空间点、直线、平面之间的位置关系 限时训练-2025届高三数学二轮复习【解析版】

空间点、直线、平面之间的位置关系一、单项选择题1．(★)下列命题正确的是()A．三点确定一个平面B．一条直线和一点确定一个平面C．圆心和圆上两点确定一个平面D．梯形可以确定一个平面答案D2．(★)已知直线a，b分别在不同的平面α，β内，则“a和b相交”是“α和β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，若直线a和直线b相交，则平面α，β一定有公共点，所以平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，直线a和直线b可能平行、相交、异面，所以“a和b相交”是“α和β相交”的充分不必要条件．3．(★)(2023·晋阳模拟)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为()A．1B．2C．3D．4答案D解析由题意可知，直线EF与正方体的左、右两个侧面平行，与正方体的上、下底面相交，前、后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.4．(★)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交或平行均有可能答案D解析在如图所示的长方体中，m，n1，n2，n3与l都异面，但是m∥n1，m与n2异面，m与n3相交，所以D正确．5．(★★)(2024·大连模拟)如图，P是正方体ABCD－A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是()A．直线DD1 B．直线B1CC．直线AD1 D．直线AC答案D解析对于A，连接BD，B1D1，设A1C1∩B1D1＝Q，当点P位于点Q时，BP与DD1共面；对于B，当点P与点C1重合时，直线BP与直线B1C相交；对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，当点P与点C1重合时，BP与AD1共面；对于D，连接AC，因为P∉平面ABCD，B∈平面ABCD，AC⊂平面ABCD，B∉AC，所以直线BP与直线AC是异面直线．6．(★★)(2023·长沙质检)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将两底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是棱BB1，A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为()A.eq\f(2\r(21),3) B.eq\f(4\r(21),3)C.eq\f(2\r(7),3) D.eq\f(4\r(7),3)答案A解析如图所示，延长AN与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM与B1C1交于点E，连接NE，A1M，则四边形AMEN即是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，由已知可得AM＝AN＝eq\r(5)，B1C1＝2eq\r(2).因为N是A1C1的中点，所以eq\f(PC1,PC)＝eq\f(C1N,CA)＝eq\f(1,2)，即PC1＝CC1，则PC1＝BB1，又M为BB1的中点，所以B1M＝eq\f(1,2)PC1.由△PC1E∽△MB1E，得eq\f(B1E,C1E)＝eq\f(1,2)，可得B1E＝eq\f(1,3)B1C1＝eq\f(2\r(2),3)，C1E＝eq\f(4\r(2),3)，ME＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))2＋12)＝eq\f(\r(17),3)，NE＝eq\r(C1E2＋C1N2－2C1E·C1Ncos45°)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),3)))2＋12－2×\f(4\r(2),3)×1×cos45°)＝eq\f(\r(17),3)，MN＝eq\r(A1N2＋A1M2)＝eq\r(6).所以四边形AMEN的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＋eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(2\r(21),3).二、多项选择题7．(★)(2023·长治模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是()A．直线AC1在平面CC1B1B内B．设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1C．由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1D．由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面答案BCD解析如图1所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B，故A错误；如图2所示，因为OO1⊂平面AA1C1C，OO1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1，故B正确；如图3所示，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D四点共面，故C，D正确．8．(★★)(2023·临沂模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面答案ABC解析如图所示，连接A1B，由几何关系可得点E为A1B的中点，且F为BC1中点，由三角形中位线的性质可得EF∥A1C1，即EF与A1C1不是异面直线，故D错误；易得EF与CD异面，故C正确；由几何关系可得A1C1⊥BB1，A1C1⊥BD，则EF⊥BB1，EF⊥BD，故A，B正确．9．(★★)(2024·衡水模拟)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线答案BD解析如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线，故D正确；由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴eq\r(3)EF＝GH，即GH≠2EF，故B正确．10．(★★★)(2023·聊城模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，则下列说法中正确的有()A．D1B⊥CEB．三棱锥D－CEF的体积为eq\f(8,3)C．若P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，则E，C，P，F四点共面D．平面CEF截该长方体所得的截面为五边形答案BCD解析连接DE，D1E，D1B，如图所示，因为E为AB的中点，所以EB＝BC＝2，所以CE＝eq\r(EB2＋BC2)＝2eq\r(2)，同理DE＝CE＝2eq\r(2)，又DC＝4，所以DE2＋EC2＝DC2，即DE⊥EC，又因为DD1⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，所以DD1⊥CE，又DE∩DD1＝D，所以CE⊥平面DD1E，即CE⊥D1E，又D1E∩D1B＝D1，若D1B⊥CE，则CE⊥平面D1EB，即CE⊥EB，又CE与EB不垂直，所以CE不垂直于D1B，故A错误；由等体积法可得VD－CEF＝VF－CED＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2＝eq\f(8,3)，故B正确；如图所示，使D1P＝1，取C1D1的中点G，则P为D1G的中点，连接FP，CP，A1G，取A1B1的中点H，连接HC1，HE，易得A1G∥HC1，EC∥HC1，所以A1G∥EC，所以FP∥EC，所以E，C，P，F四点共面，故C正确；由选项C可得E，C，P，F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，在C项解析图中作EM∥CP，交AA1于点M，所以E，M，P，C在同一平面内，即M点在平面ECP内，所以E，C，P，F，M在同一平面内，所以平面CEF截该长方体所得的截面为五边形FMECP，故D正确．三、填空题11．(★)(2024·大同模拟)若直线l在平面α外，则l与平面α的公共点个数为______________．答案0或1解析直线l在平面α外，则直线l与平面α相交或者平行，当直线l与平面α相交时，公共点的个数是1，当直线l与平面α平行时，公共点的个数是0.12．(★★)(2023·山西大学附属中学质检)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分，则截面与平面BCC1B1的交线段长为________．答案eq\f(10,3)解析如图，连接AE并延长交DC的延长线于点M，连接FM交CC1于点G，连接EG并延长交B1C1的延长线于点N，连接NF并延长交A1D1于点H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，截面与平面BCC1B1的交线段即为EG，因为E为BC的中点，所以CE＝eq\f(1,2)BC＝2，因为CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，所以eq\f(CM,DM)＝eq\f(CE,DA