一般要经历发现问题、分析问题

和解决问题的一种创造性过程。因此，在学习数学时，不仅要学习定义和定

理等基础知识，当然，它们是十分重要而右.用的，而且还要学习探求模式时

数学所提供的有特色的思维方式，以提高创造力（包括发散性思维能力，集

中性思维能力和人的个性品质等）和调控能力（包括问题解决时解题策略的

选择，整个过程的组织和思路的调整等），从而提高发现问题、分析问题和

解决问题的能力。在当今的信息时代，应用这些数学思维方式的经验所构成

的能力已成为一种日益重要的智力，它使人们能吸收新的想法，适应各种变

化，对模棱两可的事件能发现模式并能解决非常规的问题。

在学习探求模式的过程中，我们也必须注意到，人们探求模式的最终目

的还是为了应用。早在《周髀算经》中曾记载陈子利用勾股定理求出从地面

一点到太阳的距离。据传说古埃及人在建筑宏伟的金字塔时也用过勾股定

理。当今随着社会的发展，生产力的提高，科技的进步，数学的应用更是日

益广泛，不断深入。因此，我们在学习数学知识的同时还要学习运用数学知

识，在解决各种现实生活问题的过程中，进一步发现数学的魅力，进一步体

会数学的意义、思想和方法。

第1题检验台最佳位置

n台机器位于一直线上（图1—1）,它们所生产的零件必须送到一个检验

台上，经检验合格后，才能送往下一道工序继续加工。已知移动零件所需的

费用与所移动的距离成正比，问检验台放在哪里可使移动零件所花费的总费

用最省？

>>・？"RaiHa

图1-1

为了求解，我们首先必须理解题意。设用直线上的点Mi表示第i台机器

的位置，点A表示检验台的位置，因为将零件移到检验台所需的费用与所移

动的距离成正比，所以我们的问题就是要在直线上确定A点的位置使检验台

到各机器的距离之和

M1A+M2A+-+MnA

最小。

如何解题呢？一下子无法着手。于是，我们先设计一个解题计划。我们

设想，先考察n=2,3,4等特殊情形，再从中寻求其一般规律，即探求其模

式。

现在考察一些特殊情形：

⑴如果只有2台机器，则易知线段M1M2上任何一点都是检验台的最佳

位置（图1—2）。

(2)如果有3台机器，则也易知检验台应放在中间的机器M2的位置处(图

1-3)o

S1-3

(3)如果有4台机器，则对两端的机器Ml和M4来说，线段M1M4上任

何一点都是最佳位置；对中间的2台机器M2和M3来说，线段M2M3上任

何一点都是最佳位置。因此，对4台机器来说，线段M2M3(=M1M4A

M2M3)上的任何点都是最佳位置(图1—4)。

对于5台或6台机器，问题也都容易解决。我们容易证明：一般地，如果

机器的台数是奇数，则最中间那台机器的位置就是检验台的最佳位置；如果

台数是偶数，则处在最中间的两台机器之间的任何点都是最佳位置。

注意，在上述问题中必须假设各机器的工作效率都是相同的。如果各机

器的效率是不同的，例如，在图1-5中，机器M1的效率是机器M2的2倍，

机器M3的效率是机器M2的3倍，那么检验台又应设在哪里？

田1-€

如果我们把机器Ml看作2台效率与机器M2相同的机器，它们都位于点

Ml上，把机器M3看作3台效率与机器M2相同的位于同一点M3上的机器,

那么问题就归结为具有6台效率相同的机器的情况，根据上述问题的结论，

线段M2M3上任何一点都是检验台的最佳位置。这方法可以推广到n台效率

不同的机器的情形中去。

注：在解决上述问题的过程中，我们可以看到问题解决的过程一般有4

个步骤：

(1)理解问题：了解问题的条件、结论。对解决问题条件是否足够？是

否有多余的或矛盾的条件？有时还可以画示意图或列表帮助理解题意。

(2)设计计划：寻找解题思路，列出解题计划(在本题中的解题计划是先

考察一些特殊情形，然后寻找一般规律)。

(3)实施计划：按计划进行解题(若出现前面未注意到的问题，必须修改

计划)。对实施过程和所得的结果必须进行检验。

(4)回顾：对所用的方法是否能改进？能否寻找一个新的解法？是否能

将所用的方法推广到新问题中去？

在本题中的回顾是将各机器的工作效率相同的情形推广到各机器效率

可以相差正整数倍的情形。

理解向魁卜-----

I

|设计计划卜------

|实随计划|

我们应该充分重视问题解决之后的回顾这一环节。因为一个问题的解决

并非总是意味着模式探求过程的终结，可以继续思考，是否还有新的解法,

原有的问题是否还能发展，是否能进一步提出新的问题。这种思维训练将对

创造力的培养，特别对发现问题能力的培养，有重大的作用。

下面我们考虑用代数方法解检验台的最佳位置问题。为了说明思路，我

们先来讨论最简单的一些情形。

如果已知效率相同的3台机器位于x轴上，且它的所在位置的坐标如图1

—6所示，如何用代数方法来求检验台的最住位置？

设x为检验台位置的坐标，则机器M「M?和M；离检验台的距离分别为氐

(-2)|、|x・l|和|x-3|c于是，求检验台的最佳位置实际上就是求x值，使得由

它所确定的检验台到各机器的距离之和

|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|

为最小。用函数的语言来说，设函数

f(x)=|x-(-2)|+|x-l|+|x-3|,

我们设法要从它的函数图象上研究x取什么值时.它所对应的函数值达

到最小值。

为了画出函数f(x)的图象，我们考虑下面4种情形：

―,那么

f(x)=(2x)+(1・x)+(3-x)=-3x4-2

(2)-2WxWl,那么

f(x)=(x+2)+(1-x)+(3-x)=-x+6

(3)lWxW3,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(3-x)=x+4

(4)x23,那么

f(x)=(x+2)+(x-l)+(x-3)=3x-2

于是，我们可以把函数f(x)写成如下分段函数的形式：

-3x+2,x<-2

-x+6,-2<x<l

x+4,l<x<3

3x-2,实x

画出函数f(x)的图象(如图I—7所示)。由图1-7可以看到,当x=l时，S

数f(x)所对应的函数值f(l)=5达到最小值，所以x=1处为检验分的最佳位置。

一般地，设函数丫=f(X)在X。处的函数值是f(X。)。如果不等式f(x)2f(x0)

对于定义域内任意x都成立，那么f(内)叫做函数y=f(x)的最小值。实际上，

上述方法就是利用函数图象来达到求函数的最小值的目的。

现讨论稍复杂一些的情形，即在图1—6中机器Ml的效率是机器M2的2

倍，机器M3的效率是机器M2的3倍。这时，仍设x为检验台位置的坐标，

那么求检验台的最佳位置归结为求x值使得函数

f(x)=2|x-(-2)|+|x-l|+3|x-3|

取值最小。

由于检验台的最佳位置必在机器M1和M。之间，所以我们只要画出函

数f(x)在区间[-2,3]上的图象。于是，只考虑下面2种情形：

(l)・2Wx〈l,那么

f(x)=2(x+2)+(l・x)+3(3・x)=-2x+14

(2)lWxW3,那么

f(x)=2(x+2)+(x-l)+3(3-x)=12

因此，函数f(x)(x£L-2,3])可以写成

-2x+14.-2<x<l

{f(x)-12,Kx<3

画出函数f(x)(x£[-2,3])的图象(如图1—8)所示，由图1—8可以看到,

当xG[1,3]时，函数f(x)(x[-2,3]所对应的值都达到最小值12,所以

M2和M3之间的任一点都是检验台的最佳位置。

容易看到，利用代数方法可以把问题推广到各机器的工作效率相差非整

数倍的情形中去，这里就不详加讨论了。

练习1

1.已知4台位于x轴上的机器所在的位置如下图1—9所示：

(1)当该4台机器工作效率相同时，用代数方法求检验台的最佳位置。

(2)当机器M1和M3的效率分别是M2的2倍和3倍，M4的效率和M?

相同时，用代数方法求检验台的最佳位直。

(3)在(1)和(2)中，不利用函数图象，直接通过函数关系式求检验台的最

佳位置。

2.(1)在下列方格图案中，你能分别找到多少正方形？

□田曲瞿

(•)M(c)(d)

田1-10

(2)在7X7的方格图案中，你能找到多少正方形？

(3)在nXn的方格图案中，你能找到多少正方形？

3.如图1一11所示，工厂A2…，A,由小路(细线)与公路(粗线)相连。

在公路上设一个汽车站，要求它到各工厂的路程总和越小越好。问：

(1)车站设在哪里最好？

(2)如在P地又建一厂，并沿图上虚线修小路，这时车站又应设在哪里最

好？

在公路1的一侧从A至B有一排楼房(图2—l)o想在公路上的任何一处拍

一张正面快照，如何选择公路上的点，使拍摄的一排楼房的取景角最大。所

谓取景角即为NACB。

用数学的语言来说就是已知同一平面上两点及一直线，(两点代表一排

楼房的两端，一直线代表公路)，两点在直线的同侧，在已知直线.上求一点C,

使AC与BC的夹角/ACB最大。

分析：两点在1的同侧，但其位置可能出现三种情形

(1)两点的连线与1平行。(见图2—1)

A、B表示一排楼房的两个端点的冷线1表示公路，你很自然地会想到，

作线段AB的垂直平分线交1于C点，连接AC和BC,则夹角NACB最大。点C

由此而得到。

（2）两点的连线与1垂直。（见图2—2）

图2-2

若还是采用上述方法，由于AB的垂直平分线与1是互相平行的，它们

的交点并不存在，所以原有的方法不能采用，下面再看第3种情形。

（3）两点的连线与1斜交。（见图2—3）

由图2—3可以看到，虽然线段AB的垂直平分线与1的交点C是存在的,

但是NACBV/AC〕B,不是最大的夹角。在上述两种情形中可以看到，利

用线段AB的垂直平分线与1的交点C,找最大夹角的方法并不一定是正确的

方法，它不适合情形（2）和（3）。那么是否在直线1上一定存在一点X,连接AX,

BX,使在这点处有NAXB最大？

让我们设想一边沿着直线1走，一边看着线段AB,从直线1与A、B连线

的交点出发往右行走（如图2—4）

在起点，面对AB的角度为0。，即X从起始位置开始向右缓缓移动，X

在起始时的NAXB=0°,而后，角度逐渐增大：到了一定的点后，往后的

趋势是当X离起始位置越来越远时，角度再次减少，在无穷远处，ZAXB=

0°。在角度为0°的两种极端情形之间。由这样的变化趋势可知，必定在这

两者之间取得到最天值。因此一定存在点X,使得NAXB的值最大。

由于直线是向两方无限沿仲，但到底在哪一点可以达到最大值？不妨在

直线1上任选一点X,该点是我们随意取的这一息，不一定在我们所要求的最

大值的位置上。

如果这一点是最大值的位置，显然已经求得。

如果这一点不在最大值的位置上，那么必有另一点，在最大值位置的另

一侧，在该点所讨论的角度有相同的值，即是否在直线1上有另外一点X',

使/AX'B=ZAXB?

在情形⑶中根据圆的有关圆周角的一个熟知的性质，X与X,（如果X'

存在的响。两点必在通过A、B两点的同一圆周上。于是让我们通过己知

点A、B画若干个圆。（如图2—5）。

如果这样一个圆与直线1交于两点X与X,，那么同弦所对的圆周角相等，

即NAXB:NAX'Bo这个圆中弦XX,上的任意点Y一定有NAYB>N

AXB（同弦所对的圆内角大于圆周角）。于是NAXB不是最大的角。只有与直

线1相切圆的切点M,才能使观察AB的角度达到最大。（即图2—5中的N

AMB）O

解：（如图2—6所示）

设经过A、M、B三点的圆的圆心为O,半径为R；经过A.X'、X、B

的圆的圆心为0',半径为R'。则0与0'必在AB的垂直平分线上。设AB

的中点为C。

因为NAMB、NAXB是圆周角，fftfZAOB,NAO'B是圆心角,

所以NAME=gZAOB.ZAXB=^ZAO/B

在RtAACOflRtAACO;中

1,15A

$in-ZAOB=«-r-.sin-ZAO,B=^7-

4K4K

由于RVR'

又因为-NAOB与-ZAO•B都是锐角

所以g/AOB〉gNAO,B

由此可得NAMB>NAXB

这是第3种情形下的解题证明过程。而对于第2种情形同样可以通过此题

来证明。但也可推广到用解析几何的解题方法来加以证明。

以直线I为x轴，A、B的连线为y轴建立直角坐标系（如图2—7）所示。

设A点到x轴的距离（即为到直线1的距离）为a、B点到x轴的距离为b,X即为］

上的任一点，NAXB即为所求的最大的角。

设NAXO=a,NBXOB,则NAXB=B-a,0X=x

tgZ.ccB=tg(P-a)

tgB-tga

ab

x+一

因为x+—>2*7^当且仅当x■—BPx■4E时

XX

x+—有最小值=2>/ab

x

所以tgNAXB==有最大值=急

X

即当*=疝时.tg/AXB有最大值=擀言

NAXB有最大值=arctg

注：我们知道在地图上或质形图上的一条等高线是连接图上所表示地面

海拔高度相同的点而成的一条曲线。如果你想象海平面升高100米，那么漫

入海湾的一条新海岸线将随这个新海平面的上升而出现，这条新的海岸线就

是高度为100米的等高线。绘图者仅需画几条相等间隔的等高线，例如100

米，200米，300米，……；可以认为，在每一高度上都有一条等高线。

这样，利用等高线就可以知道地图上每一点的海拔高度。

类比方法：类比是比较某种类型的相似性，可以说佗是一种更确定的和

更概念性的相似。问题中的圆弧相当于“等高线”。除此之外，在足球场上,

足球运动员带球射门(如图2—8所示)把门框的两边可以看作是两端点A、B,

运动员带球前进所站的位置即为所求的点C,使得NACB这个射角尽可能

大。当然在比赛中运动员不可能去具体地计算这个角度的大小，只不过是相

类似的问题而已。

Q2-8

练习2

1.两人坐在长方形桌旁，并且两人相继轮流往桌上平放一枚同样大小

的硬币，条件是硬币一定要平放在桌面上，不能使后放的硬币压在先前的硬

币上。这样继续下去，最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁

就算胜了。钱就归谁。设两个人都是能手，先放的胜还是后放的胜？为什么？

第3题足球甲A联赛

中国足球甲A联赛共有12个队参加主客场制的双循环赛，请你回答下列

问题：

(1)一年的联赛中共需进行几轮比赛？

(2)一年的联赛中共需进行几场比赛？

(3)若每周只进行一轮比赛，要保证年内完成联赛，甲级队最多可达到

多少个？

分析：所谓主客场制的双循环赛是指任何两个参赛的队之间都要分别在

自己的主场与对手打一场比赛，即任何两队之间要比赛两场。所以参加甲A

联赛的每个球队都要参加22场比赛，由于每轮中每队最多踢一场比赛，可

知至少需22轮比赛才能完成一年的联赛，事实上，中国足球甲A联赛恰好22

轮完成，每轮12个甲A足球队之间共比赛6场，所以共需进行22X6=132场

比赛。

一般地，每年有52个完整的星期，所以一年中共可进行52轮比赛，要考

虑甲A足球队最多可达到多少个，需要知道参赛球队数与比赛轮数间的关

系。根据比赛规则，若有n个队参赛，每个队都要与其余的(n-1)个球队分别

比赛2场，所以至少2(n・l)轮比赛才能完成，下面考虑是否对于任意的自然

数n,都恰好能在2[n-l)轮完成。我们先对一些特殊情况进行分析：当n=12

时，恰好需要2(12-1)=22轮比赛,也容易验证n=4,或6时分别能在6轮、10

轮比赛中完成整个赛程；而当n=5时，每一轮只能有4个队参加比赛，而必

然有一个队轮空，且为了保证赛程顺利进行，每轮轮空的球队在一个单循环

中不同，所以在一个单循环中，每个球队恰好轮空一次，共需5轮比赛，即

整个联赛共需10轮。下面是n=5时一种赛程安排表，从中可得到一些启发，

设甲、乙、丙、丁、戊五队参加比赛，队名排在前的球队为主场。

第一轮：甲与乙；丙与丁(戊轮空)

第二轮：甲与丙；乙与戊(丁轮空)

第三轮：甲与戊；乙与丁(丙轮空)

第四轮：甲与丁；丙与戊(乙轮空)

第五轮：乙与丙；丁与戊(甲轮空)

以上为第一循环，第二循环只需改变主客场进行比赛即可。

由以上的特例，容易看到，一般地，当参赛球队数n为偶数时，每轮中

每个球队均能参加比赛，且每队均需比赛2(n-1)场，所以需2(n-1)轮比赛；

当n为奇数时，每轮中必有一队轮空，每个队在整个联赛中轮空2次，所以共

需2(n-1)+2=2n轮比赛才能完成一年的联赛进程。

根据上面的结论，25个或26个球队参加联娄均需50轮，而27个球队比赛

则需54轮才能完成，因此，甲级队最多只能为26个，否则一年内将不能完成

联赛。

解:略。

回顾：参加比赛的球队数与比赛轮数间的关系也可以通过分析比赛的总

场次与每轮能够进行比赛的场次得到：

设n个队参赛，每个队都将在自己的主场踢(n-I)场比赛，所以整个联赛

中共需进行n(n-I)场比赛，当n为偶数时，每轮可进行

酒比赛.比赛轮数为n(n-1)-弓)=2(n-1).当n为奇数时.

每轮只能送行亨轮比赛,总场次除以每轮场次的商为2n,所以苻

要2n轮比赛才能完成。

练习3

1.若参赛队只有8个时，共需多少场比赛才能完成主客场制的双循环赛,

列出一种比赛安排表，并与同学比较你们的赛程表是否一致。

2.列出参赛队为9个时的一种双循环赛程表。

第4题网球比赛

11名选手将要参加网球单打比赛，组委会决定采用不设种子选手的淘汰

赛方式决出冠军，但对于比赛中必然会出现的轮空问题却有不同的意见，

种意见认为每一轮都要保证尽可能多的运动员参加比赛，而另一种意见认为

只允许第一轮中有运动员轮空，请你就以下的三个问题分析这两种意见的异

同点：

（1）比赛的总场次；

（2）比赛的轮数;

（3）轮空人次。

分析：淘汰赛即参加比赛的选手通过抽签，配对比赛，胜者进入下一轮,

负者则失去了比赛资格；若一轮中将要参赛的选手数为奇数，则必然有人轮

空，所以11人参加的比赛必然会出现轮空现象，并且轮空人次与比赛规则有

关。以下为了叙述方便，将第一种意见称为“规则I”，将后一种意见称为

“规则H”。

根据规则I,每一轮比赛最多只有一名运动员轮空，即当参加某轮比赛

的选手为奇数个时，只需选择一名选手直接进入下一轮比赛即可，因此按规

则【进行比赛的流程图（图4一1）大致如下所示：

0>

0口

0口

0>

0

0>0

0

0>U

0

0=二*

0

E）4-1

由以上流程图可看出，若采用规则I组织比赛，比赛总场次、轮数、轮

空人次分别是10、4、2。

若采用规则n组织比赛，需解决的关键问题是保证从第二轮起不能再出

现轮空现象。根据经验，在所有的体育比赛中，均为决赛中有2人

（队）参加，半决赛时应有4人（队）参加比赛,而9决赛应是8人（队）

参加角逐，依此类推，在淘汰赛中若不出现轮空运动员，参赛人数可以表示

为2n（n£N）的形式。因此，从第二轮起，每轮参赛人数均是2的某次幕。由

于23V11V24,所以第二轮应有23=8人参加比赛,而第一轮应有2J11=

5人轮空，并决出8人参加第二轮比赛，第三轮有22=4人参赛，最后第四轮

有2=2人参赛决出冠军。由以上的分析可知，采用规则II的比赛流程图（图

4—2）可写为如下形式：

因此，本问题的结论为：

总场次就数轮空人次

OJ!to42

OJI11045

解：略。

回顾：以上分析了11人参赛的情况，从结论可知，不论采用哪种规则,

比赛的总场次及比赛的轮数均相同，是否能得到以下更具一般性的结论：无

论多少人参赛，组委会关于轮空问题的意见分歧不能改变比赛的总场次及轮

数。

显然上面的结论时于参赛人数为2n的情况成立，因为在这种情况下不

产生轮空运动员，关于轮空的分歧不对赛程产生影响，其中将共进行n轮比

赛,每轮比赛的场次分别为2e，2n-2,…，4,2,1场，所以无论采用哪种

规则，总场次均为+29+…+4+2+1=2%］场，即场次比参赛人数少

1,而这一结论也可由淘汰制的特点得到：淘汰赛中，每场比赛必有1人（队）

因失利而失去比赛资格，并且只有冠军获得者一场未败，所以无论多少人参

赛，总要有（参赛人数・1）个运动员被淘汰，即需要进行（参赛人数・1）场比赛,

因而比赛的场次与参赛人数有关，与轮空的安排无关。

若参赛人数P不为2n（n£N）的形式，则一定能找到某个自然数n使2向＜

PV2n,若采用规则II,第一轮比赛后将有2句个运动员参加第二轮比赛，

所以需要进行n轮的比赛；若采用规则I,将要参加第二轮比赛的运动员数

在（2酎2,2nd］内，第三轮时有资格参赛的人数在区间（2『3,2n］］内，因为

最后一轮总是2人参加比赛.可以推得只需且必须n轮才能完成比赛.

由以上的分析可知，组委会的意见分歧对比赛的轮数及场次不产生影

响，因此选用哪一规则应根据它们遇到轮空问题时的合理性。在本问题中，

由于11人参赛，规则I与规则H相比，合理性体现在轮空运动员少于规则H,

但缺点在于半决赛时还有一名选手轮空，增加了参加冠亚军决赛运动员的偶

然性。因此，我们很容易提出下面的问题：是否有这样的参赛人数，使得在

采用规则I时轮空运动员的人次比采用规则H的多。

要回答上面的问题，应首先注意到，采用规则I组织比赛，每一轮最多

一人轮空，最后一轮时不会有人轮空，因此，轮空的总人次总是不大于（比

赛轮数-1）,当且仅当每轮的参赛人数均为奇数时，轮空人次才能达到（比赛

轮数-1）。例如：共17人参赛，第二轮时乘IJ9人，第三轮时剩5人，第四轮时

剩3人，第五轮时2人参加决赛，除去最后一轮，前4轮中均有一人轮空；但

采用规则H,第二轮时应有16人参赛，所以第一轮共有15人轮空。为了得到

更一般的规律，下面考察参赛人数分别为9,10,11,12,13,14,15,

16时的轮空情况：

由上表，当参赛人数位于123,2勺时，采用规则I产生的轮空数不

会多于采用规则0。一般地，若有P名选手参赛，且＜P^2n(nGN),

则采用规则I,最多产生(n-1)人次轮空，而采用规则H,将有(2n・P)名选

手在第•轮轮空，要说明采用规则I不会产生比规则II多的轮空，只需考察

P=2n,2n-I,2n・2,…，2n・n+2即可，即只需考虑不大于2n且与2n最

接近的(n・l)个数。又因为P-2叩寸，两种规则均不产生轮空现象，P-2n-1

时，两种规则均为在第一轮有一人轮空，比赛流程图完全一样，所以只要考

虑P为从(2厂2)到⑵-n+2)的这(n-3)个数。当n=5时,只要考虑P为29,30

这两种情况，n=6时，只需考虑P为62,61,60三种情况，n=7时，只需

考虑P为126,125,124,123四种情况，…。下面是以上各种情况的结

论：

由上面的结论可知：在比赛人数不多于128人时，采用规则［将在轮空

人次上体现出其合理性，而采用规则II,将在比赛的偶然性上体现出其合理

性，也就是说这两种比赛规则各有利弊。在通常的淘汰制比赛中，一般是通

过设立种子选手的方法解决问题，即让种子选手在第一轮轮空，非种子选手

参加第一轮比赛，种子选手人数的多少按下列原则确定：第一轮中的非种子

选手为偶数，且非种子选手数的一半与种子选手数的和为2n的形式。

注：在本问题中，用到了两种解决数学问题常用的思想方法，即由特殊

到一般的推理思想和小型模拟实验与理论分析相结合的方法。当遇到一个全

新的数学问题而对问题的解决束手无策时，运用这两种方法可以使解题思路

逐渐打开，并在分析中不断扩大问题空间，最终达到解决问题、引申问题的

目的。希望你能在完成练习3和练习4时，再次体会到运用这两种方法所能甘

给你的帮助。

练习4

1.若22人报名参加淘汰制的网球单打比赛，设多少名种子选手比较好。

2.若参赛人数在129到256之间时，为了证明采用规则I不会产生更多

的轮空人次，应考察哪几个数。

3.在黑板上随意写1995个“+”或，按以下规律擦去：每次随

意擦去2个符号，然后按擦去同号添一个“+”，擦去异号添一个”号

的原则操作。问：(1)经过多少次操作后不能再次进行下去。(2)最后的操作

结果与操作过程有元关系，为什么？(3)最后结果与原始状态的“+””

符号的多少有何关系，为什么？

4.已知线段AB的端点A为红色，B为蓝色，在AB间添上n个红或蓝色

的点，将AB分成n+1条小线段，若定义一条两端颜色不同的线段为标准线

段，问标准线段条数的奇偶性与n的大小有无关系，与添加点的颜色有何关

系？

第5题猜数游戏

古代烽火台是战争中通讯的工具，修建一人烽火台，可以报告有无敌人

来犯及来犯敌人的数目。假如修建6个烽火台，以1000人为单位，6个烽火

台可报告1000人〜63000人之间的数目。报告方法如下：

如图所示有A、B、C、D、E、F6座烽火台，烽火台下面依次标上数码

32、16、8、4、2、1,现在是B、D、F3个烽火台点燃了烽火，就

把这3个烽火台下面的数目相加，16+4+1=21。说明有1000X21=21000名

敌人来犯。假如把A、D、E、F四个烽火台点燃，由32+4+2+1=39

可知有1000X39=39000名敌人来犯。你知道以上作为发出信号的一方是

加何根据敌人来犯的人数点燃烽火台？而作为接受信号的一方，又是如何根

据烽火台点燃的情况来计算敌人数目的？

分析：从这6个烽火台下面的数字可以看出，只要是1到63之间的任何

数，都能使A、B、C、D、E、F6个烽火台的下面的数字加起来找到。烽

火台传数的道理是使用了二进制数。二进制数的最大优点是可以用两个动作

表示任何数字。用点燃烽火表示“1”，用熄灭表示“0"。二进制数每一位

都固定表示十进制的一个数(见表格)

二遗室的求位

R1M数某一

(£±MulH

表示十进貌案

把十进制数化成二进制数往往采用连续用2短除，一直除到商等于0为

止。例如将47化成二进制数，连续用2短除。

.・・・・・।

…二1

2|3……1

得47=25+23+22+2'+2。，即47各莺成二进制数101111,即

47([o)=lOllll2),其中下角(10)表示十进制，(2)表示二进制。

就拿此例来看，以1000人为单位，只点燃F台，则表示的二进制数是

00000^)=1,即有1000名敌人；若把6座烽火台全部点燃，则表示的二进制

数是111111(2尸32+16+8+4+2+1=63。即有63000名敌人。因此，6座烽

火台能传出前敌人数是1000人至IJ63000人。

回顾：有一种猜姓或猜年龄的游戏，也可以利用二进制数与十进制数的

转换而得。下面介绍猜年龄的游戏。

现有A、B、C、D、E5张卡片，上面有被猜人的年龄数。当你把5张卡

片依次给被猜人看，当他看到卡片上有自己年龄时，就回答“有"你就记下

“1”，当他回答“无”时，你就记下“0”。若对方回答是“无有无无有”

你相应记下01001,这时你就可以按二进制数化十进制数的方法进行计算得:

0X16+1X8+0X4+0X2+1X1=9岁，说明被猜人是9岁。若又有被猜人回

答是“有有无有有"。你相应地记下11011。计算得1X16+1X8+0X4+1

义2+1义1=27岁。

13579

1113151719

2123252729

31

这5张卡片实际上是一种编码，将年龄数按二进制数中的“1”和“0”

分别放在5张卡片中。例如15(⑼=01111.则将15分别写在B、C、D、E4张

卡片内即可。第一位是“0”，则在A卡片中不用写，由此即可编出A、B、

C、D、E5张卡片中的数字了。接着，我们自然要问这5张卡片能猜到最大

年龄是几岁？因为这5张卡片所

能表示的最大的二进制数是11111⑺=2温2,•1=31.所以这身长

卡片最多能猜到31岁。一般地，n张卡片能表示的最大年龄是多少？应该是

2n・1岁。

由此可见，要给别人猜年龄，首先你应确定编好几张卡片。这是由最大

年龄所决定的。设最大年龄为a,n为满足不等式的最小自然数，见

应编n张卡片。至于每张卡片上的年龄数，则是将此十进制位数化为二进制

数有“1”的就必须将年龄数写在卡片上。是“0”的位数就不用写在卡片上。

注：二进制数与十进制数的转换在现代科学中应用相当广泛。例如，在

计算机中通常采用二进制数。一方面是由于二进制数的运算简单，另一方面

是由于任何一个二进制数都是由0和1两个数码组成，这很容易用电子元件

来实现，这因为在旦学中我们可以用两种稳定的状态来分别表示0和1,例

如，电灯的亮和灭，脉冲的有和无，晶体管的导通和截止等，而要找出一种

具有10种稳定状态的元件来表示10种不同的数字却很困难，由于二进制数在

计算机中容易实现，所以在目前几乎所有的计算机都采用二进制数。

练习5

1.通过猜年龄游戏的卡片编制过程,你能动脑筋编出百家姓的卡片吗？

第6题加油站加油排队

某个加油站每次只能对一种车辆加油。各种车辆的加油时间如下:

车型：大型卡车中型卡车小汽车

时间(分)：754

如果这三种车辆同时到达加汕站加汕，问加油站应该怎样安排加油顺

序，才能使总共需要的时间(加油及等候时间最省？

分析：由于加油站一次只能对一种车辆加油，所以三种车辆同时到达，

必定产生有两种车辆要等候。要节省时间，必须尽量减少等候时间，而让加

油时间短的车辆先加油，就能节省总的加油及等候时间。我们不妨计算一下

按大型卡车、中型卡车、小汽车加油顺序所需总的等候时间：

7+7+7+54-5+4=35(分)

如果按大型卡车、小汽车、中型卡车的加油顺序计算总的等候时间为：

7+74-7+4+4+5=34(分)

显然，第二种方案比第一种方案好一些。如果我们把所有的加油方案一

一列举出来，通过计算，就能找到最优方案。对于这样的问题是否有规律性,

利用它还能解决更一般的情形吗？

解：由于加油时间分别为7分、5分和4分钟，所以合理的方案是安排加

油时间短的车辆先加油，这样其他两种车辆的等候时间就较短，因此按小汽

车、中型卡车、大型卡车的加油顺序计算总的等候时间为最少。

4+44-4+5+5+7=29(分)

回顾：如果有几种不同类型的车辆同时到达加油站，加油的时间分别为

“、T2-Tn,则等候的总时间T为：

T=nT[+(n-1)T2+(n-2)T3-|--+Tn

要使T最少，只有当T|WT?W…W，时，T取到最小，因此必须安排加

油时间短的车辆先加油，加油房间长的车辆放在后面。

下面我们考虑将上述问题从加汕站的加汕能力方面加以推广：

如果加油站能够同时对两种车辆加油，对各种车辆的加油所需时间为：

车型：重型车大卡车中型卡车小汽车微型车

时间(分)：107543

车型：摩托车

时间(分)：2

如果有上述六种不同类型的车辆同时到达，又应该如何安排加油顺序

呢？

首先必须考虑分成二组，分组和编排加油顺序仍然以尽量减少等候时间

为原则。第一种方案是每组各三辆车设第一组，加油时间分别为、T2、

T3,则总共需要时间为：

T(+(T)+T2)+(T)+T2+T3)=3T]+2T2+T3

同理，另一组为3L+2G+t3,六种车辆所需的总时间T为：

T=3(Tj+h)+2⑴+匕)+(13+t3)

从式子中可以看出，7+L尽可能小。因此，摩托车、微型车安排在最

前，小汽车、中型卡车其次，而大卡车及重型车安排在最后。即分成的两组

为：

第一组：摩托车、小汽车、大卡车

第二组：微型车、中型卡车、重型车

所需总时间T为：

T=3(2+3)+2(4+5)+(7+10)=50(分)

如果按另一种方案编成四辆和二辆的两组又如何呢？显然时间为：

(4T|+3T2+2T3+T4)+(21)+^)=T1+3(T)+T2)

4-2(T3+t1)+(T4+t2)

与第一种方案作同样的各析，多了一个T1,不是最节省。同样以五辆与一辆

为两组的所需时间更不节省了。

注：下面我们不加证明地介绍一个不等式的结论，上述问题也可看作它

的一个应用。

假设有两组数：a-a2,•••,an；b,,b2,bn,满足：

aj^a2W…b|Cb2W…这6,我们称：

a1b|+a2b2+a3b34-----Fanbn为顺序和；

albn+a2bn—1+,,,+anbl为逆序和;

%即+%242+…+编4式1〈4i2,…，in^n,1可1，…，

jnWn)为乱序和。

在不等式中有：顺序和、乱序和、逆序和。(证明从略)

在上述问题中的总时间T=nT]+(n-1)T2+…+1；的情况下，要使T最

小，取其逆序和即可,即有T|WT?W…W%

练习6

1.某加工厂加工某一批零配件，需要加工后才能送到下一道工序继续

加工，否则只能等待。已知各种类型的零件加工时间如下：

零件类型：12345

加工时间：5540308060(单位：分)

问如何安排加工顺序才能使总的等待时间最短？

2.如果这5种零件需要先后两种工序加工，加工时间如下表，又应该如

何安排加工顺序呢？

零件类型：12345

加工工序1：5040302040

加工工序2：3020608060(单位：分)

完成先后两道工序总用了多少时间呢？

第7题蔬菜运输方式的选择

某公司欲将一批易坏蔬菜从A地运往B地，共有汽车、火车、直升飞机

三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：

运输工具途口速度途中费用装卸时间装卸费用

(千米/小时)(元/千米)(小时)(元)

汽车50821000

火车100442000

飞机2001621000

若这批蔬菜在运输过程中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输方式比较

好，即运输过程中的费用与损耗之和最小。

分析：商品的运输过程是增加成本的过程，要想在商品的营销中获利最

高，必然尽可能降低其成本。对于本问题而言，若采用飞机运输可以减少途

中时间，即减少蔬菜损耗，但租用运输工具的费用较高；若采用火车运输，

途中费用比较节约，但装卸不便；而采用汽车运输将增加途中的时间，因此

作出运输方式的决策，主要是在减少途中费用和时间上找到合理的结合点，

尽可能减少总支出，控制成本的提高。

解：设A、B两地间距高为s千米，则采用三种运输工具的费用和时间可

用下表给出：

运输工具途口费用（元）途中时间（小时）

汽车8s+1000才2

火车4s4-2000卷”

飞机16s+1000品*2

分别用5、c2sc3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有：

Cj-8*4-1000+(―+2)X300-14s+1600

cr2=p4s+2000+('104。)Yx300=7s+-3200

c,=16s+1000+(-^-+2)X300=1753+1600

由C]、C2、C3的表达式及S>0可知:

5VC3恒成立；

C]-与<0的解为V—^—^230

C2-C3<0的解为$>挈3150

所以可以有以r结论：

（1）当〈竽时，即AB间距高不多于

230千米时，采用汽车运输较合理。

（2）当5=与时，c,=c,<cP即AB间足离大约为230千

米时，采用火车、汽车均可。

（3）当$>竽时，c]>与且。3〉与，即A、B间距离超过

230千米时，采用火车运输比较合理。

回顾：由上面解决问题的过程可知，因为cl>c3不成立，所以采用直

升飞机运输不可能成为最合理的运输方式，事实上，飞机运输的优势体现在

速度上，即由于减少途中时间而减少损耗，下面探讨当蔬菜损耗率为多少时,

直升飞机运输可能成为最佳的运输方式。

设损耗率为X元/小时，则

Cj=8$+1000+（―+2）x

ca■4s+2000+（+4）x

C）=16s+1000+（菖^+2）x

要使直升飞机运输成为最好的运输工具，只需满足:

fe>-Cj>0

k.，3〉。

即

•8S+.・言

-⑵+1000+（而-研+2）x>0（2）

由Q）新式2x-8）>0

200

乂>】600

由⑵衙小用”明务■烟（3）

s»400

200+2

褥800（3s-125）、1600

而不等式s+4。。>下

的解为$>竿~170（公里）

所以可以有如K结论成立

（1）当，《殍.竽时°、最小.即当AB两地间箔离小于

170千米时,只有当损耗不小于?元/小时时,飞机运输较合理.

⑵当〉苧,x>*言时，避小，即AB两地间距离

不小于170千米时，当损耗率达到多少可以采用直升飞机运输与AB两地间

距离有关，其关系式由（3）式给出。

练习7

1.某公司准备将一批货物用直升飞机从甲地运到乙地，在运输过程中,

有两种装卸方式可供选择，即内部装卸和外部装卸。其中采用内部装卸方式

可以增加途中速度，减少途中时间，但装卸时间增加I;而采用外部装卸方式

恰好相反，可以节约装卸时间，下面是两种方式下的参数：

装卸方式平均速度装货时间卸货时间

（千米/小时）（小时）（小时）

内部装卸220ii

外部装卸1601《

请讨论如何时运输方式进行决策。

2.某地打算建造一座总跨度为1米的桥梁，现在准备就造几个桥墩问题

进行决策。在决策过程中，主要考虑以下两个因素：（1）建造桥墩的费用，（2）

造桥所需钢材的费用，其中，若桥墩数减少，随着两桥墩间跨度的增大，造

单位长度的桥梁所需钢材将增加。如果假设任意两个桥墩间的距离相等，造

一个桥墩的费用为p元，桥梁所用钢材的单价为c（元/千克），桥梁的钢材月

量与两桥墩间距离（桥孔长）成正比例关系，比例系数为K,即若桥孔长为X

米，则钢材需用量为KX（千克/米）。请你作出正确的决策。

3.某运输公司欲将一批易坏物品从甲地运往乙地，其中有三种方式可

供选择，其主要参考数据如下：

运输方式装卸时间装卸费用运输速度途中费用

（小时）（元）（千米/小时）（元/公里）

火车44001004

汽车2200506

直升飞机22002008

若这批物品的损耗为300元/小时，甲乙两地间距离为2000公里，请问:

⑴哪种运输方式比较合理；

（2）若物品损耗率不变，当甲、乙两地间距离为多少时火车是最好的运

输方式；

（3）若甲、乙两地相距200公里，损耗率达到多少时，直升飞机运输最好。

第8题库存

在经济活动中，为了保证正常的生产和销售需耍，常常要使原材料或商

品有一定的库存量。在订购时，大量订购会使库存量太多造成资金积压，乂

要付出较高的保管费用；如果是少量订购，会导致订购次数增多而使订购费

用增加（注：订购费用不是购货费用，只与订购次数有关，如运输次数增多

而产生的费用）。于是，就产生了这样的问题，如何寻找一个最优的订购量,

使订购费用及保管费用之和最小，我们把这类问题称为库存问题。下面我们

给出一个具体的库存问题：

某大型商厦一年内需要购进彩电5000台，每台彩电的价格为4000元，每

次订购彩电的费用为1600元，年保管费用率为10%,（例如，一年内平均库

存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则

盛蕊=10%为年保者费用率）问每次订购多少台彩电，才能使订

购费用及保管费用之和最小？

分析：假设每次订购的货量为X台，开始库存量为X台，经过一个周期的

正常均匀销售后，库存量变为零，这样乂开始下一次的订购，因

此平均库存量为gx白，所以每年肉保管费用为:x・4000・10%元，而