2021-2022学年高中数学课时练习7函数概念（含解析）北师大版必修1

函数概念【基础全面练】(15分钟30分)1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B为函数关系的是()【解析】选D.A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中一对多的关系不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不能构成函数；D中对应关系符合函数定义．2．下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)与g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x与g(x)＝x＋1；③f(x)＝|x|与g(x)＝eq\r(x2)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④【解析】选C.①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)与g(x)＝xeq\r(－2x)的对应关系和值域都不同，故不是同一函数．②g(x)＝x＋1与f(x)＝x的对应关系不同，故不是同一函数．③f(x)＝|x|与g(x)＝eq\r(x2)＝|x|定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.3．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是()A.[－5，6) B．[－5，0]∪[2，6]C．[－5，0)∪[2，6) D．[－5，0]∪[2，6)【解析】选D.由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5，0]∪[2，6).4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－5)＝__________，f(f(2))＝__________．【解析】由题图可知f(－5)＝eq\f(3,2)，f(2)＝0，f(0)＝4,故f(f(2))＝4.答案：eq\f(3,2)4【补偿训练】函数y＝eq\f(\r(3－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))),x＋2)的定义域为________．【解析】由函数的解析式可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))≥0，,x＋2≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,x≠－2，))据此可得函数的定义域为{x|－3≤x<－2或－2<x≤3}．答案：{x|－3≤x<－2或－2<x≤3}5．已知函数f(x)＝eq\r(x＋2)＋eq\f(1,\r(1－x))的定义域为集合A，g(x)＝eq\r(3－x)的定义域为集合B，C＝{x∈R|x<a或x>a＋1}．(1)求集合A，(RA)∩B.(2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围．【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,1－x＞0，))解得－2≤x＜1，所以A＝{x|－2≤x＜1}，即RA＝{x|x＜－2或x≥1}，要使函数g(x)有意义，则3－x≥0，解得x≤3，即B＝{x|x≤3}，所以(RA)∩B＝{x|x＜－2或1≤x≤3}．(2)因为A∪C＝R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1＜1，))解得－2≤a＜0，所以实数a的取值范围为[－2，0).【补偿训练】已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x).(1)求f(x)的定义域．(2)求f(－1)，f(2)的值．(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).(2)f(－1)＝－1＋eq\f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).(3)当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数的定义域和值域相同的是()A．y＝x2＋2019 B．y＝x－1＋1C．y＝x＋2019 D．y＝|x|【解析】选C.函数y＝x2＋2019的定义域为R,值域为[2019，＋∞)，函数y＝x－1＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，函数y＝x＋2019的定义域和值域都是R，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞).2．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数．那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的个数有()A．5个B．6个C．7个D．8个【解析】选D.由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}时，定义域中，0是肯定有的，±1，至少含一个，±2，至少含一个．它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况．3．设集合M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))≤0))))，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定义域为M，值域为N，则函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的图像可以是()【解析】选B.M＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝[－1，3]，N＝{y|y(y－3)≤0}＝[0，3]，A项定义域为[－1，0]，D项值域是[0，2]，C项对任一x∈[－1，3)都有两个y与之对应，都不符．【补偿训练】函数g(x)＝－2x＋eq\r(x＋1)的最大值为()A．－eq\f(17,8)B．－2C．eq\f(17,8)D．eq\f(9,4)【解析】选C.函数g(x)＝－2x＋eq\r(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥－1))，设eq\r(x＋1)＝t，t≥0，则x＝t2－1，则heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－1))＋t＝－2t2＋t＋2，对称轴为t＝eq\f(1,4)，所以heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))上递减，所以heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))max＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＋eq\f(1,4)＋2＝eq\f(17,8)，所以g(x)的最大值为eq\f(17,8).Ｋ4．高斯是德国著名的数学家，近代数学家奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名了“高斯函数”．设x∈R，用eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超过x的最大整数，则y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))称为高斯函数，例如：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2.1))＝－3，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3.1))＝3，已知函数f(x)＝eq\f(x＋2,x＋1)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))，则函数y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（x）))的值域是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))B．(1，2)C．(0，1)D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))【解析】选A.当x∈[0，1]时，f(x)＝eq\f(x＋2,x＋1)＝1＋eq\f(1,x＋1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，当f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))时，y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（x）))＝1；当f(x)＝2时，y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（x）))＝2.所以函数y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（x）))的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2)).二、填空题(每小题5分，共10分)5．若g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是________．【解析】方法一：因为g(x＋2)＝2x＋3，所以g(3)＝g(1＋2)＝2×1＋3＝5.方法二：因为g(x＋2)＝2x＋3，令x＋2＝t⇒x＝t－2，所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，g(3)＝2×3－1＝5.答案：56．(1)函数y＝2x＋1，x∈(－1，1]的值域是__________．(2)函数y＝x2＋x＋2，x∈R的值域是__________．【解析】(1)因为－1<x≤1，所以－2<2x≤2，－1<2x＋1≤3，所以函数y＝2x＋1，x∈(－1，1]的值域是(－1，3].(2)用配方法得：y＝x2＋x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,4)≥eq\f(7,4)，函数y＝x2＋x＋2，x∈R的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞)).答案：(1)(－1，3](2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))【补偿训练】函数y＝x＋4eq\r(1－x)的值域为______．【解析】令eq\r(1－x)＝t，则t≥0，所以1－x＝t2，所以x＝1－t2，所以y＝1－t2＋4t＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5，t∈[0，＋∞)，所以当t＝2，即x＝－3时，y取最大值5，所以函数y＝x＋4eq\r(1－x)的值域为(－∞，5].答案：(－∞，5]三、解答题7．(10分)(1)已知函数y＝f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))，求函数y＝f(2x－3)的定义域．(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))，求函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－2))的定义域．【解析】(1)因为函数y＝f(x)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，3))，即x∈[－2，3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得eq\f(1,2)≤x≤3，所以函数y＝f(2x－3)的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).(2)y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－1≤x＋1≤4，令t＝x＋1，所以－1≤t≤4.所以f(t)的定义域为[－1，4]，即f(x)的定义域为[－1，4].要使feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－2))有意义，需使－1≤2x2－2≤4，所以－eq\r(3)≤x≤－eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(3).所以函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－2))的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(3)≤x≤－\f(\r(2),2)或))\f(\r(2),2)≤x≤\r(3))).【补偿训练】已知f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，x∈R.(1)计算f(a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))的值．(2)计算f(1)＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋f(4)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))的值．【解析】(1)由于f(a)＝eq\f(a2,1＋a2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(1,1＋a2)，所以f(a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1.(2)方法一：因为f(1)＝eq\f(12,1＋12)＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(22,1＋22)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,5)，f(3)＝eq\f(32,1＋32)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(1,10)，f(4)＝eq\f(42,1＋42)＝eq\f(16,17)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2))＝eq\f(1,17)，所以f(1)＋f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋f(4