数列习题7（困难）

2015-2016学年度???学校3月月考卷

试卷副标题

火力为奇数

<

1.已知函数f(n)=I一/*为偶数，且演尸f(n)+f(n+l),则ai+az+a3+…

等于()

A.-2013B.-2014C.2013D.2014

【答案】D

2

【解析】当n为奇数时,an=f(n)4-f(n+l)=n'—(n4-1)=—(2n+1)；当n为偶数时，

—J2

an=f(n)+f(n+l)=n+(n+l)=2n+1.所以+a?+a3+…+azoM=2(—1+2—3

+4+…一2013+2014)=2014.

2.如图是见证魔术师“论证”64=65飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们

运用数学知识不难发现其中的谬误.另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多

更加直观与“令人信服”的“论证”.

请你用数列知识归纳：11)这些图中的数所构成的数列:(2)写出与这个魔术

关联的一个数列递推关系式：________.

【答案】(1)&)+2=&+I+&,cij=1»cb=1

⑵4+2・&-=(一】)I和'618.

【解析】利用推理知识求解.由图形可知，图中的数构成裴波纳契数列，所以(D&+2

=&+1+*,&=1,续=1；(2)题右图中间实质上有一个面积是1的平行四边形，有时

空着，有时重合，所以与魔术有关的数列递推关系式可能是a+2-&-。：讨=(-1)LI

和里」-0.618.

〃向

3.已知数列｛a｝是公差不为0的等差数列，｛ZU是等比数列，其中a=3,A.=l,a=

儿3麴=&,若存在常数〃，卜对任意正整数〃都有4=31og,也+/则〃+/=________.

【答案】6

3+d=q,

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列S)的公比为Q,则《”,解

3(3+44)=八

得d=6,Q=9,所以a,=6〃一3,"尸旷飞〃-3=3〃]og09+31og°9对任意正整数刀

flog“9=2,

恒成立，所以1二八c

[v-31og“9=_3,

解得u=【/=3,故u+r=6.

4.（本小题12分）等差数列｛%｝中，6=3,其前〃项和为5“.等比数列｛"｝的各项

均为正数，4=1,且。2+§2=12,%=4.

（I）求数列｛%｝与®｝的通项公式；

（II）求数列，」的前〃项和

In

【答案】(I)%=3小a=3"、(II)T=

n3(〃+1)

【解析】

试题分析：（I）根据等差数列的通项公式q=q+（〃-1）4和等比数列的通项公式

4=3,a=1

，由（H+S2=12得到关于d和夕的方程:q+3+3+d=12

b“二b『'解得d和q的

q?=3+2d

值，进而求得｛〃“｝与物,｝的通项公式；（n）根据（【）求得数列｛〃“｝的前〃项和

二〃(3+3〃),所以数列J」-的通项公式为

12i1

—=-（--------）,利用裂项相消法求得数列的前〃项和7；.

S”3n/1+1

试题解析：(I)设｛/｝公差为d,数列｛〃“｝的公比为q,由已知可得

乡+3+3+Q=12

%2=3+2d'

fJ=3

又4>0.二《.

3=3

所以4=3+3(〃-1)=3/7,bn=3"”.

(II)由(I)知数列｛%｝中，q=3,%=3〃，...S,二〃G：〃),

,122,11、

S”〃(3+3〃)3nn+1

T1।12s1JIJ

7；=，=［（1-）+（）++（

VV'\322-3-7〃+1

,212H

-3VH+r-3（/?+i）

考点：1.等差数列和笔比数列的通项公式；2.裂项相消法对数列求和.

I4r

5.(本小题满分14分)已知函数/(x)=——十二，数列｛为｝的前〃项的和为S“，点

gs,址GM)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列｛凡｝的通项公式明;

（2）令c“+,证明：2〃vq+C2+G+.......+cn<2/?+-.

。，山4~2

【答案】(1)耳=〃+1;(2)证明见解析

【解析】

试题分析:⑴给出S“与可的关系,求4,常用思路:一是利用S"-S,T=%(〃22)

转化为。〃的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S”与〃的

关系，再求凡；(2)观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，

要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消

去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.(3)在做题时注

意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方

法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.

试题解析：⑴由于点(〃$)(〃£")在函数)，=/3，.・.5〃=，〃2+即

2

13

当〃=1时，a.=S.=—+—=2；

1122

当"22时,％=S“-S,E<〃2+?^-(n-l)2+1(n-l)R+l

LLLL

%=2符合上式，「.a”-〃十1

c=J-=W+9>2g.S=2

all+lan〃+2n+l\n+2〃+l

+c2+.......cfl>2+2+........+2=2〃

由...a„〃+l〃+2-11

CN=_«_+_2±L=------+-------=2+-----------------

n+lann+2〃+1n+\n+2

c11+2+"+…/2+」1

G+G+q+…+C”2+------

23I34；〃+1〃+2,

=2c〃H---1-------1--<2r〃+l—

2n+22

因此2〃<C1+。2+••♦+c“<2〃+—.

考点：1、由S“推明；2、裂项求数列的和.

6.已知数列｛凡｝是等差数列，其前n项和为8，若3=10,SI3=91.

（1）求S.；

（2）若数列｛血｝满足条件：M=S「当〃>2时-，Mn=Sln-S,ni,其中数列儿｝

单调递增,且4=1,r„eN,.

①试找出一组，2，4,使得MJ二

②证明：对于数列｛%｝,一定存在数列｛1〃｝,使得数列｛M,t｝中的各数均为一个整数的

平方.

iV+n

S”=

2(2)①‘2=4,4=13②详见解析

【答案】（1）

【解析】

试题分析：（1）求等比数列前n项和，一般利用待定系数法,即求出首项及公差即可:

4%+经心K）

2

-空为二4=1

134T91

由邑=1。5,3=91,得2，解得J=1，所以

〃(〃一1),n1+n

s〃=+---------a=--------

22（2）①新定义问题，解题思路就是按定义归纳转化条件:

因为必=£=1,依次设I?=2"=3,t2=4,验证也2=的.也是否有解弓=4

4=於是第一组满足题意，②由①知"1,'2=1+3,4=1+3+32,则跖=1

“3=92,本题也是在归纳基俶上探求解法：一般的取

3〃一1

3"-12J

2*4，，~|2

tn=14-3+3H-----F3=—二—S,

2此时2

3rt-1-l

F

%2则也Sk

，

3"-13i-i3J

1+-------

221222=（3"-I）2

2T'）,所以知〃为一整数平方.

试题解析：（1）设数列｛（｝的首项为可，公差为d,

旦=1。

4a+

}2

-削3

\3a■+

由$4=10,$=91,得]

22分

4=1

解得"1

2

e,n(n-l),n+n

s“=〃q+^—4:^—

所以224分

(2)①因为必=S=1

若，2=2,M2=S「E=3-1=2%=S「S^^1・3

因为M?=M,%

G&+1）3.

所以2-，MG+D=i4,此方程无整数解;

6分

MTT」一+1)6

若q=3,M?=S3-SI=6-1=5,~2

因为=MX

以3-6=25",+n62

所以2,从，3+1万“，此方程无整数解;8分

+1)

M

若，2=4,M2=S4-SI=I0-1=93=^-S4=—10

因为“2?=M,%

史1111-10=81/+n=iR2,-13

所以2,，3依十1)-182,解得G-13

所以‘2=4,，3=13满足题意10分

2

②由①知"1,‘2=1+3,11+3+3;则M[=l,〃2=3\M3=9

邛—I

2

tH=1+3+3H----F3""=-----

一般的取2,13分

3”—3n-\}3"T—(

5=^_1——?_2、二21------LJ

此时"2,*2,

所以M”为一整数平方.

因此存在数列"J,使得数列｛“〃｝中的各数均为一人整数的平方.16分

考点：求等差数列和项，归纳探求新定义问题

7.（本小题满分13分）已知｛4｝为等差数列，且为=14,%=20,数列低｝的前〃项

和为S”，且a=2-2s

（1）求数列｛〃“｝,｛2｝的通项公式；

7

（2）若％=为•",7；为数列｛4,｝的前〃项和，求证：Tn<-.

【答案】（1）an=3n-l;勿=2・'-；（2）祥见解析.

"3"

【解析】

试题分析：（1）由题设条件知4=*2也=*2,"=2—2S〃，

I3/9〃〃

bn_b“_i=-2（Sn-Sg）=2";=M=3此可求出数列｛bn｝的通项公式.

bi3

（2）数列｛dn｝为等差数列，公差4=4（。7一%）=3,可得dn=3.l-l.从而

17

cn=an-bn=2（3n-\y-f由此能证明数列｛a｝的前n项和7；<5.

试题解析：（1）数列｛而｝为等差数列，公差d=；（%—%）=3,可得an=3n-l.

由。=2-2S“,令n=l,则b1=2-2Si,又S尸bi,

22

所以&——,b2=2-2（bi+bj）>则I??=§

当心2时，由a一2・2S”，可得a一々一——2(S“—S,i)-2"；・即广=可

b,i3

所以｛bn｝是以为A=(首项，；为公比的等比数列，于是〃“二2•我.

(2)由(1)得n・bn=2(3n-l)•—

3〃

...T=2[2--+5~+8-+---+(3/?-1)—]=---x-——二J.

“332333”223"3N",2

考点：1.等差数列与等比数列的综合.

8.(本小题满分13分)

设数列｛叫的前〃项和为S“，若对任意的正整数〃，总存在正整数加，使得S“二4,

则称｛%｝是“H数列二

⑴若数列｛〃“｝的前〃项和为S“二2”(〃£N)证明：｛凡｝是“H数列”；

(2)设｛q｝是等差数列，其首项4=1,公差d<(),若｛凡｝是“H数列”，求△的

值；

(3)证明：对任意的等差数列｛q｝，总存在两个“H数列”也“｝和｛%｝,使得

an=bn+cn^neN)成立。

【答案】(1)祥见解析：(2)-1；(3)祥见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用“当n22时，an=Sn-Sn-u当n=l时,a尸S1即可得到劣,再利用“H”

数列的意义即可得出.

(2)利用等差数列的前n项和即可得出S”，对VnEN*,mm£N*使S“=a“，取n=2和根据

dVO即可得出；

(3)设｛aj的公差为d：构造数列：bn=a-(n-l)ai=(2-n)aHcn=(nT)(a1+d),可

证明｛bj和｛cj是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意

义即可得出.

试题解析：(1)首先q=S1=2,当〃22时，a”二S“-S,i=2〃-2"T=2〃T,所以

“"二所以对任意的〃wN*,S“=2”是数列｛%｝中的〃+1项，因此数

列｛%｝是“”数列”.

(2)由题意q=1+(〃-1)4,N二〃+〃(；功,数列｛%｝是“，数列”，则存在

keN*,使〃+-------d=\+(k-\)d,k=-----4---------------F1,由于-------sN*,

2d22

又kwN木,则上」wZ对一切正整数〃都成立，所以4二一1.

d

⑶首先，若4,=加”是常数)，则数列｛4｝前〃项和为s”,〃(；一1/?是数列(<)

中的第〃项,因此是“”数列”,对任意的等差数列｛%｝,4=%

（d是公差）,设4=叫,%=（d_q）（__1）,则q=〃“+c”，而数列｛〃｝,｛%｝都

是“”数列”，因此命题得证.

考点：1.数列的应用：2.等差数列的性质.

3

9.（本题满分10分）已知数列⑸｝中，a】=1,a0“=2-a”（n£N>

（1）求证：数列｛-1｝是等差数列，并求｛aj的通项公式;

4

（2）设以+aE（nGN）,S=b1b2+b2b3+-+bnb„H,试比较a0与8stl的大小.

【答案】（I）a=212（〃WN'）;（H）〃W2时，2>8S“；当”23时，

〃+3

【解析】

试题分析：（I）利用数列成等差数列的定义，用后项减前项得一个常数则该数列为等

差数列，然后求等差数列的首项和公差代即得通项公式，题目得解；（II）由（I）得

出凡的通项公式，把瓦，通项公式算出来，由于得到的式子"=」-,所以用裂项

〃+3

的方法可以得〃也川=」-------,从而求得与,然后用作差比较，即可得解；

…n+3〃+4

试题解析：解：（I）因—!_______!_=_!________!_=2-q_______!_=_i

%Ta〃T_J____1a“-l1-（2-。“）4-1

2-

故数列」-是首项为-4,公差为一1的等差数列，

所以一-=-4-(n-1)=-〃-3，即an=〃+2(〃eN*l•

a,,-1n+3

(Il)因勿n+。“rin=1,故-n〃+1则->.

n+3n+3

于是s“=bxb2+b2A+…+对=而高，

n+2In-n2+8

从而。“-8S〃

〃+3n+4(〃+3)Qz+4)

所以，当〃W2时，a”>8S”；当〃23时，4<8S,t.

考点：等差数列的通项公式、裂项求和、比较大小；

】（）.（本小题12分）已知数列｛为｝的前n项和S“=h"一左（其中为常数），且0=4

%=8%•

（1）求;

（2）求数列｛皿J的前也项和

【答案】(】)*=2"；(2)S.=(〃-1)2向+2.

【解析】

试题分析：(1)由0=4,。6=8。3并运用公式%=S,「S“T可得，关于&,c的方程组,

根据已知判断Z:/O,CHO,CW1,即可计穿出A,c的值，进而求出数列｛%｝的通项公式;

(2)更接运用裂项求和法，将所求的前〃项和7；两边同乘以2,然后将两式子相减并

化简即可得出结果.

2

试题解析：(1)由S〃=kc”一k得,a2=S2-S1=kc-k-(kc-k)=kc(c-\)=4；

652

a6=S6-S5=kc-k-(kc—k)=k(?(c-\),8a3=8(S3-S2)=Skc(c-1),

所以Z/(C-1)=8ZC2(C-1),由题意知，上工0,。子0,。=1,所以c=2次=2,所

以S〃=2*2"-2=2向-2,当〃22时，《，=S”-=2向-2"=2"；又因为

当〃=1时，4=2符合上式，所以=2"：

(2)因为〃勺=〃2",所以7；=1x2+2x22+L+%2",①

2T„=lx22+2X23+L+H2N+,②

两式相减②YD可得到：Tn=(〃-1)2.+2.

考点：1、等比数列；2、错位相减法.

11.(本小题满分12分)数列储“｝中，已知q-1,心2时，卬=L+±-2.数

列｛2｝满足:bn=31a+1)(/7€N*).

(I)证明：｛2｝为等差数列，并求｛2｝的通项公式；

(H)记数列［上口1的前〃项和为S”，是否存在正整数机,〃，使得Si＜上-

I〃/5'+「机3'"+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(〃?,〃)；若不存在，说明理由.

【答案】(【)详见解析，0=2+2(…l)=2〃,〃wN*；(1【)(1,1),(2,1),(2,2).

【解析】

试题分析：(I)本题的落脚点在也｝上，所以首先从条件“=3"7(4+1)(〃£/7")的

特征入手，里面有因式(见+1),提示我们可以考虑在条件击-1中构

造(4+1),从而使条件特征显现出米，成为解题的突破口；(II)充分利用(I)中

的结论并结合已知求出J&J[〔的通项，从而求得力,将之代入题设中的不等式，通

n

过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似

性.

试题解析：(I)当〃22时，

由

12212

%§'*+F一『"〃+1=3&-1+1)+F=3,,(%+D=3"-2(/_]+1)+2,

•••”,=3〃T(4+1)(〃€N“),即n>2时，b“=b,i+2nbn-bz=2，又

b、=31-1卜]+1)=1x(1+1)=2,

•・・数列｛〃｝是首项为2,公差为2的等差数列,

由等差数列的通项公式得：2=2+2(〃—1)=2〃,〃GN*；

6+1=2

(n)由(I)得2=3%+1)=2〃=所以

n3M_,

2(1-:)i

——7-=3(1--),

/_11_1

则2岑#上》］——?—

S.+L〃3-^-13-^-1(3一M3―1

3〃3〃

得

<1=>=------->--------

(3-6)3〃-1-------3'"+1-----(3—〃7)3"-13"'+1

/.(3-iri)y'—1>0,/neTV*,:.m=1,2

2171

当〃2=1时，-------->—=>/?=1；当机=2时，----->—=>〃=1,2

2・3”一143”一110

综上，存在符合条件的所有有序实数对(孙〃)为：(1,1),(2,1),(2,2).

考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比

数列的前〃项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧.

12.数列瓜｝的前n项和为若3匕=1一(；)"(n£FO,数列｛况｝满足2b0+尸况+也

+2(n£N*),且b?=7,bs=22.

(1)求数列｛4｝和依｝的通项公式&,和bn；

(2)设数列Cn=a>bn,求｛cJ的前FI项和Sn.

【答案】(])册=，)〃；bn=3n-2；(2)5,1=|-^y^x(lr,(nG/V*)

【解析】试题分析：(1)利用a产PLP1(n>2),且&=B求须，依｝是等差数列,

直接求出通项；(2)使用错位相减法可求出Sn.

试题解析：(1)数列｛b』是等差数列，公差=1分

8-3

2=4+("-3)d=3n-22分

・・・3^r=l-(If

当n=l时，得q=[二,，1分

当n22时，得明=鸟一2_1=……=(；)〃1分

当n=l时，也满足上式.

**•。“=(!)"(〃eN*)1分

4

(2)由(1)知，，c〃=(3〃-2)xd)”,(〃eN*).1分

4

S“=1x—+4x(―)~+7x(―)^+…+(3"—5)x(―)M+(3/7—2)x(―)n*①

于是-5=1x(-)2+4x(-)3+7x(--)4+...+(3M—5)x(―)n+(3w-2)x(-)rt+l②

4n44444

2分

两式①一②相减得《S”=；+3[(()2+(；)、•••+(；)"]-(3n-2)x((严

，

=l_(3z:+2)x(lr.7.S.=g—即：*(；)〃,(〃£*)3

分

考点：等差数列，等比数列，通项公式,，前n项和，错位相减法

13.已知在正项数列｛a“｝中，Sn表示前n项和且2后=④+1,数列

低｝满足"—Z为数列出｝的前n项和，

4S”-1

⑴求4“，S”；

(2)是否存在最大的整数t,使得对任意的正整数n均有TH>—总成立?若存在,求出

t;若不存在,请说明理由，

【答案】(1)a„=2n-l,S”=〃2；(2)存在[=11符合题意.

【解析】

试题分析：(1)利用数列的前〃项与通项凡的关系求出数列的通项公式右，并进而由通

项公式求出S“；

(2)由(1)知，于是可以用裂项法求数列｛〃｝的前〃项和7；.

试题解析：（1）由2厄=&I1,得机=,当n=1时，a)=S

得ai=l；

当n22时，an=Sn—Sn-i=f—i―-1一""一十］),整理，得(an+ai)㈤一2「-1-2)

=0,

;数列｛aj各项为正，.'•an+an-i>（）.，an-an-1-2=0.

，数列｛aj是首项为1,公差为2的等差数列.；.an=ai+（n—1）X2=2n—1.

〃（由+凡）=〃口十

S”=

(2)由(1)知包=---

“4/r-l212〃-12〃+1

7+.••+

于是>5135)2n-\2/7+1；2〃+1

易知数列忆）是谈增数列，故T尸」是最小佰，只需1>/-,即1<12,因此存在，=1I

3336

符合题意。

考点：1、数列的概念；2、等差数列；3、裂项法求数列的前〃项和.

14.已知数列｛%｝满足2卬+22+…+2”%=（2〃—1）-2向+2.

（1）求可及通项公式与；

G卡丁11I।

（2）求证：——H+…T<-♦

4：冠44

【答案】（1）d„=2n+l；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）可将等式2%+22%+…+2%”=（2"l）-2Z+2的左端看成某数列

的前〃项和，利用其与通项的关系求出Tan,再进一步求出。”的表达式.

⑵利用；TEkkT小丁市即或

试题解析：（1）解：n=l时，有2q=2?+2,解得卬=3

2

〃N2时，由2q+2a2+…+2%〃=(2n-1)-2M+2

得26+2%2+…+2"-&T=(2〃-3)•2”+2,两式用减得

2"。”=(2〃-1)・2”"—{2〃-3)-2"=2"(4〃-2-2〃+3),解得/=2/7+1,3分

满足=3,故。”=2〃-17分

111111

------------------------—(-------1（）分

4/72+47?+14(7/2+7?)4n〃+1

111I

所以--<一[(1—)+(----)+•••+(•)]=-(!--—)<-14

a：4223nn+14n+\4

分

考点：1、数列通项公式的求法；2、不等式的证明.

15.是否存在一个等比数列｛4｝同时满足下列三个条件:

①q+。6=11且=?；

③至少存在一个〃（2〃7EN*且机>4）,使得2%一%2,4"+3依次构成等差数

3

列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.

【答案】小存在这样的数列.

【解析】

试题分析：（1）等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关

键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数

列的前〃项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过

程；（2）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设

出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出

明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：解：假设存在等比数列储“｝

q+%=11

由①可得《32由②可知数列｛〃”｝是递增的，所以〃6

3一o

则=>a=23分

32

此时％=-x2a5分

”3

24)

由③可知2a/-I--

9J

o*x2a^x2m

7分

解得〃?=3,与已知m>4矛盾11分

故这样的数列｛%｝不存在.12分

考点：探索数列存在性的问题.

16.设数列｛/｝的前n项和为S”，己知q=a2=\tbn=nSn+(〃+2)atl,数列｛"｝是公

差为d的等差数列，〃£N+.

(1)求d的值；

(2)求数列｛4｝的通项公式;

22/1+1

(3)求证：(。］生…。"XSa…5")<

(〃+1)(〃+2)

【答案】(1)4;(2)。“=上；⑶详见解析.

n2〃一

【解析】

试题分析：(1)由q=%=1=>3=1,S2=2,求出〃也，从而得到d的值；

(2)根据⑴的结果先求出酊得到关于atl和S”的关系式.再利用=S〃(〃>2)

求出数列{q};

⑶由⑵得：4〃=〃S”+(〃+2)%n4=S“+—q；2J—q.S”

nVn

所以0<qS”《22•」一,显然可利用不等式的性质得到要证的不等式成立.

n+2

试题解•:

解：

⑴•・・q=%=1,bn=nSn+(n+2)an

:.b}=5]+(l+2)4=抬=4

b2=2s2+(2+2)%=2a2+6%=8

:.d=b2—b]=8—4=43分

(2)因为数列低}是等差数列

blt=4〃,/.nSn+(〃+2)a”=4〃，

〃+2

即S“+——an=4①

n

当〃之2时，5*+空。2=4②

〃一1

①•②，得：⑸一5与+山。「空|%=。

nn-\

〃+2n+\即

an-i,2n-\

则”=L2,2=L2,……,反」上

q21a222q—2n-\

以上各式相乘得：&

ax2"T

因为q=l,.・.凡=38分

________$H+2

〃+2/n+2%Han

（3）VS“+----a=4,%>°，S”>0,「.\S"------a<--------/----=2

nn\nn2

则o<《5"」一.

〃+2

17

・・・岫・・・凡）（监・・£）“”.如而x丽③

因为当〃=1时，S,^—a,所以上式等号不成立.

nn

,2〃+1

则・•.（”“）.（监…S，，）〈而面可”分

考点：1、数列的概念，等差数列；2、不等式的性质.

17.已知正项数列｛%｝满足：q川=L（a”+」-）5wM"）.

2%

（1）求q的范围，使得为+]<%恒成立；

31*

（2）若4=5，证明：〃〃v1+^77T（〃£N,〃22）;

【答案】（1）q〉l；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）将产,（4+'）代入”得,一为<0,由此可得勺>1或

4<-1从而得“的范围；（2）用数学归纳法可证.

试题解析：（1）由。川=;（4+,），得。向由%+1<勺，即

242an

一一凡<0

4

所以《>1或an<一1（舍）

所以q>1时，〃”+]</6分

31311

（2）证：若4=3,得1<%=,<1+不现假设/<1+不广（kwN,k>2）

21222,

构造函数/"）=,（X+4），易知/‘（X）在（1,+8）上单调增

2x

1112k1

所以%=/（&）</（1+西）=升产+而节<1+产

即生।<1+与

由以上归纳可知qvl+—!5£N'/22）14分

“T1

考点：数列，归纳证明不等式.

18.设数列｛〃“｝的前〃项和为S”，对任意的正整数〃，都有q=5S”+1成立，记

“聋…八

（1）求数列｛q｝与数列出｝的通项公式;

⑵记c\=b*-瓦SeN*）,设数列｛%｝的前〃项和为7；,求证：对任意正整数〃

3

都有北<5；

।4+（一；）”

【答案】（1）4=（一一）"，"=------5GN*）；（2）祥见解析.

4

4

【解析】

试题分析：（1）由已知及S”与巴的关系：«„=]‘；（〃=1），令可求得力的

[S-N2）

值，再将已知等式中的n换成n+1得%+i=55e+1,然后与已知式子：见=5S”+1相

减得到：%+1-%=5（5向一5“）=5为+1,从而可得到：子=一;，这说明数列｛〃“｝

是公比为令=-;的等比数列，所以就可写出数列｛〃“｝的通项公式，再代入

"二岩气衣”1）就可得到数列｛〃｝的通项公式；（2）由（1）的结果，结合

'〃二%〃一层,一（〃£"“）就可得到数列｛%｝的通项公式，如果其前n项和可求，则先求

出其前n项和7；再与:比较大小；若宜接求和比较难办，则注意思考先用放缩法将数

列｛%｝的通项公式放大成一个可求和的数列，则［小于此数列的前n项和，而此此数

列的前n项和恰好是小于或等于3的，因此在放大的时候一定要注意适当放大且能求和

2

是关键.

试题解析：（1）当〃=1时，％=5工+=—-1分

4

又<%=5sti+1,%=5S“*+1/.*-an=5%即誓=-：3分

,数列｛4｝是首项为4二一；，公比为q二一；的等比数列,

4分

4+C)"

6分

i-(-r

74

5

(2)由2=4+得7分

55

=h2n-b2n-l

42M-142,,_|+1

25x16”25x16"25x16"25

10分

(16〃-1)(16〃+4)(16,,)*2+343X16/,-4(16")216"

1343

又优=3,包=—,当〃=1时，G=—,7；<—,11分

332

当n>2时

41114

小丁25x(在十后十…十苫)二十25

3

・••对任意正整数〃都有Z,V—。14分

2

考点：1.等比数列；2.数列求和；3.不等式的证明.

19.已知等差数列｛%｝的前n项和为S”，公差d工0,且S3+S§=50,成等比

数列

(1)求数列｛*｝的通项公式；

(2)若从数列｛%｝中依次取出第2项、第4项、第8项.....，第2〃项,，按原来顺

序组成一个新数列｛hn｝,且这个数列的前〃项和为求7；的表达式.

n+2

【答案】(1)=2/1+1；(2)Tn=2-4+n.

【解析】

L3x24x5,__

试题分析：(1)依题意，建立的方程组/十三"《十三3”解出

(%+3d甘=(at+12d)

生,d,写出通项公式

(2)由于包=4”=2><2"+1=2向+1因此，应用分组求和法即可得到

+2

TH=T-4+n.

试题解析：(1)依题意，得：

c3x2._4x5.

3al+---d+5a.+----d=5()%=3

「2122分4分

d=2

(q+3d)2=q(q+12d)

/.an=+(/?-1)J=3+2(/1-1)=2H+1即a“=2〃+l6分

W/,+,

(2)bn=ar=2X24-1=2+18分

(=4+d+……+bn

=(22+l)+(23+l)+......+(2w+,+l)

=止史+〃I。分

1-2

=2',+2-4+n12分

考点：等差数列的通项公式及其求和公式，等比数列的求和，“分组求和法”.

20.已知数列｛a„｝的前n项和S”满足S“=24+(-1)”(〃>D

(1)写出数列｛4｝的前3项4]、4、。3；

(2)求数列｛q｝的通项公式；

1117

(3)证明对于任意的整数机>4有一+—+…+—<—

对火48

n2

【答案】(1)4=1、%=0、%=2；(2)^=|[2-4-(-ir-'];(3)见解析.

【解析】

试题分析：(I)是考查已知递推公式求前几项，属于基础题，需注意的是S.=a.,需要

先求出ai才能求出a2,这是递推公