新高考数学二轮复习对点题型第9讲空间角（学生版）

第9讲空间角真题展示2022新高考一卷第9题已知正方体SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0试题亮点正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信心，促进考生正常发挥水平.知识要点整理一、线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.二、线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.三、面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.四、线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.五、线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.六、面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.七、两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．八、空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))三年真题一、单选题1．如图，SKIPIF1<0是直三棱柱，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，M，N分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的大小为（

）A．60° B．90° C．45° D．120°4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、解答题6．如图，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线AM与直线PC所成的角为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小；(3)求多面体SKIPIF1<0的体积．7．如图，SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小；(3)求三棱锥SKIPIF1<0的体积．8．如图，在长方体SKIPIF1<0中，E、P分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小．9．如图，已知长方体SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于E，F为SKIPIF1<0的中点．(1)求异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的二面角（锐角）的大小；(3)求点A到平面SKIPIF1<0的距离．三年模拟一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（

）①棱SKIPIF1<0上一定存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0②三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0③过点SKIPIF1<0作正方体的截面，则截面面积为SKIPIF1<0④设点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为SKIPIF1<0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．在各棱长均相等的直三棱柱SKIPIF1<0中，点M在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，点N在AC上且SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与NB所成角的正切值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如图，在正方体SKIPIF1<0中，点M，N分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则下述结论中正确的个数为（

）①SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；

②平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0；

④直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，直三棱柱SKIPIF1<0的底面为正三角形，M，N分别为AC，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与MN所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°5．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G是P在平面SKIPIF1<0内的射影，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0将矩形折成一个大小为SKIPIF1<0的二面角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论中正确结论的个数为（

）①四面体SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0②点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0之间的距离为SKIPIF1<0③四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0④异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则下列选项正确的是（

）A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交B．当SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的中点时，则点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影是点SKIPIF1<0C．存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值二、多选题8．已知在直三棱柱SKIPIF1<0中，底面是一个等腰直角三角形，且SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点.则（

）A．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角余弦值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<09．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则（

）A．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直B．点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<010．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，以下说法正确的是（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．过点SKIPIF1<0作正方体的截面，所得截面的面积是SKIPIF1<0D．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<011．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角是SKIPIF1<0C．当点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点时，三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是SKIPIF1<0D．当点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点时，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切值为SKIPIF1<0．三、填空题12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P，Q，M，N分别是棱AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．13．已知三棱柱SKIPI