新高考数学二轮复习对点题型第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线（学生版）

第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线真题展示2022新高考一卷第15题若曲线SKIPIF1<0有两条过坐标原点的切线，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知识要点整理用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点SKIPIF1<0及斜率，其求法为：设SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的一点，则以SKIPIF1<0的切点的切线方程为：SKIPIF1<0．若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的切线平行于SKIPIF1<0轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为SKIPIF1<0．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数SKIPIF1<0，并代入点斜式方程即可．例1曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（）Ａ．SKIPIF1<0 Ｂ．SKIPIF1<0Ｃ．SKIPIF1<0 Ｄ．SKIPIF1<0类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线SKIPIF1<0的平行的抛物线SKIPIF1<0的切线方程是（）Ａ．SKIPIF1<0 Ｂ．SKIPIF1<0Ｃ．SKIPIF1<0 Ｄ．SKIPIF1<0类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的切线方程．评注：可以发现直线SKIPIF1<0并不以SKIPIF1<0为切点，实际上是经过了点SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点SKIPIF1<0且与曲线SKIPIF1<0相切的直线方程．评注：点SKIPIF1<0实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，求此切线方程．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．2、求圆锥曲线的切线在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，但SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0也只有一个交点，但SKIPIF1<0却不是SKIPIF1<0的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。切线的定义：设SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上一定点，SKIPIF1<0是该曲线上的一动点，从而有割线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0沿着曲线无限趋近于SKIPIF1<0，则割线SKIPIF1<0的极限位置就是曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的切线（如果极限存在的话）。这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，而SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的切线，这一切线定义可用于任何曲线SKIPIF1<0。导数的几何意义就是曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。例6求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的切线方程。反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线SKIPIF1<0的切线定义都难得给出，更别说讨论与SKIPIF1<0的切线有关的问题了。例7已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的切线，求此切线方程。要点：1.导数是如何定义2.如何求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程与法线方程。三年真题1.已知函数SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0上的任意SKIPIF1<0，有如下条件：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．其中能使SKIPIF1<0恒成立的条件序号是____________．2．某日中午12时整，甲船自A处以SKIPIF1<0的速度向正东行驶，乙船自A的正北SKIPIF1<0处以SKIPIF1<0的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是___________SKIPIF1<0．3．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答）4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别是函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的极小值点和极大值点．若SKIPIF1<0，则a的取值范围是____________．5．若曲线SKIPIF1<0有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．6．函数SKIPIF1<0的最大值为______.7．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴、直线SKIPIF1<0所围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.8．曲线SKIPIF1<0在点(0，1)处的切线方程为________．9．已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则SKIPIF1<0取值范围是_______．10．写出一个同时具有下列性质①②③的函数SKIPIF1<0_______．①SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是奇函数．11．已知函数SKIPIF1<0，给出下列四个结论：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2个零点；②存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1个零点；③存在负数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点；④存在正数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．12．曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为__________．13．函数SKIPIF1<0的最小值为______.14．在平面直角坐标系xOy中，已知SKIPIF1<0，A，B是圆C：SKIPIF1<0上的两个动点，满足SKIPIF1<0，则△PAB面积的最大值是__________．15．设函数SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则a=_________．16．曲线SKIPIF1<0的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.三年模拟1．已知SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程是___________.2．若过点SKIPIF1<0只可以作曲线SKIPIF1<0的一条切线，则SKIPIF1<0的取值范围是__________.3．若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公切线，则实数SKIPIF1<0的值是______.4．函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程为______.5．设曲线SKIPIF1<0的斜率为3的切线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为______．6．已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程是______.7．已知定义在R上的函数SKIPIF1<0满足：①曲线SKIPIF1<0上任意一点处的切线斜率均不小于1；②曲线SKIPIF1<0在原点处的切线与圆SKIPIF1<0相切，请写出一个符合题意的函数SKIPIF1<0______．8．已知曲线SKIPIF1<0在某点处的切线的斜率为SKIPIF1<0，则该切线的方程为______.9．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．10．已知函数SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0____________11．若曲线SKIPIF1<0的图象总在曲线SKIPIF1<0的图象上方，则SKIPIF1<0的取值范围是__