冀教七年级上学期《27 角的和与差》

冀教新版七年级上学期《2.7角的和与差》

一.解答题（共37小题）

1.如图，已知NAOB=NCOD=90。，ZBOC=34°.

（1）判断NBOC与NAOD之间的数量关系，并说明理由;

（2）若OE平分NAOC,求NEOC的余角的度数.

2.如图，ZAOB=ZDOC=90°,0E平分NAOD,反向延长射线OE至F.

（1）NAOD和NBOC是否互补？说明理由；

（2）射线。F是/BOC的平分线吗？说明理由:

3.如图，已知同一平面内NAOB=90。，ZAOC=50°.

（1）问题发现：NBOD的余角是,/BOC的度数是；

（2）拓展探究：若0D平分NBOC,0E平分NAOC,则NDOE的度数是

（3）类比延伸：在（2）条件下，如果将题目中的NAOB=90。改为NAOB=2/0；

NAOC=60。改为NA0C=2a（a<45°）,其他条件不变，你能求出NDOE吗？

若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由.

4.在同一平面内已知NAOB=150°,ZCOD=90°,0E平分NBOD.

(1)当NCOD的位置如图1所示时，且NEOC=35。，求NAOD的度数；

(2)当NCOD的位置如图2所示时，作NAOC的角平分线OF,求/EOF的度

数;

(3)当NCOD的位置如图3所示时,若NAOC与NBOD互补，请你过点0作

射线0M,使得NCOM为NAOC的余角,并求出NMOE的度数.(题中的

角都是小于平角的角)

5.如图，已知NAOB=50°,0D是NCOB的平分线.

(1)如图1,当NAOB与NCOB互补时，求NCOD的度数;

6.如图，点0是直线AB上任一点，射线0D和射线0E分别平分NAOC和N

BOC.

(1)填空：与NAOE互补的角有；

(2)若NCOD=30°,求/DOE的度数；

(3)当/AOD=a。时，请直接写出NDOE的度数.

7.如图，已知NAOB=NCOD

(1)试说明NAOC二NBOD；

(2)若NAOB=NCOD=90。，指出NAOD和NBOC之间的数量关系，并说明理

由.

(1)试猜想NAOD与NCOB在数量上是相等，互余，还是互补的关系.

(2)当NCOD绕着点0旋转到图(2)所示位置时，你在(1)中的猜想还成

立吗？请用你所学的知识加以说明.

9.如图，0是直线AB上一点，ZCOD=90°,OE、OF分别是NCOB、ZAOD

的平分线，且NCOB：ZAOD=4：9.

(1)写出图中NBOD的余角和补角；

(2)求NAOC的度数

10.如图，己知OM平分NAOB,ON平分NBOC.

(1)若NAOB=90°,ZBOC=30°,则NM0N=；

(2)若NAOB二a,ZBOC=(3,其它条件不变，则NM0N=；

(3)当0C运动到NA0B内部时，其余条件不变，请你画出图形并猜想NMON

与/AOB、NBOC的数量关系式，并说明理由.

（1）如图1,当射线0C在NAOB的内部时，

若NAOB=70。，则NDOE的度数为；

若NAOB=90。，则NDOE的度数为；

若NAOB=120。，则NDOE的度数为......

由此我们可以发现一个结论：ZDOE与NAOB之间的数量关系为;

（2）如图2,当射线0C在NAOB的外部时，（1）中的结论是否成立？请说

明理由

14.如图①，ZAOB=ZCOD=90°,0M平分NAOC,ON平分NBOD.

（1）已知NBOC=20。，且NAOD小于平角，求NMON的度数；

（2）若（1）中NBOOa,其它条件不变，求NMON的度数；

（3）如图②，若NBOC二a,且NAOD大于平隹，其它条件不变，求NMON

的度数.

15.已知0为直线AB上的一点，ZCOE=90°,射线OF平分NAOE.

（1）在图1中，当NCOF=36。时，贝IJNBOE=,当NCOF=m。时，则N

BOE=；以此判断NCOF和NBOE之间的数量关系是;

（2）若将NCOE绕点。旋转至图2的位置，试问（1）中/COF和NBOE之间

的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请

你说明理由；

（3）若将NCOE绕点0旋转至图3的位置，继续探究NCOF和NDOE之间的数

量关系，并说明理由.

图1

16.如图,已知0为直线AD上一点，ZAOC与NAOB互补，OM、ON分别

是NAOC、/AOB的平分线，ZMON=56°.

（1）NCOD与NAOB相等吗？请说明理由；

（2）求NBOC的度数;

（3）求NAOB与NAOC的度数.

17.如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NBOC=120。，将

一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线0B上，另一边ON

部，且0M恰好平分NBOC.此时NAOM二度；

（2）如图3,继续将图2中的三角板绕点0按逆时针方向旋转，使得ON在

NAOC的内部.探究NAOM与/NOC之间数量关系，并说明你的理由：

（3）将图1中的三角板绕点0以每秒10。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋

转的过程中，若直线ON恰好平分NAOC,则此时三角板绕点0旋转的时间

是多少秒？（直接写出答案即可，不必说明理由）

18.如图①，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,将一直角三角板如

图摆放（NMON=90。）.

(1)将图①中的三角板绕点0旋转一定的角度得图②，使边0M恰好平分/

BOC,问：ON是否平分/AOC?请说明理由；

(2)将图①中的三角板绕点0旋转一定的角度得图③，使边ON在NBOC的内

部，如果NBOC=60。，则NBOM与NNOC之间存在怎样的数量关系？请说

明理由.

19.点。为直线AR上一点，过点。作射线OC,使/BOC=6S。.将一直角二角

板的直角顶点放在点。处.

(1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线0B重合时，则NMOC=；

(2)如图②，将三角板MON绕点。逆时针旋转一定角度，此时0C是NMOB

的角平分线，求旋转角NBON二；ZCON=.

(3)将三角板MON绕点0逆时针旋转至图③时，ZNOC=5°,求NAOM.

20.如图，点0是直线AB上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点。作

射线0E平分NBOC.

(1)如图1,如果NAOC=40。，依题意补全图形，写出求NDOE度数的思路

(不必写出完整的推理过程)；

(2)当直角三角板绕点0顺时针旋转一定的角度得到图2,使得直角边0C在

直线AB的上方，若NAOOa,其他条件不变，请你直接用含a的代数式

表示NDOE的度数；

(3)当直角三角板绕点0继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过

程中你发现NAOC与/DOE((TWNAOCW180。，(TWNDOEW180。)之间有

怎样的数量关系？请直接写出你的发现.

21.如图，直角三角板的直角顶点。在直线AB上，OC,0D是三角板的两条

直角边，0E平分/AOD.

(1)若NCOE=20°,则NBOD=；若NCOE二a,贝ijNBOD=(用

含a的代数式表示)

(2)当三角板绕。逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测NCOE

与/BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由.

22.如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NBOC=112。.将

一直角三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线0B上，另一边ON

在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在NBOC的内部，

且恰好平分NBOC,问：直线ON是否平分/AOC?请说明理由；

(2)将图1中的三角板绕点0按每秒4。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋

转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角NAOC,则t的值为多少？

(3)将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使ON在NAOC的内部，请

探究：NAOM与NNOC之间的数量关系，并说明理由.

23.已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD,ZAOB=90°,Z

ABO=45°,ZCDO=90°,ZCOD=60°)

(1)如图1摆放，点0、A、C在一直线上，则NBOD的度数是多少？

(2)如图2,将直角三角板OCD绕点0逆时针方向转动，若要0B恰好平分

ZCOD,则NAOC的度数是多少？

(3)如图3,当三角板OCD摆放在NAOB内部时，作射线0M平分NA0C,射

线0N平分NBOD,如果三角板OCD在NAOB内绕点0任意转动，ZM0N

的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由.

24.如图1,点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NBOC=120。，将

一直用三角板的直角顶点放在点0处，一边0M在射线0B上，另一边0N

在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在NBOC的内部，

且恰好平分NBOC,设0N的反向延长线为0D,则/COD=°,Z

AOD=°.

(2)将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使0N在NAOC的内部，求

ZA0M-ZNOC的度数.

25.如图，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使NBOC=110。.将一

直角三角板的直角顶点放在点0处（ZOMN=30°）,一边0M在射线0B上，

另一边ON在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点0逆时针旋转至图2,使一边0M在NBOC的内部，

且恰好平分NBOC.求NBON的度数.

（2）将图1中的三角板绕点0以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋

转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角NAOC,则t的值为

（直接写出结果）.

（3）将图1中的三角板绕点0顺时针旋转至图3,使ON在NAOC的内部，请

探究NAOM与NNOC的数量关系，并说明理由.

26.阅读解题过程，回答问题.

如图，OC在NAOB内，/AOB和NCOD都是直角，且NBOC=30。，求NAOD

的度数.

解：过0点作射线0M,使点M,0,A在同一直线上.

因为NM0D+NBOD=90°,ZBOC+ZBOD=90°,

所以NBOC=NMOD,

所以NAOD=1800-ZBOC=180°-30°=150°

(1)如果NBOC=60。，那么NAOD等于多少度？如果NBOC二n。，那么NAOD

等于多少度?

(2)如果NAOB二NDOLx。，ZAOD=y°,求NBOC的度数.

27.如图(1),将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.

(1)试判断NACE与/BCD的大小关系，并说明理由；

(2)若NDCE=3O°,求NACB的度数；

(3)猜想NACB与NDCE的数量关系，并说明理由；

(4)若改变其中一个二角板的位置，如图(2),则第(3)小题的结论还成立

图⑴S(2)

28.如图1,一副三角板的两个直角重叠在一起，ZA=30°,ZC=45°,ACOD

固定不动，AAOB绕着0点顺时针旋转a°(0°<a<180°)

(1)若AAOB绕着0点旋转图2的位置，若NBOD=60。，则NAOC二；

(2)若0°<a<90°,在旋转的过程中NBOD+/AOC的值会发生变化吗？若不

变化，请求出这个定值；

(3)若9(TV(xV180。，问题(2)中的结论还成立吗？说明理由.

A

29.如图，己知NBOC=30。，0M平分NAOC,ON平分NBOC.

（1）如果N已知AOM与NMOB互为余角，求/MON的度数；

（2）如果已知中NAOB=80。，其他条件不变，NMON等于度.

（3）如果已知中NBOC=60。，其他条件不变，NMON等于度.

（4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律.

30.如图，点0在直线AB上，过0作射线OC,ZBOC=100°,一直角三角

板的直角顶点与点0重合，边0M与0B重合，边ON在直线AB的下方.

（1）三角板绕点0逆时针旋转一定的角度，兰边0M在NBOC的内部，ON

在AB的下方时，

①若NBON=10。，求/COM的度数；

②探究NCOM与NBON之间的数量关系，并简单说明理由；

（2）若三角板绕点0按每秒10。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程

中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角NAOC,则t的值为（直接

31.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三

角板MON,ZOBC=90°,ZBOC=45°,ZMON=90°,ZMNO=30°),保持

三角板OBC不动，将三角板MON绕点。以每秒8。的速度顺时针方向旋转

t秒.

(1)如图2,当t=秒时，0M平分NAOC,此时NNOC-Z

AOM=_______；

(2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON同时在直线0C的右侧，

猜想NNOC与NAOM有怎样的数量关系？并说明理由(数量关系中不能含t)；

(3)直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一

个三角板OBC也绕点0以每秒2。的速度顺时针旋转，当0M旋转至射线

0D上时，两个三角板同时停止运动.

①当t=秒时，/MOC=15。：

②请直接写出在旋转过程中，ZNOC与NAOM的数量关系(数量关系中不能

含t).

32.如图甲，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置.

(1)当NBOC=60。时，ZAOD=.

当ZBOC=70°时，ZAOD=.

(2)如图乙，NAOC与NBOD的大小关系如何？请说明理由.

(3)若把三角板COD绕点0顺时针旋转到如图乙的位置时，(2)中的结论还

成立吗？为什么？

AA

(1)如图1,ZROC=?0°,则/AOD二:(指小于平角的角，下同)

(2)如图2,ZBOC=60°,则NAOD=；

(3)若NBOC=100°,则NAOD=；

(4)如图3,当/AOB的位置固定不动，ZCOD绕角顶点0任意旋转，设N

BOC=n°,则NAOD的度数是多少(用含n的式子表示)，说明你的理由.

34.操作：某兴趣小组在研究用一副三角板拼角时，小明和小亮分别拼出图1

和图2所示的两种图形.如图1,小明把30。和90。的角拼在一起；如图2,小

亮把60。和90。的角按方式拼在一起，并在各自所拼的图形中分别作出NAOB、

ZCOD的平分线OE、OF.

探究：(1)请你计算出图1中NEOF的度数.

(2)仿照(1)的做法，通过计算，可得图2中NEOF=

猜测：当有公共顶点的两个角和一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时,

这两个角的平分线所夹的角为.(用。，p的式子表示)

说理：请你画出图形，并结合图形说明你归纳结果的正确性.

35.(1)如图1所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点。处.

①NAOC与NBOD相等吗？说明理由；

②NAOD与NBOC数量上有什么关系吗？说明理由.

(2)若将这副三角尺按图2所示摆放，直角顶点重合在点。处，不添加字母,

分析图中现有标注字母所表示的角；

①找出图中相等关系的角；

②找出图中互补关系的角，并说明理由.

36.如图，已知NAOB=140。，NCOE与NEOD互余，OE平分NAOD.

(1)若NCOE=40°,则NDOE=,ZBOD=；

(2)设NCOE二a,NBOD邛，请探究a与0之间的数量关系.

37.已知NAOC=NBOD=a(0°<a<180°)

(1)如图1,若a=90°

①写出图中一组相等的角(除直角外),理由是

②试猜想NCOD和NA0B在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理

由；

(2)如图2,ZCOD+ZAOB和NAOC满足的等量关系是；当a=°,

NCOD和NAOB互余.

冀教新版七年级上学期《2.7角的和与差》

参考答案与试题解析

一.解答题（共37小题）

1.如图，已矢口NAOB=NCOD=90°,ZBOC=34°.

（1）判断NBOC与NAOD之间的数量关系，并说明理由;

（2）若0E平分NAOC,求NEOC的余角的度数.

【分析】（1）根据角之间的关系解答即可；

（?）根据角平分线的定义和互余解答即可.

【解答】解：（1）NBOC与NAOD之间的数量关系为NBOC+NAOD=180。,

因为ZAOB=ZCOD=9O0,ZAOB+ZBOC+ZCOD+ZAOD=360°,

所以NBOC+NAOD=3600-ZAOB-ZCOD=180°,

（2）因为NAOB=90°,ZBOC=34°,

所以NAOC=ZAOB+ZBOC=124°,

因为OE平分NAOC,

所以/EOC=ZAOE=-iZAOC=62°,

2

所以NEOC余角的度数为90°-ZE0C=28°.

【点评】考查了余角和补角，关键是根据角平分线的定义解答.

2.如图，ZAOB=ZDOC=90°,OE平分NAOD,反向延长射线OE至F.

（1）NAOD和NBOC是否互补？说明理由；

（2）射线OF是NBOC的平分线吗？说明理由；

O

R

【分析】（1）根据和等于180。的两个角互补即可求解；

（2）通过求解得到NCOF=NBOF,根据角平分线的定义即可求解；

【解答】解：（1）因为NAOD+NBOC

=360°-ZAOB-ZDOC

=360°-90°-90°

=180°,

所以NAOD和NBOC互补.

（2）因为OE平分NAOD,

所以NAOE:NDOE,

因为NCOF=180°・ZDOC-ZDOE=90°-ZDOE,

ZBOF=180°-ZAOB-ZAOE=90°-ZAOE,

所以/COF:/BOF,即OF是/BOC的平分线.

【点评】考查了余角和补角，关键是根据角平分线的定义解答.

3.如图，已知同一平面内NAOB=90°,ZAOC=50°.

（1）问题发现：NB0D的余角是/AOD,NBOC的度数是150°；

（2）拓展探究：若0D平分NBOC,0E平分NAOC,则NDOE的度数是口^；

（3）类比延伸：在（2）条件下，如果将题目中的NAOB=90。改为NAOB=2/B；

NAOC=60。改为NA0C=2a（a<45"）,其他条件不变，你能求出/DOE吗？

若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由.

【分析】（1）直接根据余角的定义得到NBOD的余角，利用NBOC=NAOB+N

AOC求出即可；

（2）利用角平分线的性质和（1）中所求得出答案即可；

（3）根据角平分线的性质求出即可.

【解答】解：（1）VZAOB=90°,

AZAOD+ZBOD=90°,

AZBOD的余角是NAOD,

VZAOC=60°,

AZB0C=ZA0B+ZA0C=90o+60°=150°,

故答案为：ZAOD,150°；

(2);OD平分NBOC,OE平分NAOC,

・・・ZCOD=-^ZBOC=75°,ZCOE=iZAOC=30°,

22

AZDOE的度数为：ZCOD-ZCOE=45O；

故答窠为：45°；

(3)VZAOB=P°,ZAOC=2a,

AZBOC=p+2a,

VOD>OE平分NBOC,ZAOC,

・•・/DOC」NBOC邛+a,NCOE」NAOC=a,

22

/.ZDOE=ZCOD-ZCOE=p+a-a邛.

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分

线的性质得出是解题关键.

4.在同一平面内已知NAOBE50。，ZCOD=90°,0E平分NBOD.

(1)当NCOD的位置如图1所示时，且NEOC=35。，求NAOD的度数；

(2)当NCOD的位置如图2所示时，作NAOC的角平分线OF,求NEOF的度

数；

(3)当NCOD的位置如图3所示时，若NAOC与NBOD互补，请你过点0作

射线OM,使得NCOM为NAOC的余角，并求出NMOE的度数.(题中的

角都是小于平角的角)

【分析】(1)根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论:

(2)根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；

(3)根据余角的性质和角平分线的定义即可得到结论.

【解答】解：(1)VZCOD=90°,ZEOC=35°,

AZEOD=55°,

VOE平分NBOD,

.'.ZBOD=2ZEOD=HO0,

ZAOD=ZAOB-ZBDD=40°；

(2)VZAOB=150°,ZCOD=90°,

ZAOC+ZBOD=360°-150°-90°=120°,

VOF平分NAOC,OE平分NBOD,

；・NCOF:1/AOC,/DOE;L/BOD,

22

AZCOF+ZDOE=60°,

.•.ZEOF=60o+90°=150°；

(3)设/AOC=a,

,/ZAOB=150°,ZC0D=90o,

/.ZAOD=90°-a,ZBOC=150°-a,

：NAOC与NBOD互补，

AZAOC+ZBOD=180°,

AZAOD+ZBOC=180°,

.*.90°-a+150°-a=180°,

.,.a=30°,

即NAOC=30。,

AZBOD=150°,

VOE平分NBOD,

.,.ZDOE=ZBOE=75%

如图3,VZCOM为/AOC的余角，

AZCOM=60°,

/.ZDOM=30°,

/.ZMOE=ZMOD+ZDOE=300+75°=105°,

如备用图，VZCOM为NAOC的余角，

.\ZCOM=60°,

ZBOM=60°,

AZM0E=ZB0M+ZB0E=60°+75o=135°：

综上所述，ZMOE的度数为105。或135°.

【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和

为90°,互补两角之和为180°.

5.如图，已知NAOB=50。，OD是NCOB的平分线.

(1)如图1,当NAOB与NCOB互补时，求NCOD的度数；

(2)如图2,当NAOB与NCOB互余时，求NCOD的度数.

【分析】(1)根据NAOB与NCOB互补，可得NCOB的度数，根据角平分线定

义可得结论；

(2)根据NAOB与NCOB互余，可得NCOB的度数，根据角平分线定义可得

结论.

【解答】解：(1),../AOB与NCOB互补

ZCOB=180°-ZAOB=180°-50°=130°,(2分)

VOD是NCOB的平分线

AZCOD=-i-ZCOB=A-x130O=65。；(4分).

22

(2):/AOB与/COB互余，

/.ZCOB=900-ZAOB=90°-50°=40°,(6分)

,・，OD是NCOB的平分线，

AZCOD=-^ZCOB=^x40°=20°.(8分).

22

【点评】此题考查了角的计算，以及角平分线定义，弄清题中的图形是解本题

的关键.

6.如图，点0是直线AB上任一点，射线0D和射线0E分别平分NAOC和N

BOC.

(1)填空：与NAOE互补的角有NBOE、NCOE；

(2)若NCOD=30。，求NDOE的度数；

(3)当NAOD=a。时，请直接写出ZDOE的度数.

【分析】(1)先求出NBOE二NCOE,再由NAOE+NBOE=180。，即可得出结论;

(2)先求出NCOD、ZCOE,即可得出NDOE=90。；

(3)先求出/AOC、ZCOD,再求出NBOC、ZCOE,即可得出NDOE=90。.

【解答】解:(1)・；OE平分NBOC,

ZBOE=ZCOE；

VZAOE+ZBOE=180°,

.•.ZAOE+ZCOE=180°,

・••与NAOE互补的角是NBOE、ZCOE；

故答案为NBOE、ZCOE；

(2)TOD、OE分别平分NAOC、ZBOC,

・・・ZCOD=ZAOD=30°,ZCOE=ZBOE=-^ZBOC,

2

AZAOC=2X30°=60°,

AZBOC=180e-6O°=12O°,

/.ZCOE=-^ZBOC=60°,

2

・•・ZDOE=ZCOD+ZCOE=90°；

(3)当NAOD=a°时，ZDOE=90°.

【点评】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和

互补关系是解决问题的关键.

7.如图，已知NAOB=NCOD

(1)试说明NAOC二NBOD；

(2)若NAOB=NCOD=90。，指出NAOD和NBOC之间的数量关系，并说明理

【分析】（1）根据直角的定义可得NAOB=NCOD=90。，然后解答即可;

（2）根据互补和角的关系解答即可.

【解答】解（1）VZAOB=ZCOD

ZAOC+ZBOC=ZBOD+ZBOC

AZAOC=ZBOD

（2）ZAOD+ZBOC=180°（或NAOD和NBOC互补）

理由：*.*ZAOD=ZAOC+ZBOC+ZBOD

・•・ZAOD+ZBOC

=NAOC+NBOC+NBOD+NBOC

=（ZAOC+ZBOC）+（ZBOD+ZBOC）

=ZAOB+ZCOD

VZAOB=ZCOD=90°

.\ZAOD+ZBOC=180°

【点评】本题考查了余用和补角的定义，根据直角的定义可得NAOB=NCOD=90。

是解题的关键.

（1）试猜想NAOD与NCOB在数量上是相等，互余，还是互补的关系.

（2）当NCOD绕着点0旋转到图（2）所示位置时，你在（1）中的猜想还成

立吗？请用你所学的知识加以说明.

【分析】（1）根据直角的定义可得NAOB=NCOD=90°,然后用NAOD和NCOB

表示出NBOD,列出方程整理即可得解；

（2）根据周角等于360。列式整理即可得解.

【解答】解：⑴/AOD与NCOB互补.

理由如下：VZAOB>NCOD都是直角，

.\ZAOB=ZCOD=90o,

AZBOD=ZAOD-ZAOB=ZAOD-90°,

ZBOD=ZCOD-ZCOB=90°-ZCOB,

AZAOD-90°=90°-ZCOB,

/.ZAOD+ZCOB=180°,

・・・NAOD与NCOB互补;

（2）成立.

理由如下：VZAOB>NCOD都是直角，

AZAOB=ZCOD=90°,

•/ZAOB+ZBOC+ZCOD+ZAOD=360°,

AZAOD+ZCOB=180°,

AZAOD与NCOB互补.

【点评】本题考查了余角和补角的定义，比较简单，用两种方法表示出NBOD

是解题的关键.

9.如图，0是直线AB上一点，ZCOD=90°,OE、OF分别是NCOB、ZAOD

的平分线，且NCOB：ZA0D=4：9.

(1)写出图中NBOD的余角和补角：

(2)求NAOC的度数

【分析】(1)依据NCOD=90°,ZAOB=180°,即叮得到NBOD的余角为NBOC,

ZBOD的补角为NAOD；

(2)依据NCOB：ZA0D=4：9,即可得到9(90,-NBOD)=4(180°-NBOD),

求得NBOD=18。，即可得到NAOC的度数.

【解答】解：(1)VZCOD=90°,ZAOB=180°,

ZBOC=90°-ZBOD,ZAOD=180°-ZBOD,

即NBOD的余角为NBOC,ZBOD的补角为NAOD；

(2)ZCOB：ZAOD=4：9,且NBOC=90。-ZBOD,ZAOD=180°-ZBOD,

/.9(90°-ZBOD)=4(180°-ZBOD),

解得NBOD=18°,

.'.ZBOC=90°-18°=72°,

,ZAOC=180°-72°=108°.

【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及余角和补角，根据角平分线定义

得出所求角与已知角的关系转化求解.

10.如图，已知OM平分NAOB,ON平分NBOC.

(1)若NAOB=90°,ZBOC=30°,则NMON=60。；

(2)若NAOB=a,ZBOC=p,其它条件不变，则NMON二人(ct+B);

2

(3)当OC运动到NAOB内部时，其余条件不变，请你画出图形并猜想NMON

与NAOB、NBOC的数量关系式，并说明理由.

【分析】（1）根据角平分线的定义求得NMOB,ZBON,再根据角的和差关系

即可求解；

（2）根据角平分线的定义求得NMOB,ZBON.再根据角的和差关系即可求

解；

（3）根据角平分线的定义求得NMOB,ZBON.再根据角的和差关系即可求

解.

【解答】解：（1）・.・NAOB=90°,ZBOC=30°,OM,ON分别平分NAOB,Z

BOC,

ZMOB=^ZAOB=45°,ZBON=-^ZBOC=15°,

22

AZMON=ZMOB+ZBON=60°.

故答案为：60°；

(2)VZAOB=a,ZBOC=p,OM,ON分别平分NAOB,ZBOC,

/.ZMOB=—ZAOB=—a,ZBON=—ZBOC=—p,

2222

AZMON=ZMOB+ZBON=-i-(a+p).

故答案为：1(a+f)；

乙

(3)VOM,ON分另］平分NAOB,ZBOC,

・•・NMOB二工/AOB,NCON二工NBOC,

22

ZMON=ZMOB-ZCON=—(ZAOB-ZBOC).

2

【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求

出NMOB,NBON的大小.

11.如图，直线SN_L直线WE,垂足是点0,射线ON表示正北方向，射线

0E表示正东方向.已知射线0B的方向是南偏东m。，射线0C的方向是北偏

东n°,且m。的角与n。的角互余.

(1)写出图中与NBOE互余的角：NBOS,NCOE.

(2)若射线0A是NBON的角平分线，探索NBOS与NAOC的数量关系.

【分析】(1)由NBOS+NCON=90°、NBOS+NCON+NBOE+COE=180°可得答案.

(?)根据。A是/BON的角平线，可得/NOA与/NOB的关系，根据两角互

补，可得NBON与NSOB的关系，再根据角平分线，可得NNOA与NNOB

的关系，根据两角互余，可得NNOC与NSOB的关系，根据角的和差，可

得答案.

【解答】解：(1)图中与NBOE互余的角有NBOS,

由m。的角与n。的角互余知NBOS+NCON=90。，

,/ZBOS+ZCON+ZBOE+COE=180°,

AZBOE+COE=90°,

VZBOE=m°,ZCOE=n°,且m°+no=90°,

AZBOE+ZCOE=90°.

故答案为：ZBOS,ZCOE；

(2)ZAOC=—ZBOS.

2

•・•射线OA是NBON的角平分线,

AZNOA=—ZNOB,

2

VZBOS+ZBON=180°,

AZBON=180°-ZBOS,

ZNOA=-^ZBON=90°--IZBOS,

22

,/ZNOC+ZBOS=90°,ZNOC=90°-ZBOS,

・・・ZAOC=ZNOA-ZNOC=90°-工/BOS-(90°-ZBOS)

2

AZAOC=-^ZBOS.

2

【点评】本题主要考查余角和补角，解题的关铤是掌握余角和补角的定义及角

平分线的性质、角的和差计算.

(2)在图1中，设NAOOa,ZNOB=p,请探究a与B之间的数量关系［必

须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由);

(3)在己知条件不变的前提下，当NAOB绕着点O顺时针转动到如图2的位

置，此时a与B之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不

成立，请直接写出此时a与。之间的数量关系.

【分析】(1)先根据余角的定义计算NBOC=50。，再由角平分线的定义计算/

BOM=100°,根据角的差可得NBON的度数；

(2)同理先计算NMOB=2NBOC=2(90°-a)=180°-2a,再根据NBON二NMON

-ZBOM列等式即可；

(3)同理可得NMOB=180。-2a,再根据NBON+NMON=NBOM列等式即可.

【解答】(10分)

解：(1)如图1,・・・/人。(：与/80(2互余，

AZAOC+ZBOC=90°,

VZAOC=40°,

AZBOC=50°,

VOC平分NMOB,

AZMOC=ZBOC=50°,

.\ZBOM=100°,

VZMON=40°,

AZBON=ZMON-ZBOM=140°-100°=40°,

故答案为：50,40；…(4分)

(2)解：P=2a-40°,理由是：

如图1,VZAOC=a,

AZBOC=90°-a,

TOC平分NMOB,

AZMOB=2ZBOC=2(90°-a)=180°-2a,...(5分)

又〈NMON=NBOM+/BON,

.•.140°=180°-B|JP=2a-40°：(7分)

(3)不成立，此时此时a与B之间的数量关系为：2a+0=4O。，(8分)

理由是：如图2,VZAOC=a,ZNOB=p,

.•.ZBOC=90°-a,

TOC平分NMOB,

.*.ZMOB=2ZBOC=2(90°-a)=180°-2a,

,/ZBOM=ZMON+ZBON,

，1800-2a=140°+p,B|J2a+B=40°,

答：不成立，此时此时a与0之间的数量关系为：2a+B=40。，(10分)

【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求

出注意利用数形结合的思想，熟练掌握角的和与差的关系.

13.已知NAOB,OD,OE分别为NAOC,NBOC的角平分线

(1)如图1,当射线OC在NAOB的内部时,

若NAOB=70°,则NDOE的度数为35°：

若NAOB=90。，则NDOE的度数为45。；

若NAOB=120。，则/DOE的度数为60。……

由此我们可以发现一个结论：ZDOE与NAOB之间的数量关系为/DOE=♦N

乙

AOB；

(2)如图2,当射线0C在NAOB的外部时，(1)中的结论是否成立？请说

明理由

【分析】(1)根据角平分线定义得出NDOC=qNAOC,NEOCM/BOC,求出

22

NDOE=L(ZAOC+ZBOC)二工/AOB,即可得出答案；

22

(2)根据角平分线定义得出NDOC二工NAOC,/EOC二1/BOC,求出NDOE二

22

—(ZAOC-ZBOC)二工/AOB,即可得出答案.

22

【解答】解：(1)如图1,当射线0C在NAOB的内部时，

VOD,0E分别为NAOC,/BOC的角平分线，

AZDOC=—ZAOC,ZEOC=—/BOC,

22

AZDOE=ZDOC+ZEOC=—(ZAOC+ZBOC)J/AOB,

22

若NAOB=70。，则NDOE的度数为35。

若NAOB=90°,则NDOE的度数为45。

若NAOB=120°,则NDOE的度数为60°,

由此我们可以发现一个结论：ZDOE与NAOB之间的数量关系为NDOE=1N

2

AOB,

故答案为：35°,45°,60°,ZDOE=4ZAOB：

2

(2)当射线0C在NAOB的外部时(1)中的结论仍然成立.理由是:

•・・0D、OE分别是NAOC、NBOC的角平分线

AZCOD=iZAOC,

2

NEOC」NBOC,

2

ZDOE=ZEOC-ZCOD,

=-^ZBOC--IZAOC,

22

=^ZAOB.

2

【点评】本题天考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出/DOE=aNAOB

是解此题的关键，求解过程类似.

14.如图①，ZAOB=ZCOD=90°,OM平分NAOC,ON平分NBOD.

(1)已知NBOC=20。，且NAOD小于平角，求NMON的度数；

(2)若(1)中NBOC=a,其它条件不变，求NMON的度数；

(3)如图②，若/BOC=a,且NAOD大于平隹，其它条件不变，求NMON

的度数.

【分析】(1)依据NAOB=NCOD=90°,ZBOC=20°,即可得至ljNAOC=NBOD=90°

-20°=70°.再根据0M平分NAOC,ON平分NBOD,即可得出NMON=/

MOC+ZCOB+ZBON=90°；

(2)依据NAOB=NCOD=90。，ZBOC=a,即可得至ijNAOC=NBOD=90。-Q.再

根据0M平分NAOC,ON平分NBOD,可得NMOC=NBON=45。-Lx,进

2

而得到NMON=NMOC+NCOB+NBON=90°；

(3)依据/AOB=NCOD=90。，ZBOC=a,可得NAOC=NBOD=9(T+a.再根据

OM平分NAOC,ON平分NBOD,即可得至lj/MOC:/80"45。+工(1,却可

2

得出NMON=NMOC-ZCOB+ZBON=90°.

【解答】解：(1)VZAOB=ZCOD=90°,ZBOC=20°,

ZAOC=ZBOD=90°-20°=70°.